**ДЧ17. Доведення формули Тейлора. Залишковий член. — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/taylor-formula-proof-remainder-term/

Доведення формули Тейлора, побудова полінома Тейлора та аналіз залишкового члена для наближення функцій.

## Key Takeaways

- Поліном Тейлора наближує функцію в околі точки x₀, співпадаючи з нею та її похідними до n-го порядку.
- Коефіцієнти полінома Тейлора визначаються через похідні функції в точці x₀, поділені на факторіали.
- Залишковий член R\_n(x) показує точність наближення і залежить від відстані від точки x₀.
- Формула Маклорена є частковим випадком формули Тейлора при x₀=0.
- Якщо залишковий член прямує до нуля при n→∞, функція може бути точно представлена рядом Тейлора.

## What the video covers

- Відео присвячене доведенню формули Тейлора для наближення функції поліномом.
- Обґрунтування вибору полінома, який співпадає з функцією та її похідними в точці x₀.
- Пояснення геометричного змісту співпадіння похідних для точності наближення.
- Виведення формули для коефіцієнтів полінома Тейлора через похідні функції в точці x₀.
- Запис полінома Тейлора та формули Маклорена як часткового випадку при x₀=0.
- Визначення залишкового члена R\_n(x) як різниці між функцією та поліномом Тейлора.
- Обговорення важливості залишкового члена для точності наближення функції.
- Умови, за яких ряд Тейлора збігається з функцією, при нескінченній кількості похідних.
- Введення допоміжної функції φ\_n(x) для аналізу властивостей залишкового члена.
- Застосування теореми Коші для знаходження точки, що пов’язана з залишковим членом.

Answers

## Questions about this video

Що таке поліном Тейлора і як він використовується для наближення функції?

Поліном Тейлора — це многочлен, який наближує функцію в околі точки x₀, співпадаючи з нею та її похідними до n-го порядку. Він використовується для спрощення дослідження складних функцій.

Як визначаються коефіцієнти полінома Тейлора?

Коефіцієнти полінома Тейлора визначаються як значення похідних функції в точці x₀, поділені на факторіали відповідного порядку похідної.

Що таке залишковий член у формулі Тейлора і чому він важливий?

Залишковий член R\_n(x) — це різниця між функцією та її поліномом Тейлора, що показує точність наближення. Він залежить від відстані від точки x₀ і повинен бути малим для якісного наближення.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:14

Speaker A

Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, диференційне числення. Сьогодні у нас формула Тейлора.

00:22

Speaker A

Ми будемо формулювати і доводити формулу Тейлора з міркувань наближення функції поліномом.

00:30

Speaker A

Яка мета? Ну, якщо ми маємо якусь функцію, маємо дослідити функцію якусь дуже коряву, ну, скажімо, арктангенс, логарифм, арксинуса, x³ або ще щось гірше, і нам треба її дослідити.

00:44

Speaker A

Замість неї, виявляється, іноді можна підставити поліном. Поліном - приємна функція, з ним приємно завжди мати справу, він зрозумілий і легко досліджуваний.

00:56

Speaker A

Але треба так, щоб вони все ж таки були близькі одна до одної.

01:02

Speaker A

Так от, що будемо міркувати близькістю?

01:10

Speaker A

Ми будемо вважати близькістю співпадіння значень функції і ряду її похідних.

01:19

Speaker A

Отже, нехай функція f(x) в околі точки x₀ має n+1, скажімо, похідну f^(n+1)(x₀) і в околі точки існує.

01:30

Speaker A

Існує така похідна.

01:32

Speaker A

Тоді підберемо многочлен n-го степеня вигляду такого: T\_n(x) у нас буде мати вигляд a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + ... + a\_n(x-x₀)^n.

01:42

Speaker A

Отакий у нас буде многочлен, яким ми будемо наближувати функцію.

01:49

Speaker A

Так от, підберемо такий многочлен, щоб він задовільняв таким умовам.

01:54

Speaker A

Значення многочлена в точці x₀ повинна співпасти зі значенням функції, це логічно.

01:59

Speaker A

Точно так, значення похідної в точці x₀ повинно співпасти зі значенням похідної нашої функції.

02:04

Speaker A

Значення другої похідної в точці x₀ дасть нам значення другої похідної функції в цій точці.

02:10

Speaker A

І так далі, аж до n-ої похідної. n-а похідна в точці x₀ повинна співпасти з n-ою похідною функції f, яку ми наближаємо.

02:17

Speaker A

Геометрично, як це уявляємо собі?

