Cirkelbevægelse

Velkommen til denne lille lektion i øh i cirkelbevægelse eller i rotationer.

Øhm, jeg regner med, I har rimelig styr på den retlinjede bevægelse, det er i hvert fald forudsætningen for at få få ud af, få noget ud af den, det er det, jeg skal fortælle om nu.

Øhm, hvis vi prøver at kigge på på en cirkelbevægelse, jamen så er det jo, som sagt, en bevægelse, der foregår i en cirkel, det vil sige, der er en eller anden partikel, som bevæger sig i øh i øh i en eller anden cirkel.

Bevægelsesbanen, som jeg har prøvet at tegne op her i øh i øh i cirklen, og den bevæger sig omkring et et et centrum, som jeg har kaldt for O her herinde i midten.

Øhm, det kan være mange ting, det kan være en akse, der ligger og roterer.

Det kan også godt være en en sten, som vi har spændt i en snor, som vi står og slynger rundt.

Eller hvad det end kan være, det er sådan set ligegyldigt.

Det er det samme, der sker i cirkelbevægelsen.

Hvis vi skal prøve at kigge på, hvad øh, hvordan den er defineret, jamen så har vi jo herude øh, eller herinde i midten har vi centrum for bevægelsen.

Og på et eller andet tidspunkt i punktet M, der har jeg en eller anden hastighed, øh, som jeg kalder V1.

Og det er klart, at når vi har sådan en cirkelbevægelse, så har jeg også en en radius, som vi foregår omkring.

Et øjeblik efter, der kan jeg, der bevæger øh, det som jeg slynger rundt, stenen der, bevæger sig.

Har bevæget sig rundt og befinder sig nu i i punktet N.

Og der er gået et vist stykke tid.

Og ovre i N, der har den en hastighed, der hedder V2.

Og hastigheden ovre i V2 er lige så stor som V1, i hvert fald rent numerisk.

Vi kan godt se, at den ikke har helt samme retning, men størrelsesmæssigt, der er det, der er den lige store.

Det er det, vi definerer en jævn cirkelbevægelse, som vi vil arbejde med i første omgang.

Øhm, da vi lærte om retlinjet bevægelse, der ved vi, at den strækning, som en øh en øh noget bevæger sig.

Det er det samme som hastigheden, den bevæger sig med, gange tiden.

Jo større hastighed, den bevæger sig, jo længere vil den komme på en vis tid.

Og jo længere tid, det den har bevæget sig i, jo længere vil den også komme.

Øhm, det samme kan vi egentlig gøre gøre brug af, når vi snakker om cirkelbevægelsen.

At nu er det jo ikke længere en en en retlinjet strækning, men nu er det en cirkelbue, altså cirkelbuen fra M til N.

Den må være hastigheden gange tiden, og for eksempel kan vi sige, jamen det er den numeriske værdi af V1 gange tiden.

Som så også må være lig med den numeriske værdi af V2 gange gange tiden, i og med at V1 og V2 er lige store numerisk.

Nu kan vi jo godt se, at for at holde den i cirkelbevægelsen her, der sker der et eller andet med V1 og V2.

Den ændrer en lille smule retning.

Og vi ved jo godt, at noget, når noget det ændrer retning, så er det jo rent faktisk sket en acceleration.

Eller der er i hvert fald sket en kraftpåvirkning.

Og når der er sket en kraftpåvirkning af noget, så sker der også en acceleration.

Newtons første lov siger jo, at et hvert legeme, som ikke er påvirket af en resulterende kraft, vil enten være i hvile eller udføre en jævn retlinjet bevægelse.

Øh, og der kan vi jo se her, at det er ikke en jævn retlinjet bevægelse, men øh, det er en en en cirkelbevægelse.

Og dermed så er vi nødt til at påvirke den med en en kraft og dermed faktisk ændre retning på partiklen hele tiden.

Og når vi skal kigge på, hvordan sådan noget det ændrer retning, så er vi nødt til at kigge på det rent vektorielt.

Øhm, og hvis vi skal have en hastighedsændring, så skal vi jo have forskellen imellem dem.

Jeg tager altså hastigheden V2 og trækker V1 fra.

