**ИНВАРИАНТ | ОЛИМПИАДНАЯ МАТЕМАТИКА — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/invariant-olympiad-mathematics/

Лекция по олимпиадной математике о понятии инварианта и его применении в задачах с примерами из перестановок и изменений четности.

## Key Takeaways

- Инвариант — ключевое понятие для анализа изменений в задачах с операциями.
- Четность позиций или количества объектов часто является инвариантом в подобных задачах.
- Понимание инвариантов помогает доказать невозможность определённых преобразований.
- Использование переменных для выражения инвариантов упрощает анализ сложных процессов.
- Задачи с инвариантами часто встречаются на математических олимпиадах и развивают аналитическое мышление.

## What the video covers

- Введение в понятие инварианта — величины, не меняющейся при определённых операциях.
- Рассмотрение задачи с перестановкой 100 фишек через одну и анализ сохранения четности позиций.
- Объяснение, почему невозможно переставить фишки в обратном порядке при заданных условиях.
- Пример с 20 платками и 17 девочками, каждая из которых либо вешает, либо забирает платок.
- Анализ изменения количества платков и сохранения четности при последовательных действиях девочек.
- Введение переменной x как разности количества платков и девочек для отслеживания инварианта.
- Демонстрация, что изменение действий не меняет значение x, что объясняет невозможность получить 10 платков в конце.
- Объяснение важности инвариантов для решения олимпиадных задач и понимания ограничений в процессах.
- Подчёркивание практической значимости темы для олимпиадной математики и развития логического мышления.
- Призыв к подписке и дальнейшему изучению интересных математических тем на канале.

Answers

## Questions about this video

Что такое инвариант в контексте олимпиадной математики?

Инвариант — это величина, которая не меняется при определённых операциях или преобразованиях, что помогает анализировать и решать задачи.

Почему нельзя переставить 100 фишек в обратном порядке при условии, что меняются только фишки через одну?

Потому что четность позиции каждой фишки сохраняется, и четные фишки не могут занять нечетные позиции, что делает обратную перестановку невозможной.

Как инвариант помогает понять ситуацию с платками и девочками?

Инвариантом является разность между количеством платков и девочек, которая не меняется при их действиях, что доказывает невозможность получить 10 платков в конце.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:00

