Speaker A
Василенко.
Відео пояснює теорему Ферма про локальний екстремум, її формулювання, доказ та геометричний зміст.
Key Takeaways
- Локальний екстремум — це точка максимуму або мінімуму функції в околі.
- Якщо функція має локальний екстремум і похідна існує, то похідна в цій точці дорівнює нулю.
- Похідна, рівна нулю, не гарантує наявність екстремуму.
- Геометрично це означає, що дотична в точці екстремуму горизонтальна.
- Для повного аналізу екстремумів потрібні додаткові методи дослідження.
Summary
- Означення локального максимуму та мінімуму функції з прикладами.
- Визначення локального екстремуму як точки максимуму або мінімуму.
- Формулювання теореми Ферма: якщо функція має локальний екстремум і похідна існує, то вона дорівнює нулю.
- Доказ теореми Ферма через розгляд лівосторонньої та правосторонньої похідних.
- Пояснення, що похідна в точці екстремуму дорівнює нулю, але навпаки не обов’язково.
- Геометричний зміст теореми: дотична в точці екстремуму горизонтальна.
- Підкреслення, що для повного дослідження екстремумів потрібен додатковий аналіз.
- Заклик підписатися на канал для подальших занять з математичного аналізу.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ми продовжуємо математичний аналіз, диференційне числення.
Speaker A
І сьогодні розглядаємо першу з серії теорем про диференційовані функції.
Speaker A
Ці теореми ще називають спільною назвою теореми про середнє значення.
Speaker A
Теорема Ферма. Теорема Ферма пов'язана з умовою екстремума функції.
Speaker A
Тому доведеться почати з означення, що ж таке екстремум. Точка X0 буде називатися точкою локального максимума функції f(x).
Speaker A
Якщо знайдеться такий окіл цієї точки (x0 - δ, x0 + δ), такий, що для будь-якого x з цього околу f(x) буде менше або дорівнювати f(x0).
Speaker A
Якщо намалювати, ми можемо намалювати дещось отаке, отакий графік, оце буде максимум. От точка x0, якщо в якомусь околі значення функції, всі значення функції будуть менші за значення функції f(x0), це є максимум.
Speaker A
Менше або дорівнює f(x) найбільша точка. Але тільки в околі, функція може бути і десь отакою.
Speaker A
Вона може вирости ще більше, але ця точка все одно залишається максимум, локальним, місцевим максимум, локальний максимум. Аналогічна, точка x0 буде називатися у нас точкою мінімума функції f(x).
Speaker A
Якщо знайдеться таке дельта, що для всіх x з околу (x0 - δ, x0 + δ) буде виконуватись нерівність f(x) буде більше або дорівнювати f(x0). X0 буде точкою локального мінімума.
Speaker A
Ну, зрозуміло, малюнок буде протилежним. Ну, щось отаке. Якщо тут був бугорок такий, бугор, а тут буде яма. X0. Це у нас мінімум. X0 - δ, X0 + δ. Є такий окіл, де значення функції більші за значення функції в точці X0. Локальний мінімум. Треба зауважити, що я використовую нестрогі нерівності.
Speaker A
Тобто припускається, що локальний екстремум у нас буде і отакий, якщо функція десь стала. Якщо в околі якоїсь точки у нас значення будуть такі ж самі, як в цій точці. Все одно оця точка теж буде локальним максимумом. І ця точка теж буде у нас називатись локальним максимумом. Ну, відповідно, таке ж для екстремума. Ми не виключаємо такі випадки. Точки локального мінімума і точки локального максимума називаються точками локального екстремума одним словом.
Speaker A
Тобто, якщо екстремум - це або мінімум, або максимум.
Speaker A
Тепер, маючи означення екстремума, ми можемо сформулювати теорему Ферма.
Speaker A
Теорема.
Speaker A
Нехай функція f(x) неперервна в околі точки x0.
Speaker A
І досягає в цій точці локального екстремума.