Og når vi vektorielt trækker noget fra hinanden, så plejer jeg at lægge den den den negative til.

Øh, det vil sige, jeg tegner først V2, og så tegner jeg i fra enden af den, der tegner jeg minus V1.

Og så må jeg have delta V, som ligger øh her.

Og hvis vi gik ind og kigger en lille smule på det, nu har jeg valgt at lægge den lige der, men vi kunne jo også lægge den mange andre steder på på buen her.

Men i hvert fald, hvis vi forestiller os, at vi lader tiden øh gå imod nul, altså vi lader N og N komme imod tættere og tættere på hinanden, så vil det vise sig, at den her delta V, den vil pege lige ind imod centrum.

Så det må også betyde, at at den hastighedsændring, øh, der skal der skal til for at holde den i cirkelbuen.

Det er en hastighedsændring, som foregår lige ind imod centrum af af af bevægelsen.

Øhm, så jeg skal hele tiden påvirke min partikel ind imod centrum for at holde den i bevægelsen.

Øhm, hvis vi går over og kigger rent retlinjet, så ved vi jo, at en acceleration, det er en hastighedsændring øh divideret med tiden.

Øhm, og det samme, det gør sig også gældende her, at øh V2 minus V1 rent vektorielt.

Det er altså min delta V øh vektorielt divideret med tiden.

Så får jeg den, der hedder AC, som vi kalder for centripetalaccelerationen.

Det er altså en acceleration, der skal til for at holde den i cirkelbevægelsen.

Hvis ikke jeg prøvede at holde den i cirkelbevægelsen, hvis ikke jeg havde en acceleration, der holdt den i cirkelbevægelsen, jamen øh så ifølge Newtons første lov, så ville den bare fortsætte i en jævn retlinjet bevægelse.

Øhm, jeg indfører lige en lille hjælpe linje her, som jeg hedder, som jeg kalder for K.

Korden i i den her trekant her.

Det skal jeg bruge lige om et øjeblik, det er ren og skær en hjælpe linje.

Nu stiller vi lige nogle udtryk op, som vi skal bruge om et øjeblik.

Øh, før der kiggede vi på, at den der cirkelbue øh, eller ja, længden på den der cirkelbue.

Det var øh hastigheden, den bevægede sig med ude i periferien, gange med tiden, vi har til rådighed.

Øhm, og hvis vi skriver det en lille smule om, så må vi så også have, at vi kan udtrykke den der tid, som øh.

Øh, størrelsen på cirkelbuen divideret med med hastigheden.

Den der vil bare stå et øjeblik.

En anden ting, vi kan kigge på, det er, at vi kan prøve at gå ind og kigge på de to trekanter, vi har herinde nu.

De to trekanter er det, vi kalder ligedannede.

Det vil sige, hvis jeg nu går ind og kigger på den der, der hedder delta V her og korden, så står de vinkelret på hinanden.

Den der hedder V2, den står også vinkelret på den radius der.

Og den der hedder V1, som jo rent faktisk også er til at ligge der, den ligger vinkelret på den radius, der ligger der.

Det vil sige, alle de her sider i de her trekanter, de ligger vinkelret på hinanden.

Det vil også sige, at hvis jeg tog spidsen, altså jeg har spidsen af den ene trekant der, og jeg tog spidsen af den anden trekant der.

Hvis jeg tog i den spids der og lod den dreje omkring punktet N og drejede den ind, så ville jeg egentlig få de her to trekanter ind og ligge øh ovenpå hinanden.

Det er ikke sikkert, de er helt lige store, men de vil de vil have samme form.

Samme vinkler i trekanten.

Og det vi ved fra sådan en ligedannet trekant, det er, at der er forholdet mellem siderne er lige store.

Det vil sige, forholdet mellem delta V og K er lige så stor som forholdet mellem V2 og radius og mellem V1 og radius.

Øhm, de er noget, der gælder matematisk for ligedannede trekanter.

Og øh isolerer jeg delta V rent vektorielt, jamen så må den afhængig af øh.

Den den må have en størrelse, der der svarer til øh den numeriske hastighed gange med korden divideret med radius.