Speaker A

Всем добрый день! Я, как обычно, рад вас приветствовать на нашем канале. На сцене ждет очень интересная лекция. Тема — открытия доске. Как обычно, нужно писать им это вариант. Но прежде чем начать, я хотел бы еще раз сказать, что не забывайте подписываться на нас. Как обычно, уходит много всего любопытного, интересного, просто классного. Он будет с нами своими. Смотрите, что у нас нового уходит. Итак, тема января — не заговор. Кто-то уже слышал это слово. Надо бояться, как и прочие слова, которые мы произносим. Инвариант буквально — что перевести? Начать просто, без вариантов. То есть мы сегодня будем рассматривать какие-то величины, которые не меняются в процессе этих манипуляций, каких-то операций, чего-то такого процесса. Ну чтобы было интересно, актуально. И мы даже сталкивались, ни частенько сталкиваемся в процессе решения и других номеров, даже не подозревая о том, что мы не касаемся. Время проходит, под какое-то число в процессе какие-то операции остаются четным или, допустим, какое-то число остается отрицательным или положительным в процессе опять же чего-то. До того, что происходит задачи, я думаю, например, все это попробуем пощупать и станет всё ещё яснее. Но в актуальности темы, думаю, вы поймете то, что номера, которые будем с вами разбирать, они частенько встречаются в разного сорта олимпиадах. Давайте порешаем, потому что все останется места. Так, номер 1, и звать его автор медицинского описания. Можно следить, может, как обычно ставить на паузу и сами пришельцы и снова возвращаться в любые форматы. Возможно, вы сами знаете. Давай, что у нас есть? 100 фишек, которые вы ставили. Вряд ли уже изобразил наглядно, что происходит и что предлагается оценить. Возможность можно ли поменять эти фишки таким образом, чтобы они стали в обратном порядке. То есть если было пронумеруем, это было 1, 2, 3, 4, так далее, чтобы все стало наоборот, чтобы солнце фишка стал на первое место, дима взгляд и на 2 мы когда сделать обратном порядке. Ну да, при этом через важное условие, конечно. Да, ведь я изобразил то, что меняются фишки через одну. Вот это, конечно, принципиально. Ваши слова честно. Поймем почему. Вот я пройду стрелочка минут раньше, тем там не нарисовал, кто с кем не тянется. Вот, но покажу, что у меня это через одну требуется понять вообще можно это сделать. Сможем ли мы переставить в обратном? The red. Ну на самом деле, я так пока я нарисовал картину шкаф, понял, что я уже изобразил решение. На самом деле сейчас пронумеровала самой фишки, и все вдруг стало, мне кажется, совсем очевидно, что происходит. У нас ведь это же стрелки премьера получается, что 1, 1 фишка меняется с 3.8. Мы смотрим на порядку и номер, номер позиции фиксированные. То есть было нечетное 1 место сразу нечетное. Уже не просто нечетные 1 метр меняется с третьим местом, потрите с пятым местом, ну и так далее. А второй год 4, 4 наоборот 6 через 1 меняемся. Но мне кажется, решение для на поверхности, хотя если так не планировать, может доход стал поиграться, посмотреть что происходит, вот и убедиться, что они не получается. Ну а понятно, чем не получается. Видите, четность не меняется, модуль января, что не меняясь оппозиция, четность позицию эльдар, который стоит каждый свечек в процессе этих манипуляций меняться не будет. А то сам просто мы сейчас и стали говорить. То есть здесь и школа 1, то она может от 3, может от 5, можно 99, но 2, 4, 6 или 100 стать не может. Даже 100 фишка, как было четный сатана месте 12 вольт 6 март. Ведь какой бы 2 даже место, но к сожалению на первенстве никаким образом она попасть не сможет. То есть все четные, как были, так и останутся четными, середины так останутся нечетными. Поэтому да, делать-то что она спрашивает в данных условиях невозможно. Ну давайте прямо сразу же еще один персонаж сделаем. Ним кажется таким же простым, как и предыдущий. Смотрите, что сказано. Конкретен мифическая раздевалка. Этот школ там висит 20 платков, рядом стоит 17 девочек. Да, чном скажу, что каждая девочка подходит и совершает следующую: опираются на или забирают один из платков и уходят с этим платком. И подходит, а вот вешает платок какой-то еще нам письма. Кто-то пока тут и без них вешать, потом и вчера тоже уходит. И даже спрашивайте, что может так получиться, то в конце осталось 10 платков у портал, как все девочки подошли и потому шли. То есть девочек не осталось, а в конце как будто здесь платков. Но может так оказаться в итоге. Давайте разбираться. Ари что получались поверх. Можно, конечно, прогнозировать всю ситуацию пошагово и по и что подходя и каждый, как девочка, на нужно или прибавлять платок, или забирают платок. Видишь, опять же какая-то величина оценивается в точке 3. Нечетности ничего даст. Вам не кажется, что это все уже прям первым делом смотрит на эту отчетность уже после того, как вы покрутились с вами пятом номера кровать чуть не самое первое, что нас только если посмотреть. Так вот изначально харрис платков у нас кокаину двадцать штук. Каждый девушка меняет на меня отчетность. Получать, что первое поменяла на другую четность, сделала нечетное количество платков. Причем неважно, что она совершила кооперацию, сильно повесила платок. На счету стало 20 поток на 1 больше, все забрала, стала 19 платков. Также изменила в ту сторону. Но какая нам разница? Есть и был отчетность, и любой изменена на один из делание нечетным этого числа количество лотков 2 первую и дальше каждый не будет повторять эту манипуляцию. То есть вас будут первые изменит на один четность 2 еще семьи четность 3 изменить и так далее. Ясно, что каждый день девочки, скажем, можно так рассуждает менять не менее четности. То есть 1 место размерность после второй черт за стал прежним, после 16 девочек черный останется прежней, а вот после 17 четко быть друга. То есть это изначально было то вас платков, то после ухода нечетного количества девочек останется он должно остаться на нечетное количество. Тку спрашивается, может остаться 10? Ну не может. Понимать статус. Вот если прогнозировать ситуацию, то получается, то что нибудь возникает вопрос. Конечно, почему моим вырублюсь. Говорим про культурный вариант. Можно подумать про за там какое-то изменение четности. Это январе на то есть более такому натирка, более явно видите, можно определить ту величину, которое характеризует ситуацию. Арестовать мы сами рассмотрим в конце. Это количество на платков, которые висят, а т.д. Эти большие буквы — это струхнула количество девочек, которые стоят рядом. Так вот, давайте можно рассмотреть две личного будет икса, которая равна разности, как раз вот 2 количество. То есть палатки не вас девочки может было в другой стороны, не важно изначально, что он изначально 3 значение x sata 3 2017. У нас в принципе не интересует даже и на самой ушло 3. Нас интересует то, что нам krasny чудное до 3 проанализировать же, что происходит с точки зрения изменения величин. Ну что происходит? То же самое. Есть ли девочка подошла и платок забрала, что получает количество платков у нас такое туда, как табличка на меньше, а и количества девочек к ножу шла тоже на лишь в -1. То есть и то, и другое лично уменьшилась на единицу. Ну пока что вот этого величин их с не изменится. То тут мы здесь одни собой начались. Мои x останется такой же. Хорошо. Если наоборот она подошла и повесила поток, что стал платками будет больше 1 квартал + 1. Но сама девочек куда делась? Ушла. Здесь все-таки остается минус 1. Девочка ушла. Что осталось от величин? Парите. То есть количество лотков + 1 окажется 10 минус 1, то есть радость сменилась на 2. Получается дельта равна нулю. Изменить одеть это равно 2. Все других нас вариантов нет. Других операций совершается. Четность исходной величины в процессе не меняется. Вот он и время лично x есть тот самый взгляд, который причина, который не меняется. Вот нам объяснили, почему так происходит. Все раз не меняется, в итоге должно остаться число нечётное, а у нас предлагаются, что в итоге осталось 10 платков и но и дырочек. То есть величина как будто ворона действительно час учебку такое быть него, то что это противоречит условию. Все ответ не может. Итак, давайте сразу следующий номер. Для каждого еще проще, чем было. Смотря на такую заковали эту формулировку, посмотрим. Итак, в алфавите и две буквы. Даже интересный. С помощью букв можно много что выразить. У него сейчас не об этом. Итак...

