¿Cómo se resuelve x elevado a x es 100? | El método de Newton

Hola, amigos de las mates, oye, ¿cómo se resuelve algo tan raro como X a la X igual a 100?

¿Cómo encuentra uno una solución a eso? Resolver ecuaciones es una de las principales tareas de los matemáticos.

Sobre todo de los que se dedican a las matemáticas aplicadas, pero ocurre que en realidad son pocas las ecuaciones que sabemos resolver con fórmulas o métodos sencillos.

¿Y entonces qué pasa cuando un matemático se encuentra con una ecuación para la que no existen fórmulas?

¿Se rinde?

Jamás.

Hoy vamos a ver una estrategia de entre las muchas que existen, vamos con el método de Newton y la ecuación X elevado a X igual a 100.

Hola, amigos, este vídeo está patrocinado por la Universidad Politécnica de Valencia, la UPV.

Imagínate que tenemos una ecuación rara, que no tenemos formulitas tan chulas como las de la secundaria.

Ay, nunca apreciaremos suficiente la fórmula de la ecuación de segundo grado que nos aprendíamos de memoria, -b más menos la raíz cuadrada de b cuadrado menos 4ac partido por 2a.

Maravilloso.

En fin, vamos a poner, por ejemplo, X elevado a X igual a 100, no es una cosa espectacular, pero cómo narices hace uno para resolver eso.

Existen varias estrategias y métodos que los matemáticos han desarrollado para aproximarse a soluciones de ecuaciones que no saben resolver.

Hay auténticas maravillas y resultan muy útiles en matemática aplicada.

Algunos se llaman métodos numéricos y entre ellos están los métodos iterativos, vamos a conocer el más famoso de todos, el método de Newton, o mejor de Newton-Raphson.

A Newton ya lo conocéis, que es muy famoso.

Aunque buena parte de este método se lo debemos a Simpson, y Raphson, pues menos famoso, de hecho, se sabe muy poco de su, o sea, no se sabe el nacimiento.

Es menos famoso.

En fin, el método de Newton-Raphson es un método iterativo.

Los métodos iterativos funcionan así: empezamos con una solución aproximada de la ecuación, que nos la podemos inventar o elegir de algún modo, como sea.

Y luego a esa primera solución aproximada le aplicamos una formulita y conseguimos otra solución, en principio más parecida a la solución verdadera, bueno, pues a esa segunda le volvemos a aplicar la misma formulita y obtenemos una tercera solución que será más parecida a la verdadera.

Y así todo el rato, cada aplicación de la formulita para obtener una nueva aproximación se llama iteración y por eso estos métodos se llaman métodos iterativos.

Hay muchos de esos métodos y básicamente se diferencian en la formulita que se aplica en cada iteración y en las condiciones que debe cumplir la ecuación para que la cosa funcione.

Es toda un área de las matemáticas aplicadas y bien chula, por cierto.

Vamos con el método de Newton-Raphson.

Vale para ecuaciones de la forma lo que sea igual a cero, o sea, fx igual a cero, pero bueno, siempre podemos escribir nuestra ecuación de esta forma.

Okay, llamamos Xn, X sub n, a la enésima aproximación obtenida por el método.

Y la formulita que aplicamos es X sub n + 1 es igual a X sub n menos f en X sub n dividido por la derivada de f en X sub n, o sea, que la aproximación enésima más uno es la aproximación anterior, la enésima, menos el resultado de dividir el valor de la función que queremos solucionar en esa solución anterior entre la derivada de la función en el mismo punto.

Por tanto, los ingredientes que necesitamos son una aproximación inicial, X0, y saber la derivada de la función, y lo que hace el método es...

Calculamos la recta tangente a la función en el punto Xn, miramos dónde esa tangente corta al eje de las X y ese punto de corte será Xn + 1.

Y seguimos así todo el rato, para que esto funcione hacen falta unas condiciones en la función, en sus derivadas y en el punto de partida, el análisis de esas condiciones puede ser complicado en ocasiones y por eso este área de las matemáticas es tan interesante.

Vamos con nuestro ejemplo, tenemos la ecuación X a la X igual a 100, o lo que es lo mismo, queremos saber cuándo la función f de X igual a X a la X menos 100 se hace igual a cero, lo primero, necesitamos un punto de partida, nuestra primera aproximación.

Sabemos que 3 al cubo es 27 y que 4 a la cuarta es 256, o sea, que la solución está entre 3 y 4, tomemos 3,5 para empezar, 3,5 elevado a 3,5 es 80,212, lejos aún de 100, pero bueno, es un comienzo.

Lo segundo que necesitamos es la derivada de X a la X menos 100, no sé si sabéis mucho o poco de derivadas, por si acaso yo os la hago rápido.

La derivada de 100 es 0 y tenemos que X a la X es igual a E elevado a X logaritmo neperiano de X, así que derivamos, okay, la derivada de E elevado a algo es E elevado a ese algo por la derivada de ese algo, así que la derivada de E elevado a X por logaritmo neperiano de X es E elevado a X por logaritmo neperiano de X por la derivada de X logaritmo neperiano de X, y aquí aplicamos la derivada del producto para obtener que la derivada de E elevado a X logaritmo neperiano de X es E elevado a X logaritmo neperiano de X por 1 más logaritmo neperiano de X, y como E elevado a X logaritmo neperiano de X era X a la X, entonces la derivada de X a la X menos 100 es X a la X por 1 más logaritmo neperiano de X, hacedlo por vuestra cuenta si no me creéis, es sencillo esto.

Vale, ya lo tenemos, la fórmula del método de Newton para X a la X menos 100 es X sub n + 1 es igual a X sub n menos X a la X menos 100 dividido por X a la X por 1 más logaritmo neperiano de X.

Bien, podemos empezar, como X0 es 3,5, aplicamos la formulita y obtenemos que X sub 1 es 3,6095, y resulta que 3,6095 elevado a 3,6095 es igual a 102,8265.

Nos vamos acercando, aplicamos la fórmula esa a X1 y obtenemos X2, que es 3,5975, y resulta que 3,5975 elevado a 3,5975 es 100,049, estamos muy cerca.

Podemos seguir así todo lo que queramos, en unas pocas iteraciones llegamos a 3,597285024, que elevado a sí mismo a 3,597285024 es prácticamente 100, es 100,00000 algo, o sea, los primeros seis decimales por lo menos son cero, ya tenemos una buenísima solución para la ecuación X a la X es igual a 100.

Los métodos iterativos son muy adecuados para programarlos en un ordenador, así que los ingenieros y otras personas que usan las matemáticas aplicadas tienen buenísimos aliados para solucionar las ecuaciones que necesiten, gracias Newton, gracias Raphson, gracias Simpson, gracias matemáticas.