Det skal vi også bruge lige om et øjeblik.

Fordi det vi jo ved rent definitionsmæssigt, det var, at hastigheden, eller accelerationen.

Centripetalaccelerationen, som virker ind imod midten, den var den den delta V rent vektorielt divideret med tiden.

Og delta V, det var jo den, jeg havde deroppe.

Der står altså V gange K divideret med R.

Det gør der også her.

V gange K divideret med R.

Og så skal jeg tage delta T, den har jeg defineret deroppe.

Som cirkelbuen MN divideret med V.

Og når jeg dividerer med en brøk, så ganger jeg med den omvendte.

Så det vil sige, der indfører jeg det udtryk, der hedder V divideret med cirkelbuen M gange N.

Og det vil sige, det giver sammen en lille smule, vi skriver K gange V i anden divideret med R gange cirkelbuen M gange N.

Øhm.

Nu prøver jeg lige at kigge en lille smule på det der.

Øhm.

Hvis vi går ind og kigger på det her og forestiller os, at vi lader tiden hernede gå imod nul.

Vi kan selvfølgelig aldrig lade tiden gå fuldstændig til nul.

Fordi så er der ikke sket noget.

Så vil M og N ligge ovenpå hinanden.

Men forestiller vi os nu, at vi kiggede på det her med nogle ganske ganske korte mellemrum, nogle millisekunder eller nanosekunder.

Øh, altså vi lader tiden gå imod nul.

Så vil der ske nogle nogle ting.

Hvis vi går ind og kigger på hastigheden i anden potens eller bare på hastigheden.

Så kan vi se, at den hastighed, den bevæger sig med ude i periferien.

Det er sådan set ligegyldigt, hvor lang tid der er imellem dem.

Det kan godt være, den har ændret retning en lille smule, og den retning ændring bliver mindre og mindre, men størrelsen på hastigheden er stadigvæk den samme.

Ligegyldigt hvor kort tid vi kigger på.

Så den er der ikke sket noget med.

På samme måde er der ikke sket noget med radius.

Radius i cirklen er stadigvæk den samme, ligegyldigt hvor kort vi lader tiden være.

Men hvis vi går over og kigger på, hvad der er sket med korden, og hvad der er sket med cirkelbuen N til N.

Så vil de jo blive mindre og mindre og mindre og mindre.

Og de vil faktisk begge to blive uendeligt små.

Og det kan vi udtrykke rent matematisk som V i anden.

Divideret med R gange øh det her K divideret med MN trukket udenfor.

Og lade grænseværdien gå imod nul.

Så kan vi egentlig se bort fra det sidste led her.

Eller lidt mere populært sagt, så kan vi også sige, jamen forholdet mellem K og MN.

Hvis hvis øh, hvis øh, når afstanden imellem M og N bliver mindre og mindre og mindre og mindre, til der næsten ikke er noget.

Jamen er er K så ikke stort set lige så lang som som M gange N.

Det vil sige, K er lige så stor som den der.

Det vil sige, den det led, der kommer til at stå her, det bliver bare til 1.

Og dermed, der kan vi fjerne det.

Øh, så rent matematisk, der kan vi udtrykke vores centripetalacceleration, som øh hastigheden i anden potens divideret med radius.

Øhm.

Cirkelbevægelsen var jo defineret som hastigheden i anden divideret med radius.

Og vi ved jo også godt, at hvis vi har en acceleration, jamen så er den jo kommet på baggrund af, at vi har påført øh partiklen en en vis kraft.

Øh, vi kan ikke få en en acceleration, hvis ikke vi øh vi påvirker den med en resulterende kraft.

Og det vil sige, hvis vi skal have en acceleration ind imod midten, jamen så skal vi også have en kraft, der virker ind imod midten hele tiden.

Og det er den, vi kalder for FC, for centripetalkraft.

Og øh fra Newtons anden lov, der ved vi jo, at en kraft er lig med massen gange accelerationen.

Og det vil sige, at FC, den kraft, jeg skal trække med, afhænger af massen og gange centripetalaccelerationen.

Jo større den der sten er, vi har i snoren, jo mere skal jeg altså også trække ind imod midten.