00:14

Speaker A

обычно уходит много всего любопытного интересного просто классного он будет с нами своими смотрите что у нас нового уходит и так тем января не заговор кто-то уже слышал это слово надо бояться как и прочие слов которые мы произносим инвариант буквально что

00:32

Speaker A

перевести начать просто без вариантов то есть мы сегодня будем рассматривать какие-то величины которые не меняются в процессе это манипуляции какие-то операции чего-то такого процесса ну чтобы вдоволь интересно актуально и мы даже сталкивались ни частенько сталкиваемся в процессе решения и других номеров даже не

00:53

Speaker A

подозревая о том что мы не касаемся . время проходит под какое-то число в процессе какие-то операции остается четным или допустим какое-то число остается отрицательным или положительным процессе опять же чего-то до того что происходит задачи я думаю например все это попробуй пощупаем и

01:11

Speaker A

станет всё ещё я сней но в актуальность темы думаю вы поймете то что номера который будем с вами разбирать они частенько встречаются в разного сорта данном олимпиадах давайте порешаем потому что все останется места так номер 1 и звать его автор медицинского

01:28

Speaker A

описание можно следить может как обычно ставить на паузу и сами пришельцы и снова возвращаться любые форматы возможно вы сами знаете давай что у нас есть 100 фишек которые вы ставили вряд ли уже изобразил наглядно что происходит и что предлагается оценить возможность

01:48

Speaker A

можно ли поменять эти фишки таким образом чтобы они стали в обратном порядке то есть если было пронумеруем это было 1 2 3 4 так далее с чтобы все стало наоборот чтобы солнце фишка стал на первое место дима взгляд и на 2 мы когда сделать

02:07

Speaker A

обратном порядке ну да при этом через важное условие конечно да ведь я изобразил то что меняются фишки через одну вот это конечно принципиально ваши слова честно поймем почему вот я пройду стрелочка минут раньше тем там не нарисовал кто с кем не тянется вот но

02:27

Speaker A

покажу что у меня это через одну требуется понять вообще можно это сделать сможем ли мы перестаем обратном the red ну на самом деле я так пока я нарисовал картину шкаф понял что я уже изобразил решение на самом деле сейчас

02:39

Speaker A

пронумеровала самой фишки и все вдруг стало мне кажется совсем очевидно что происходит у нас ведь это же стрелки премьера получается что 1 1 фишка меняется с 38 мы смотрим на порядку и номер номер позиции фиксированные то есть было нечетное 1 место сразу

02:59

Speaker A

нечетное уже не просто нечетные 1 метр меняется с третьим местом потрите с пятым местом ну и так далее а второй год 4 4 наоборот 6 через 1 меняемся но мне кажется решение для на поверхности хотя если так не планировать