02:20

Speaker A

Це можна так собі представити, от наша нехай якась функція така.

02:24

Speaker A

І є точка x₀, в якій ми намагаємося наблизити.

02:28

Speaker A

Ну, по-перше, поліном повинен пройти через цю точку.

02:30

Speaker A

По-друге, похідні співпали, це значить, вони повинні мати спільну дотичну.

02:35

Speaker A

І поліном, і функція мають спільну дотичну.

02:38

Speaker A

Друга похідна відповідає за опуклість функції.

02:42

Speaker A

Тобто поліном повинен в околі цієї точки бути таким же опуклим, як і наша функція.

02:48

Speaker A

Подальші похідні теж і ще більше уточнюють поведінку полінома, наближуючи до поведінки функції.

02:53

Speaker A

Хоча геометрично такого прозорого змісту подальші похідні не мають.

02:57

Speaker A

Тим не менше, зрозуміло, що наближення буде чим більше похідних, тим точніше.

03:01

Speaker A

Оцим ми і будемо користуватись.

03:04

Speaker A

Отже, будемо поліном виходячи з цих отриманих нами умов.

03:08

Speaker A

Ну, знайдемо коефіцієнти полінома.

03:11

Speaker A

Знайдемо коефіцієнти нашого полінома T\_n.

03:13

Speaker A

Перше, T\_n в точці x₀.

03:16

Speaker A

Чому дорівнює T\_n в точці x₀?

03:21

Speaker A

Якщо замість x підставити x₀, всі доданки, крім першого, перетворяться в нулі.

03:26

Speaker A

Тобто у нас T\_n(x₀) дорівнює просто a₀.

03:29

Speaker A

А за умовою a₀ - це у нас буде якраз f(x₀).

03:33

Speaker A

Перший коефіцієнт ми вже знайшли.

03:36

Speaker A

Тепер знайдемо похідну полінома.

03:38

Speaker A

Похідна в точці x.

03:40

Speaker A

Похідна нашого полінома, a₀ - константа, зникає, залишається a₁ + 2a₂(x-x₀)² + 3a₃(x-x₀) + ... + n a\_n(x-x₀)^(n-1).

03:50

Speaker A

Це похідна полінома.

03:52

Speaker A

А значення похідної в точці x₀, похідна в точці x₀.

03:58

Speaker A

Знову зникнуть всі доданки, крім першого, a₁.

04:02

Speaker A

Буде дорівнювати, і за умовою це f'(x₀).

04:05

Speaker A

Може не всі такі будуть?

04:06

Speaker A

Зараз подивимось.

04:07

Speaker A

Знаходимо другу похідну.

04:09

Speaker A

В точці x.

04:11

Speaker A

Друга похідна від нашого полінома, це вже буде похідна звідси, a₁ зникло, а тут буде 2a₂ + 3 \* 2a₃(x-x₀) вже без степеня + ... останній доданок буде n(n-1)a\_n(x-x₀)^(n-2).

04:21

Speaker A

Це друга похідна.

04:23

Speaker A

І відповідно, значення другої похідної в точці x₀.

04:28

Speaker A

Буде мати 2a₂.

04:32

Speaker A

І це співпадає з похідною в точці, з другою похідною в точці x₀.

04:37

Speaker A

Зрозуміло, якщо я візьму третю похідну.

04:40

Speaker A

І залишиться в мене перший коефіцієнт 3 \* 2 \* a₃.

04:45

Speaker A

І тоді третя похідна в точці x₀ дасть мені 3 \* 2a₃.

04:50

Speaker A

І це в мене буде, ну, от так от вийде.

04:53

Speaker A

І так далі.

04:55

Speaker A

Випишемо останній n-ий.

04:58

Speaker A

Член n-а похідна многочлена в точці x.

05:01

Speaker A

Що буде n-ою похідною?

05:03

Speaker A

Ну, всі степені, крім останньої, перетворяться в нуль.

05:08

Speaker A

Залишиться тільки останній доданок.

05:10

Speaker A

І коефіцієнт у нього буде так n \* (n-1) \* (n-2) \* ... \* 2 \* a\_n.

05:15

Speaker A

Ну, це буде просто n! \* a\_n.

05:18

Speaker A

От якщо по черзі всі похідні брати, ми отримаємо послідовність, яка приводить нас до факторіалу.

05:23

Speaker A

І це в мене буде співпадати з n-ою похідною в точці x₀ за нашою умовою.

05:28

Speaker A

Отже, ми тепер можемо знайти всі n коефіцієнтів нашого полінома.