Og jo større min min min øh min øh radius bliver, jo mere skal jeg også trække.

Og centripetalaccelerationen afhænger både af hastigheden i anden potens og radiusen.

Øhm, jo stærkere den det det fører sig ude i periferien, jo mere skal jeg trække.

Jo kort, jo mindre min min min øh min øh radius bliver, jo mere skal jeg også trække.

Øhm.

Det vi gør nu, det er, vi prøver lige at kigge en lille smule på cirkler.

Hvis jeg nu tager sådan en cirkel, som den der, en lille cirkel med en diameter, en en radius på 10 centimeter.

Og hvis jeg prøver at kigger på en lille cirkeludsnit på 60 grader.

Så øh ved vi jo, at hele cirkelbuen rundt, den er 360 grader rundt.

Vi ved også, at at øh afstanden rundt på cirkelbuen er 2 gange pi gange radius.

Så hvis jeg tager øh 2 øh gange gange pi gange radius, så har jeg, hvor langt jeg kommer rundt på en omdrejning.

Og ganger jeg øh forholdet, hvor mange grader jeg har i forhold til 360, jamen så må jeg egentlig få, hvor meget at det der cirkelbue den er.

Og hvis det nu var 60 grader i en cirkel med en radius på 10, jamen så har jeg rent faktisk en øh en øh en cirkelbue, der er 10,5 centimeter lang.

Laver jeg det samme nummer ovre på en anden cirkel, øh, som har en radius på 25, jamen øh så viser det sig, at den cirkelbue er 26,2 centimeter lang.

Øh, så det er klart, at den store cirkel, der er noget længere rundt på sådan en cirkelbue, som den der.

Der er jo en større cirkel.

Det vi gør nu, det er, at vi indfører lige en en lidt anden ting.

Vi indfører noget, der hedder radianer.

Og en radian er defineret som strækningen divideret med radius.

Altså en en vis cirkelbuelængde øh divideret med radius.

Vi siger simpelthen, at at at længden af en radius.

Øh, det er det er en radian.

Øhm.

Hvis vi prøver at kigger på det her, så øh.

Så på hele cirklen rundt, så er der jo 360 grader rundt.

Og 360 grader, det øh.

Det det betyder så også, at der er en strækning rundt på hele cirklen her på 2 gange pi gange R.

Og da antallet af radianer var lig med strækningen divideret med radius, så må det være 2 gange pi gange R divideret med R, og så kan vi forkorte R væk.

Og så kan vi se, at på en hel omdrejning, der er der altså 2 pi radianer rundt.

Øh, på sådan en cirkel der.

Øhm.

Og omvendt, hvis vi skal prøve at se, hvor meget 1 radian er, jamen så må vi kunne tage de der 360 grader, der er hele vejen rundt.

Og divideret med 2 pi, og så får vi, at der er på 1 radian, der er der 57,3 grader.

Øh, så hver gang jeg bevæger mig 57,3 grader rundt, jamen så kommer jeg 1 radian videre rundt.

Øhm.

Antallet af radianer var altså defineret som strækningen divideret med radius.

Og øh cirkelbuens størrelse, den var lig med strækningen divideret med radius.

Hvis jeg sætter strækningen divideret med radius ind her, så kommer der til at stå strækningen divideret med radius.

Og så divideret med tiden.

Og tager jeg strækningen divideret med tiden, så er det jo en hastighed.

Og hastigheden divideret med radius, det er altså også en måde at udtrykke min vinkelhastighed på.

Men nu har jeg bare udtrykt min vinkelhastighed i forhold til periferihastigheden herude.

Øhm.

Det vi skal bruge noget af det her til, det er, når vi skal over og snakke om vinkelhastighed.

Øhm, da vi snakkede om den retlinjede bevægelse, så var en hastighed jo defineret som den strækning, som jeg nu bevæger mig.

Øh, divideret med tiden.

Går vi over og snakker om cirkelbevægelsen, jamen så er en cirkel øh hastighed.

En eller anden vinkelhastighed, den er antallet af radianer, altså cirkelbuen udtrykt i radianer i forhold til tiden.