Speaker A
Має в цій точці екстремум.
Speaker A
Тоді, якщо існує похідна в цій точці, то ця похідна обов'язково дорівнює нулю.
Speaker A
Якщо похідна існує, то вона дорівнює нулю.
Speaker A
Доведемо цю теорему.
Speaker A
Нехай x0 - точка максимума для визначеності.
Speaker A
Тоді існує такий окіл, що для всіх x з цього околу f(x) - f(x0) буде менше або дорівнювати нулю.
Speaker A
Тому що, якщо x0 - це точка максимума, значення в інших точках околу будуть менші за значення функції в цій точці.
Speaker A
Ця різниця менше або дорівнює нулю.
Speaker A
Якщо тепер ми аргументу x дамо приріст Δx, причому |Δx| < δ, так, щоб x0 + Δx не виходило за межі нашого околу.
Speaker A
Це буде означати, що відповідний приріст функції f(x0 + Δx) - f(x0) буде недодатнім, менше або дорівнює нулю.
Speaker A
Оскільки x + Δx належить цьому околу.
Speaker A
Перейдемо до розгляду похідної.
Speaker A
Похідна - це відношення приросту функції до приросту аргумента в граничному значенні.
Speaker A
Але ми розглянемо лівосторонню і правосторонню похідні окремо.
Speaker A
Спочатку лівостороння похідна f' з мінусом в точці x0.
Speaker A
Це є границя Δx прямує до нуля, Δx менше за нуль.
Speaker A
Лівостороння границя Δf / Δx.
Speaker A
Неважко бачити, що чисельник Δf у нас менше або дорівнює нуля, і знаменник приріст аргумента менше нуля.
Speaker A
Тоді відношення двох від'ємних величин дасть нам величину, яка буде більше або дорівнювати нулю, і границя такого відношення теж буде невід'ємною.
Speaker A
Аналогічно, якщо я розгляну правосторонню похідну в цій точці, коли у нас границя Δx прямує до нуля, Δx залишається більше за нуль.
Speaker A
Δf / Δx дасть нам додатній чисельник і від'ємний знаменник.
Speaker A
Таким чином, ця величина буде невід'ємною, різні знаки, і границя теж буде менше або дорівнювати нулю.
Speaker A
Δf від'ємна, а Δx додатня.
Speaker A
Виходить, всі ці вирази одночасно і менше або дорівнюють нулю, і більше дорівнюють нулю.
Speaker A
Тобто вони всі дорівнюють нулю.
Speaker A
Звідси ми приходимо до твердження, що f' в точці x0 обов'язково буде нуль.
Speaker A
Теорема Ферма доведена.
Speaker A
Якщо згадати геометричний зміст похідної, то неважко бачити, що в точках екстремума похідна, маючи нульове значення, зробить дотичну горизонтальною.
Speaker A
Кут нахилу дотичної до додатнього напрямку вісі x-ів буде нулем, тобто дотична горизонтальна, як в точці максимума, так і в точці мінімума.
Speaker A
Це геометричний сенс, геометричний зміст теореми Ферма.
Speaker A
Ну, і ще замітимо, що знову-таки я повторюсь, що якщо функція має в точці x0 екстремум, то в цій точці обов'язково похідна дорівнює нулю.
Speaker A
Але це ще не означає, що якщо похідна нуль, то в цій точці екстремум.
Speaker A
Для того, щоб дослідити функцію на екстремум, треба більш тонке дослідження, більш ретельне, до якого ми ще повернемось в наших наступних заняттях.
Speaker A
А на сьогодні все, теорема Ферма доведена і обговорена.
Speaker A
До наступних зустрічей, залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього.
Speaker A
Я з вами, Олексій Василенко.
Topics:теорема Фермалокальний екстремумлокальний максимумлокальний мінімумпохіднаматематичний аналіздиференційне численняаналіз функційгеометричний зміст похідноїдоказ теореми