05:32

Speaker A

Виходячи з цих міркувань.

05:36

Speaker A

Зрозуміло, a₀ у нас вже є.

05:38

Speaker A

a₁ теж є.

05:40

Speaker A

a₂ в мене тут буде дорівнювати f''(x₀) / 2.

05:48

Speaker A

Я навіть можу написати 2! для порядку, це одне і те ж саме.

05:51

Speaker A

Тому що, якщо я буду знаходити a₃.

05:55

Speaker A

a₃ звідси буде дорівнювати f'''(x₀) / (3 \* 2 \* 1), це буде 3!.

06:02

Speaker A

Ну, і по останньому.

06:05

Speaker A

Ми будемо мати a\_n звідси, це n-а похідна в точці x₀ / n!.

06:12

Speaker A

Зрозуміло, як будуються ці коефіцієнти.

06:14

Speaker A

Залишилось підставити в наш поліном.

06:17

Speaker A

Давайте я підставлю тепер.

06:20

Speaker A

І він буде саме називатись поліномом Тейлора.

06:25

Speaker A

Многочлен Тейлора для цієї функції в точці x₀.

06:30

Speaker A

Нехай у нас T\_n(x) буде дорівнювати f(x₀) - це a₀ + f'(x₀) / 1! (x-x₀) + f''(x₀) / 2! + ... + f^(n)(x₀) / n! (x-x₀)^n.

06:41

Speaker A

Оце і є многочлен Тейлора.

06:43

Speaker A

Саме про нього я натякав, що він наближує функцію в околі точки x₀.

06:49

Speaker A

x₀.

06:50

Speaker A

Наближує.

06:52

Speaker A

Наближує, але не заміняє.

06:55

Speaker A

Так от, наближує.

06:57

Speaker A

Це означає, що f(x) буде наближено дорівнювати T\_n(x) в околі точки x₀.

07:04

Speaker A

Виходячи з таких от умов.

07:07

Speaker A

Ну, оце наближене, воно якось, ну, не строго.

07:10

Speaker A

Хотілось би строго.

07:12

Speaker A

Ну, дуже просто, наближення так, що є похибка.

07:16

Speaker A

Причому ця похибка, різниця між ними, для різних x буде різна.

07:22

Speaker A

Чим ближче до x₀, тим вона буде менша.

07:26

Speaker A

А по подалі там кудись пішов поліном собі, а функція собі.

07:30

Speaker A

Різниця розбігається.

07:33

Speaker A

Тобто похибка буде функцією від x.

07:36

Speaker A

Оцю функцію я і позначу R\_n(x).

07:40

Speaker A

І тепер я можу поставити строго дорівнює.

07:44

Speaker A

З урахуванням цієї похибки.

07:48

Speaker A

Оце і є наша формула Тейлора.

07:52

Speaker A

R\_n називається залишковим членом формули Тейлора.

07:56

Speaker A

T\_n - поліном вигляду, який написаний вище.

08:00

Speaker A

Функція наближено дорівнює цьому поліному.

08:04

Speaker A

Якщо x₀ = 0, функція, поліном Тейлора спрощується.

08:09

Speaker A

І навіть він має іншу назву.

08:13

Speaker A

Формула Маклорена.

08:16

Speaker A

Це формула Тейлора.

08:18

Speaker A

Маємо формулу Маклорена.

08:21

Speaker A

Який вигляд буде мати формула Маклорена для функції? f(x) = f(0) + f'(0) / 1! \* x + f''(0) / 2! \* x² + ... + f^(n)(0) / n! \* x^n.

08:30

Speaker A

І плюс залишковий член R\_n(x).

08:33

Speaker A

Формула Маклорена.

08:36

Speaker A

Звернемо увагу тепер на залишковий член.

08:41

Speaker A

Наближення буде мати сенс, якщо залишковий член буде достатньо маленький.

08:47

Speaker A

Більше того, якщо ми будемо мати, скажімо, функцію, що має нескінченну кількість похідних.

08:55

Speaker A

Всі похідні можливі вона має.

08:57

Speaker A

Нескінченно диференційована.

09:00

Speaker A

Тоді ми можемо виписати таку формулу, ну, до нескінченності.

09:07

Speaker A

Врахувати так от до нескінченності.

09:10

Speaker A

Ми перейдемо від формули Тейлора або Маклорена до ряду Тейлора або ряду Маклорена відповідно.

09:17

Speaker A

Причому залишковий член, причому повинен зникнути.

09:21

Speaker A

Повинен стати нулем.