Og hvis vi kigger på de to udtryk der, så er de jo meget lige hinanden.

Det er en hastighed.

Det er også en hastighed.

Det der er nok retlinjet hastighed, det der er en vinkelhastighed.

Det der er en strækning, men regnet i meter.

Og det her, det er en strækning regnet i radianer.

Men ellers så kan vi se, at måden at udtrykke bevægelsen på, det er det er det er den samme måde at gøre det på.

Hvis vi skal have øh, hvis vi kigger på den her, så kunne vi jo se, at øh hastigheden, cirkel øh vinkelhastigheden.

Den var antallet af radianer divideret med tiden.

Og for at få tiden ind i det her, så så kan vi udtrykke den som 2 gange pi gange N.

Øh, 2 gange pi, det er jo det antallet af radianer, som der er på en omdrejning.

Og ganger jeg det med antal omdrejninger per sekund, jamen så må jeg også have, hvor mange radianer, den den bevæger sig per sekund.

Omvendt, så øh.

Så kan vi også udtrykke den sådan her.

Hvis vi husker fra før, øh det havde vi på forgående side, så antallet af radianer, altså theta heroppe.

Cirkelbuens størrelse, den var lig med strækningen divideret med radius.

Og det vil sige, hvis jeg sætter strækningen divideret med radius ind her, så kommer der til at stå strækningen divideret med radius.

Og så divideret med tiden.

Og tager jeg strækningen divideret med tiden, så er det jo en hastighed.

Og hastigheden divideret med radius, det er altså også en måde at udtrykke min vinkelhastighed på.

Men nu har jeg bare udtrykt min vinkelhastighed i forhold til periferihastigheden herude.

Et lille eksempel.

Hvis nu vi siger, at den her, hvad hvad er det nu end er, det løber rundt med fire omdrejninger i sekundet.

Om det er en aksel eller et svinghjul, eller det er en spand i en snor, det er sådan set ligegyldigt.

Men hvis det løber rundt omkring centrum med fire omdrejninger per sekund, så må vinkelhastigheden være 2 gange pi gange N.

Altså 2 gange pi gange 4.

Det vil sige, at det har en vinkelhastighed på 25,1 radianer per sekund.

Da radianer ikke er en en en enhed som som sådan, så skriver vi den som normalt bare som sekunder i minus første.

Øhm.

Men her der kan vi også se, at øh at at at at øh den her måde at udtrykke hastigheden på.

Altså rotationen på.

Den er uafhængig af størrelsen af af cirklen.

Der er ingen steder i det her udtryk, hvor jeg har radius med.

Så de der 25,1 sekunder i minus første, det gælder ligegyldigt, om det er en lille bitte aksel, der roterer med fire omdrejninger per sekund.

Eller om det er et stort svinghjul, der roterer med fire omdrejninger per sekund.

Vinkelhastigheden er den samme.

Øhm.

Kigger vi en lille smule igen på cirkelbevægelsen, så ved vi jo, at at der bliver en acceleration ind imod midten.

Der var defineret som hastigheden divideret med hastigheden i anden potens divideret med radius.

Skal vi prøve at udtrykke det som øh med vinkelhastigheden.

Så i stedet for V heroppe, der så vi på forgående side, at V er lig med radius gange omega.

Og radius gange omega, og så opløftet i anden, det må være radius i anden gange omega i anden, og da vi har radius til at stå hernede i i i nævneren i forvejen.

Så må vi kunne udtrykke det, som om at centripetalaccelerationen, det er lig med radius gange omega i anden.

Så den hastighed, eller den den acceleration, der skal foregå ind imod midten.

Den må altså afhænge af radius.

Og den må afhænge af, hvor stærkt det her, det er, det drejer rundt.

Og det afhænger jo af, hvor stærkt det drejer rundt i anden potens.

Øhm.

Det var egentlig kort det, der var at sige om om om om den den den jævne cirkelbevægelse.

Altså den cirkelbevægelse, der foregår med en konstant fart.

Øhm, går vi over og kigger på den accelereret.

Så øh.

Så har vi øh.

Så har vi kan vi egentlig.