03:16

Speaker A

может доход стал поиграться посмотреть что происходит вот и убедиться что они не получается ну а понятно чем не получается видите четность не меняется модуль января что не меняясь оппозиция четность позицию эльдар который стоит каждый свечек в процессе этих манипуляций

03:35

Speaker A

меняться не будет а то сам просто мы сейчас и стали говорить то есть здесь и школа 1 то она может от 3 может от 5 можно 99 но 2 4 6 или 100 стать не может даже 100 фишка как было четный сатана

03:49

Speaker A

месте 12 вольт 6 март ведь какой бы 2 даже место но к сожалению на первенстве никаким образом она попасть не сможет то есть все четные как были так и останутся четными середины так останутся нечетными поэтому да делать-то что она спрашивает

04:04

Speaker A

в данных условиях невозмо ну давайте прямо сразу же еще один персонаж сделаем ним кажется таким же простым как и предыдущий смотрите что сказано конкретен мифическая раздевалка этот школ там висит 20 платков рядом стоит 17 девочек дачном скажу что каждая

04:21

Speaker A

девочка подходит и совершать следующую опираются на или забирают один из платков и уходят с этим платком и подходит а вот вешает платок какой то еще нам письма кто-то пока тут и без них вешать потом и вчера тоже уходит

04:36

Speaker A

и даже спрашивайте что может так получится то в конце осталось 10 платков у портал как все девочки подошли и потому шли то есть девочек не осталось а в конце как будто вы здесь платков но может так оказаться в итоге давайте

04:52

Speaker A

разбираться ари что получались поверх можно конечно прогнозировать всю ситуацию пошагово и по и что подходя и каждый как девочка на нужно или прибавлять платок или забирают платок видишь опять же какая-то величина оценивается в точке 3 не четности ничего

05:11

Speaker A

даст вам не кажется что это все уже прям первым делом смотрит на эту отчетность уже после того как вы покрутились с вами пятом номера кровать чуть не самое первое что нас только если посмотреть так вот изначально харрис платков у нас

05:24

Speaker A

кокаину двадцать штук . каждый девушка меняет на меня отчетность получать что первое поменяла на другую четность сделала нечетное количество платков причем неважно что она совершила кооперацию сильно повесила платок на счету стало 20 поток на 1 больше все забрала стала 19 платков также изменила

05:42

Speaker A

в ту сторону но какая нам разница есть и был отчетность и любой изменена на один из делание нечетным этого числа количество лотков 2 первую и и дальше каждый не будет повторять эту манипуляцию то есть вас будут первые изменит на один четность 2 еще семьи

06:03

Speaker A

четность 3 изменить и так далее ясно что каждый день девочки скажем можно так рассуждает менять не менее четности то есть 1 место размерность после второй черт за стал прежним после 16 девочек черный останется прежней а вот после 17

06:18

Speaker A

четко быть друга то есть это изначально было то вас платков то после ухода нечетного количества девочек останется он должно остаться на нечетное количество тку спрашивается может остаться 10 ну не может понимать статус вот если прогнозировать ситуацию то получается то что нибудь возникает

06:35

Speaker A

вопрос конечно почему моим вырублюсь говорим про культурный варианту можно подумать про за там какое-то изменение четности это январе на то есть более такому натирка более явно видите можно определить ту величину которое характеризует ситуацию арестовать мы сами рассмотрим в конце

06:53

Speaker A

это количество на платков которые висят а т.д. эти большие буквы это струхнула количество девочек которые стоят рядом так вот давайте можно рассмотреть две личного будет икса которая равна разности как раз вот 2 количество то есть палатки не вас девочки может было в другой

07:15

Speaker A

стороны не важно изначально что он изначально 3 значение x sata 3 2017 у нас в принципе не интересует даже и на самой ушло 3 нас интересует то что нам krasny чудное до 3 проанализировать же что происходит с точки зрения изменения величин ну что

07:34

Speaker A

происходит то же самое есть ли девочка подошла и платок забрала что получает количество платков у нас такое туда как табличка на меньше а и количества девочек к ножу шла тоже на лишь в -1 то есть и то и другое лично уменьшилась на

07:52

Speaker A

единицу ну пока что вот этого величин их с не изменится то тут мы здесь одни собой начались мои x останется такой же хорошо если наоборот она подошла и повесила поток что стал платками будет больше 1 квартал + 1