09:23

Speaker A

Якщо залишковий член буде прямувати до нуля, то у нас вийде, що функція може бути точно представлена у вигляді ряду Тейлора або ряду Маклорена.

09:29

Speaker A

Але це у нас дослідження буде трошки пізніше.

09:34

Speaker A

Окремо ми про це будемо говорити.

09:37

Speaker A

А сьогодні ще звернемо увагу на поведінку самого залишкового члена.

09:42

Speaker A

Отже, я хочу отримати представлення залишкового члена R\_n(x).

09:47

Speaker A

В якомусь, ну, такому зручному вигляді, яким можна користуватись.

09:51

Speaker A

Для цього.

09:53

Speaker A

Я розгляну, да, залишковий член - це у нас що?

09:58

Speaker A

Це у нас f(x) - T\_n(x).

10:02

Speaker A

Я звернув увагу, що.

10:05

Speaker A

R\_n(x₀) = 0.

10:09

Speaker A

R\_n'(x₀) теж дорівнює 0.

10:13

Speaker A

Різниця.

10:15

Speaker A

І так далі, будь-яка k-а похідна, коли k = 0, 1, ..., n, буде дорівнювати 0.

10:21

Speaker A

Крім нашого залишкового члена, розглянемо ще одну функцію допоміжну.

10:26

Speaker A

Я її позначу φ\_n(x), ну, хоча n - це у нас буде (x-x₀)^(n+1).

10:32

Speaker A

Я отаку функцію розгляну.

10:35

Speaker A

І подивлюсь на її значення в точці x₀.

10:39

Speaker A

Зрозуміло, що функція в точці x₀ обертається в нуль.

10:43

Speaker A

Але нуль будуть обертатись всі її похідні, тому що диференціюючи цю функцію.

10:50

Speaker A

Я кожного разу буду отримувати (x-x₀) в зниженому степені, але все-таки (x-x₀).

10:57

Speaker A

Яке при підставленні замість x x₀ буде обертатись в нуль.

11:01

Speaker A

Отже, можна написати, і це буде до самої n-ої похідної.

11:07

Speaker A

n+1-а похідна дасть мені вже n+1, вже не нуль.

11:13

Speaker A

Тому φ\_n^(k)(x₀) = 0, коли k таке ж саме.

11:20

Speaker A

Для всіх k від 0 до n.

11:23

Speaker A

От, користуючись цими властивостями.

11:28

Speaker A

Ми розглянемо R\_n(x) / φ\_n(x).

11:33

Speaker A

Я розгляну отаку різницю.

11:36

Speaker A

Відношення таке.

11:38

Speaker A

Користуючись тим, що R\_n(x₀) = 0.

11:44

Speaker A

І φ\_n(x₀) = 0.

11:49

Speaker A

Я відніму чисельник у знаменнику відповідні вирази.

11:53

Speaker A

І отримаю таку різницю.

11:56

Speaker A

Причому рівність не змінилась.

11:59

Speaker A

Згадуємо теорему Коші.

12:02

Speaker A

Яка стверджує.

12:04

Speaker A

Що знайдеться точка x₁ така, що це відношення буде дорівнювати R\_n'(x₁) / φ\_n'(x₁).

12:11

Speaker A

x₀, якась точка x у нас.

12:16

Speaker A

x₁ між ними, x₁ якась точка між ними.

12:21

Speaker A

Але.

12:23

Speaker A

І похідні R\_n'(x₀) і φ\_n'(x₀) дорівнюють 0.

12:30

Speaker A

Тому я можу відняти.

12:33

Speaker A

R\_n'(x₁) - R\_n'(x₀) / (φ\_n'(x₁) - φ\_n'(x₀)).

12:40

Speaker A

І знову використати теорему Коші.

12:43

Speaker A

За якою я отримаю, що ця різниця, це цей дріб буде дорівнювати R\_n''(x₂) / φ\_n''(x₂).

12:50

Speaker A

Причому точка x₂ розташована між x₀ і x₁.

12:56

Speaker A

Неважко здогадатись, що ми будемо продовжувати цей процес.

13:00

Speaker A

До яких пір?

13:02

Speaker A

А доки ми можемо віднімати нулі?

13:04

Speaker A

А це буде останній раз, коли n-ий раз.

13:08

Speaker A

R\_n.

13:11

Speaker A

Ну, і останній такий от відношення буде мати вигляд R\_n^(n+1)(c) / φ\_n^(n+1)(c).

13:16

Speaker A

x₁ x₂ і так далі.