Vi viste på det billede her, sig, jamen hvis jeg på et tidspunkt i punktet M har en eller anden hastighed i periferien.

Så må jeg på et eller andet senere tidspunkt have en anden hastighed V2.

Det kan vi se her, det er en accelereret bevægelse.

Øh, V2 er altså større end V1.

Det vil sige, den den løber stærkere i i punktet N, end den gør i punktet M.

Og det billede.

Består selvfølgelig også igen på vinkelhastigheden.

Vinkelhastigheden 1 her, den er altså mindre end vinkelhastigheden V2 er.

Går vi over og kigger på den accelereret bevægelse.

Jamen så er en accelereret bevægelse, det er jo delta V divideret med delta T.

Og det samme kan vi egentlig føre over på cirkelbevægelsen.

Og sige, jamen vinkelaccelerationen, altså hastigheden, den ændrer vinkel eller den farten ændrer vinkelhastighed med vinkelaccelerationen.

Den er defineret som delta omega divideret med delta T.

Altså den ændring i vinkelhastighed, der foregår.

Divideret med delta T.

Øhm.

Går vi over og kigger en lille smule på det på vores øh øh diagram her.

Så kunne jeg prøve at tegne.

En.

Hvis nu jeg tager det punkt her.

Nu kunne vi, vi ved jo alle sammen, at når der skal være en acceleration, jamen så skal der også være en kraft hele tiden.

Og øh den kraft, vi skal påvirke den der partikel med, som der ligger derude, kan vi egentlig sammensætte af to kræfter.

Der skal stadigvæk være, der skal stadigvæk være den der FC.

Altså min centripetalkraft, som holder øh der holder partiklen inde i bevægelsen.

Der skulle gerne stå FC der.

Det gør den nu.

FC er egentlig den, der virker ind imod centrum, som prøver at holde partiklen inde i cirkelbevægelsen.

Men hvis det er sådan, det her, det også skal foregå stærkere og stærkere, så er jeg også nødt til at påvirke den med en kraft den vej der.

Skal vi kalde den for FA for accelerationen.

Så der foregår en kraft den vej der, og sammensætter vi de to der.

Så kan vi jo se, at der må blive en resulterende kraft, som ligger cirka den den vej der.

Skal vi kalde den for F res.

Øhm, og det betyder jo også, at det, hvis det her det var den der sten, som I slynger rundt i en snor.

Jamen, du kan ikke længere nøjes med at holde stenen inde i centrum, og så lade stenen gøre øh arbejdet.

Hvis I vil have stenen til at løbe stærkere og stærkere, så er jeg nødt til at føre armen en lille smule frem.

Sådan så I egentlig også får lavet en en en en kraft, der vil trække den endnu mere rundt i bevægelsen.

Og dermed får sat flere omdrejninger på på stenen.

Alt det her.

Øhm, det er beskrevet i fysikbogen.

Øhm, og er summeret rigtig godt op i en tabel på side 48 i fysikbogen.

Og der er en rigtig fin tabel, øh, hvor den egentlig er stillet op over for hinanden.

Hvordan de her formler, de gælder både for den retlinjede bevægelse, men også for cirkelbevægelsen, øh, for rotationen.

Og øh går man ind og kigger på dem, jamen så ligner de faktisk hinanden utrolig meget.

De er faktisk stort set de samme formler.

Hvor man i den retlinjede bevægelse bare arbejder med hastigheden V, og man i øh i øh.

Og hvor man ovre i i cirkelbevægelsen arbejder med hastighed øh omega, altså vinkelhastigheden.

I i den retlinjede bevægelse, der arbejder vi med strækning for afstanden.

Og nede i i cirkelbevægelsen, der arbejder vi med theta.

Altså antallet af radianer, som en en strækning.

I den retlinjede bevægelse, der har vi A for acceleration.

Og i den i cirkelbevægelsen, der arbejder vi med alfa for vinkelaccelerationen.

Så øhm.

Faktisk er der ikke den helt store forskel på accelereret eller på på retlinjet og på cirkelbevægelser.

Det er bare lidt nogle andre udtryk, vi bruger.

Ja.

Jeg håber, I kan bruge den her præsentation til noget.