08:08

Speaker A

но сама девочек куда делась ушла здесь все-таки остается минус 1 девочка ушла что осталось от величин парите то есть количество лотков + 1 окажется 10 минус 1 то есть радость сменилась на 2 получается дельта равна нулю изменить одеть это равно 2

08:29

Speaker A

все других нас вариантов нет других операций совершается четность исходной величины в процессе не меняется вот он и время лично x есть тот самый взгляд который причина который не меняется вот нам объяснили почему так происходит все раз не меняется в итоге должно остаться

08:47

Speaker A

число нечётное а у нас предлагаются что в итоге осталось 10 платков и но и дырочек то есть величина как будто ворона действительно час учебку такое быть него то что это противоречит условию все ответ не может и так давайте сразу

09:00

Speaker A

следующий номер для каждого еще проще чем было смотря на такую заковали эту формулировку посмотрим итак в алфавите и две буквы даже интересный с помощью букв можно много что выразить у него сейчас не об этом и так звука моего какой-то

09:16

Speaker A

тип и племя там физическая и что же скажет что слова являются синонимами есть отличать нам такие буквосочетание мы о или а о моем и всего можем добавить это моё или на борт вытянуть из слова о причем не важно сколько раз слова

09:35

Speaker A

остаются синоним ну это же с этим сочетанием он м и можно добавлять всего футбольный 1 или на борту убирать его из слова этот кусок и слова считаются симон и так спрашивайте являются листочками 2 такие короткие слова о маме мы по а вот

09:52

Speaker A

вы любите сальную да про решать вы как обычно ставить на паузу и потому что возвращайтесь вот новой сразу скажем что несмотря на так вот ведь лингвистические такие казусы вы все сейчас легко разрешим ситуацию каким образом посмотрим вот на эти два

10:13

Speaker A

сочетание о-о-м-м и что с ними не так это просто не так вот мне кажется так как на поверхности лежит что количество букв собственно них одинаковое количество укв мы его есть полно здесь под день то есть вы сами возьмем за

10:30

Speaker A

инвариант количество с.м. это количество букв в слове раза количество за с от по это количество букв в слове то после зрелищно x которая представляется разных окрасов и можно назвать инвариант урон потому что здесь нам предлагать такую условии что до н о

10:53

Speaker A

г о м и говорит нам о том что будет моих добавлять или убирать слова разность между этими количествами просто нибудь меняться но теперь давайте вернемся сложно потому что спрашивает сколько что он происходит то есть о-о-м-м букву 1 буквами 2 часа отлично работает чему

11:13

Speaker A

2 минус сайте просто один год в первом случае вот во втором случае получается один минус 2x тормозишь -1 но такого быть не может раз на том что выяснил что значит x это инвариант она в процессе операции не меняется все начнут они доказали что два

11:35

Speaker A

слова национализация не могут кто готов так но мы с вами двигаемся дальше у нас совмещение несложно номер но очень идея специальную взял что просто обратить ваше внимание на такое один из самых базовых фактов при работе но твите с

11:50

Speaker A

таблицами в даосской может где то вы столпились но там таблица m на n нас есть и скажу что сумма чисел потом через расставлен вот и скажи что сумма чисел в любой строке или в любом столбце равна 10 их требует доказать что собственно n

12:06

Speaker A

равно n почему то есть таблицы это не буду разрисовывать приблизительно так на сами накидаем табличку тосканские сами м строк получается вот так у нас пульт м столпов н столбцов что из не меняется к чему общей темой нарядно почему этот номер здесь как раз потому

12:33

Speaker A

что таблица как ни крути как верно на звук не пробуй это все та же самый таблиц даже когда мы отвернёмся от нее там написано все те же самые числа что и предполагалось изначально никакой маленькая и случается но мы пока в

12:48

Speaker A

рамках каких-то разумных теорий работает и так ты чего это говорю что если вы сами подсчитаем таблицу крым по строкам что мы узнаем мы можем узнать что сумму цифр во все таблицы то есть если сумма чисел и чисел сумма чисел в любой строке

13:03

Speaker A

если равна 1 то есть асуров и только до 111 так далее 1 почему-то равна общая сумма чисел в таблице так из нас м штук единиц сумма что равна быть м логично же с другой стороны мы можем точно так же ты сам почитать по

13:23

Speaker A

столбцам посмотреть вот там до сумму и как в любом столбце foobar она буквально что вот мои топ низу посмотрим то есть сумма здесь один тут один нас не те строки там три стоять числа мы этого не знаем 11 тогда люди сделают 1 дек стал