13:18

Speaker A

Остання точка у мене c.

13:21

Speaker A

Це на n+1-му кроці.

13:24

Speaker A

Але що буде n+1-а похідна?

13:28

Speaker A

φ\_n^(n+1)(x).

13:33

Speaker A

Я про це вже казав.

13:35

Speaker A

Дорівнює (n+1)!.

13:38

Speaker A

З іншого боку, а що є R\_n^(n+1)?

13:44

Speaker A

R\_n^(n+1)(x) - це є R\_n(x) - T\_n(x).

13:50

Speaker A

Це є різниця функції і многочлена n-го степеня.

13:55

Speaker A

Але n+1-а похідна від многочлена n-го степеня є 0.

14:01

Speaker A

Тобто n+1-а похідна від залишкового члена співпадає з n+1-ою похідною функції.

14:06

Speaker A

І відповідно, в точці c таке буде.

14:09

Speaker A

Отже, R\_n(x) / φ\_n(x).

14:12

Speaker A

Маємо.

14:14

Speaker A

В чисельнику буде стояти f^(n+1)(c) / (n+1)!.

14:21

Speaker A

На (n+1)!.

14:24

Speaker A

Звідси R\_n(x) буде дорівнювати f^(n+1)(c) / (n+1)! \* (x-x₀)^(n+1).

14:30

Speaker A

Ми знайшли формулу для залишкового члена формули Тейлора.

14:37

Speaker A

Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.

14:41

Speaker A

Ця форма представлення залишкового члена називається формою Лагранжа.

14:45

Speaker A

Чимось натякає теорему Лагранжа.

14:47

Speaker A

Де у нас існувала точка c між крайніми точками інтервалу.

14:52

Speaker A

В якій похідна дорівнює.

14:54

Speaker A

Ну, схоже на Лагранжа.

14:56

Speaker A

Поговоримо ще трохи про залишковий член.

14:59

Speaker A

Тут він записаний в формі Лагранжа.

15:02

Speaker A

Ми говорили про те, що функція добре наближується, коли x близько до x₀.

15:09

Speaker A

Тобто величина (x-x₀) можна вважати малою.

15:14

Speaker A

А для точності взагалі нескінченно малою.

15:18

Speaker A

В цьому випадку.

15:21

Speaker A

Розглянемо порядок цієї нескінченно малої.

15:26

Speaker A

Оскільки тут стоїть степінь n+1.

15:30

Speaker A

Я можу написати, що (x-x₀)^(n+1) як нескінченно мала є o((x-x₀)^n).

15:38

Speaker A

Тобто границя відношення, це означає, що границя відношення, коли x прямує до x₀.

15:46

Speaker A

(x-x₀)^(n+1) / (x-x₀)^n = 0.

15:52

Speaker A

Це якраз означає, що o маленьке.

15:55

Speaker A

Величина порядку малості більш високого порівняно з n+1.

16:01

Speaker A

І якщо помножити цю величину на константу f^(n+1)(c).

16:07

Speaker A

Це ж константа, в якійсь точці значення функції.

16:11

Speaker A

Поділене на (n+1)!.

16:14

Speaker A

Ця величина все одно буде o маленьке від за порядком вона буде порядку більш високого порівняно з (x-x₀)^n.

16:20

Speaker A

І ми можемо записати R\_n(x) просто як o маленьке від (x-x₀)^n.

16:26

Speaker A

Ну, якось начебто небагато інформації.

16:29

Speaker A

Але насправді це іноді буває дуже зручно.

16:34

Speaker A

І ця форма представлення залишкового члена називається формою Пеано.

16:40

Speaker A

Залишковий член в формі Пеано.

16:44

Speaker A

Ну, цим зауваженням ми закінчуємо сьогоднішню тему.

16:49

Speaker A

Ми довели формулу Тейлора.

16:55

Speaker A

Частковий випадок її - це формула Маклорена, найбільш вживана.

17:00

Speaker A

І проаналізували залишковий член, в якому вигляді її можна використовувати.

17:07

Speaker A

На сьогодні все.

17:10

Speaker A

Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього.

17:15

Speaker A

Ставте лайки.

17:17

Speaker A

А я з вами, Олексій Василенко.

17:21

Speaker A

До побачення.

Topics: формула Тейлора поліном Тейлора залишковий член математичний аналіз диференційне числення ряд Тейлора формула Маклорена наближення функції похідні теорема Коші

Вчити це відео

- [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15935)
- [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15935)

Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/taylor-formula-proof-remainder-term/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/