13:40

Speaker A

топ нас и шток то есть сумма равна н но еще раз то сонник прот какая-то сумма чисел по всей таблице этой роли друга вечно одно и то же поэтому m равно пи да конечно номер смотрится крайне смешно но даже не представляешь сколько

13:59

Speaker A

довольно серьезных номеров можно решить получат подсчет как два способа построить и можно почитать и вот так и вот так его вечно будешь все время одна и та же ну что да это можно назвать инвариантом с ума числа все это влить 100 сама-то

14:16

Speaker A

нас есть и на меняется в процесс каких-то манипуляций вот и все итак опять очередной следующий номер вы наверно ждали на мою что происходит есть число x какой-то считается сумма его цифр ну и пишется тоже на доски потом получаются у нового

14:35

Speaker A

числа точно также считаются сумма цифр и записывайся на доске и так далее да и процесс продолжается до тех пор пока не останется однозначное число морская цифра мы будем говорить м таким образом число состоящий из знака смотри что что у нас имеется нечто что

14:52

Speaker A

предлагаете совершит эту манипуляцию с числом 80 тысяч девятьсот восемьдесят девять вот и собственно спрашивается какой же однозначно что останется в итоге после вот таких вот многочисленных оба быть не очень операций не знаю сколько огонь не хочешь эти слова очень

15:08

Speaker A

большое прям очень большое видео больше число атомов во вселенной как 3 сравнить но нам от нас математика мы не празднуем а ведь про чисто рассуждаем а ведь но вообще конечно такие все вещи которые святость или мастью можно хоть наши

15:25

Speaker A

лекции кита если вы еще не смотрели вас на канале много всего интересного про делимость про признаки делимости чего-то здесь связано 100 кажется уже начинаем заливать решение теперь рассмотрим то есть на многие задачка там усами разбирая можно наблюдать с разных

15:44

Speaker A

ракурсов и прилагать очень разные решение татарской краски ну что же давайте подумаем что же здесь быть варианта но вот у тебя не зря дурно озвучил слова признаки делимости если вы помните то признаки делимости на 3 надеюсь подразумевают что он сидит

16:00

Speaker A

доказывали вот колибри рождает что остатки определение какого-либо числа любой банк урале числа на триггер на 9 сравнимые с остатками при делении сумма цифр соответствующих чисел на 31 ну давайте мы не будем сейчас сразу два признака суть него так

16:21

Speaker A

что хочется взять девятку вот и сказать чтобы просто я сказал наш . просто напишу о том что x сравнимо с фраза пускай не пугайте тех кто знает сравнение потому что здесь просто краткий запись того что как раз и число

16:44

Speaker A

и сумма его цифр имеют знак рассадки по модулю дичь признак наверно в этом и состоит в этом о чем при задались мы еще может быть не просто делится недель чаще просто просто ждать позволяет смотреть вас же речь как раз в этой ситуации

17:01

Speaker A

ronpa это видео тоже будете вариантом вот как раз на спад определения надеюсь качество сравнимся давать потом что у нас было в начале что получим в конце начально было что он вот это огромное число 8 вот такой степень а давайте

17:18

Speaker A

просто подумаем чем вы могли бы просто сравнить эффект топ-8 очень удобно сидят как раз сравнивать 108 сравним с минус единицей это очень удобно с точки зрения делюсь надеетесь но уже с минус единицы работать и христа приятно так что -1

17:43

Speaker A

может в какой-либо натуралист этими что происходит в степени ловеч опыта стало просто застрелен нечетные у нас останется минус один это несложно и так все равно просто минус единице или давайте мы вернем обратно восьмерку напишу еще раз внятно что это же по

18:04

Speaker A

модулю а уже 9 нас происходит немножко на край доски заехал потому что видно и так что случай мне кажется уже решение готово посмотрите то есть если мы с вами выяснили что наше исходное число сравнимо с восьмеркой полон людей а у

18:23

Speaker A

нас спрашивают о какой останется однозначное число но однозначно чисел и так много собственно да от нуля до девяти сего 10 вариантов но сколько тебе сравни 8 фото возможно есть вот восьмерка сравниваем восьмерка погрузить здесь зарядкой итак останется в конце 8 вот еще и так на

18:45

Speaker A

сами следующий номер смотритель опять хотите числу вносит много что если вы связано да итак 1 2 3 и так далее девятнадцать двадцать двадцать чисел натурального записано и скажем что космическими совершается следующая операция то есть два числа а б какие-то

19:03

Speaker A

произвольные стираются и место не пишите в слот а + b - 1 спрашивает какое число останется после 19 о таких операций покажу сначала вроде сложно дать его аккуратненько проанализировать все что происходит вот в процессе и так изначально была а и b

19:27

Speaker A

числа записаны вот и после вот один остается а + b - 1 под суд на сумму цифр вполне кажется естественным маленький из неё орбите нас каждый раз уменьшается на 1 .

19:46

Speaker A

мы скажем несколько слов про то вообще что в итоге будет на грани что количество чисел уменьшается понятное дело с места 2 сезон становится какое-то одно ясно что через 19 операций она одна останется про него и спрашивает как раз

20:01

Speaker A

итак процесс мы вроде бы сами так хорошо прощупали описали но вопрос а что здесь самый на варианты что жизнь не меняется я хотел здесь нет дети лично которой можно искусственно придумайте назвать ее инвариант наверное столько сколько то сумма всех всех чисел изначально

20:21

Speaker A

написанных минус минус количество чисел проверьте это есть как инвариант я бы хотел этот номер немножечко с другого ракурса я хотел бы сказать другое слово очень похожи по логин вариант не надо бояться здесь достаточно тоже просто выше связаны с тем что

20:38

Speaker A

сейчас стали дел чтобы инвариант это то что не меняетесь процессе вот а полный вариант это какая-то лично которая меняется но по известным правил близко так в одну стол как у нас здесь да то есть понятно что после каждой операции это сумма

20:57

Speaker A

уменьшается на 1 вот моя пера точно знаем что процесс закончится просто что продали поздно нажать самих чисел записано тоже уменьшается на 1 то есть процесс остановится при этом понимаем что величина каждый раз уменьшаются на якоре лично так со всех

21:13

Speaker A

чисел изначально написать то есть она может не фиксировались ну а вот меняющейся по понятным правда то есть изменяющуюся каждый раз найти вот эти дни красота очень просто ну давайте собственно и посчитаем итак наш к циничной будь то есть

21:31

Speaker A

опираться лишь на пикс это будет сумма всех чисел до 20 минус n назовёт это количество операций которые были произведены ну а что у нас в конце получается чтобы почтить на все числа все 20 просуммировали и вышли собственно покажет оператор было сделал ему знак

21:58

Speaker A

был сделать до 19 штук типа char становится совершенно несложно и так поступать на 25 несложно плохой 20 можно 21 пополам так ну и минус n то есть количество проведенных операций тоже кортни сложным и вы нажмите это просто 19 нагара -19 мы считаем 20 полам этот

22:22

Speaker A

фокус 210 этак двести десять минут 19 191 остается в конце сюжета несложно готовы но она с вами уже седьмой номер смотреть и вот какой то такой длинны и условия может его опять же по соски описание понимает и прочитать и давайте

22:40

Speaker A

посмотрим что происходит итак есть палитесь надеть такая агрономическая к темам нам тоже кто-то говорится про зарастание бой я скажу что 9 клеток поросли бульон ещё условие распространение этого бульона по соседним клеткам а им такое что клетка зарастает teams of бурьян если хотя бы

23:01

Speaker A

две соседние но по стороне тоже заросший бурьяном но и спрашивается спрашивается требует доказать что оказывать все поле не спорт заразиться от гуйян у давайте разбираться почему то к нам счет может произойти и так 9 лет к изначально частных отметим хотя с этими результате

23:22

Speaker A

клетки нам сказать под какие то здесь вот это прям подряд целый кусок так может быть это какие то отдельные какими-то булками там по 2 подумав 6 сможет является инвариантом или полых вариантом 4 сложно так сказать сходу мне кажетесь надо сначала пощупать все сам

23:42

Speaker A

процесс такой процесс вот зарастание бурге здесь какие-то клетки так и ну что как же происходит из процента то есть если для всех как-то совсем отдельно в полон ну допустим у тебя буду к листикам обозначает те которые заросли будет

23:58

Speaker A

то есть допустим вот эта клетка там кантом вот эта клетка еще как они там отдельно стоящая пока свеча не изолированы друг от друга салют у всех у них нет по границе двух стать водорода они имеют контакта с друг

24:16

Speaker A

другу от ну хорошо бы так кстати в итоге произойдет как было девять это так и останется сказать в реакцию ситуация компании но дать посмотрим ну предположим что скажем вот здесь заросшие бурьяном и вот эта заросшая каретка что будет происходить вот центр

24:33

Speaker A

детской получается что у неё просвете вот так контакт идет с такую токсичные 3 скажем и вот это вот тоже то есть по идее клетка после всего что мы здесь видим на знаем таким пунктирным козельского отмечу вторичный заражение после изначально это эта

24:54

Speaker A

клетка тоже стала хороший бульон то есть 20 да кстати а больше ничего произойти не может потому что во всех остальных максим только контакт по одной стороне больше ничего не будет ну хорошо какие еще одном из турции положим что у нас есть скажем вот

25:11

Speaker A

заросшим редко вот такая ну и скажем ну не знаю там вот такая вот просто мои мы нигде что он врет и вот это клетки вот эти две являются соседи не так здесь два соседа она тоже заражается так и вот это

25:28

Speaker A

тоже два соседа тоже сражались ну зачищу никакие другие уже не будут заражены после всего это какие еще одна варианты давайте посмотрим вот такой случай что допустим у нас есть заражены . что такая вот такая и вот такая вот что у нас здесь есть но во

25:51

Speaker A

первых есть конечно клетки которая вот как в этом случае по две стороны имеют с бульоном так вот действует здесь а вот этот or даже три соседа она тоже заражать рассказано как то хотя бы две соседних бульон начала тоже

26:08

Speaker A

зарождается ну и последнем случае как как когда у нас будет до клетка со всех сторон наверное вот так вот так вот тогда вот это тоже конечно же за разница пока мы сами здесь рассуждали пришла в голову эта мысль вообще что происходит на стоит

26:30

Speaker A

обратить внимание на границу и как раз вот заросшего участка батя разберется в процессе происходящим позволено вот этот случай который мы сами разобраться то есть была одна клетка и другая ветка и вдруг стал такой блок целый заразный знаете что произошло то есть

26:49

Speaker A

периметр граница 4 и здесь тоже 4 модулем стать условно по единичке в итоге что площадь прямоугольник со сторонами 113 то есть сумма такая же восемь осталось это уже интересно что происходить знаете то есть начале было точно так же то есть в сумме 24 8 а вот

27:10

Speaker A

только оказался квадрат размером 2 на 2 то же ось что вот здесь посмотрите пожалуйста было три клетки по 4 то есть 12 всего изначально я веду граница периметра в итоге стал такой блок прямоугольник размером 3 готова сейчас что сделаем

27:30

Speaker A

раз моем случае когда вот этого случаем это две клетки имеют контакт какой-то 3 то есть нас есть восемь клеток переходит в те же самые василь здесь нас в мид редко армия стала стану вот этих квадрат 8 тоже пришло 8

27:50

Speaker A

вот здесь когда нас была такая ситуация вас начале было 12 3 почти перешло в 10 до 3 надо вас прямоугольник а его была еще такая ситуация когда вокруг одной трети все скопились кстати не до конца то нарисовал автор осознанность тоже

28:06

Speaker A

окажутся за roshen и вот вот так то есть изначально было четыре стиле 16 бит а стал в итоге квадрат размером 3 на 3 то есть 12 из 12 вопрос а есть ли еще какие-нибудь ситуации в процессе до которых будет происходить зарастание

28:32

Speaker A

какой-либо клетки бурьян похоже тунец мы все уже рассмотрели то есть еще раз контакт по одной по двум стану вот мы сами изобразить вот и вот ну понятно можно повернуть и останется такая же сердцу прямоугольная не вертикально и горизонтально с точки

28:47

Speaker A

зрения подсчета ничего не меняется вот такой случай случай когда на 5 в окружном тремя ну тоже понять можно повернуть но идея на останется прежним когда какая-то банда окружена на четырьмя заражён больше вариантов похоже нету похожий на вот эту табличку нашу и

29:08

Speaker A

чтобы можно сказать да будет настолько вот такой случайно могли бы снял его и просто правильно да и здесь скорее стоит поговорить про полу инвариант как раз то есть какая-то величина а именно кратос компьютер про который мы заметили что с

29:22

Speaker A

ним что-то интересное происходит это лично мне не увеличивается так конечно потенциального такой что общий секрет житель были изолированы и вообще не по возражениям не произошло то доход перед расстался таким каким он и был изначально ну или хотя бы до были вот заражение

29:40

Speaker A

только вот пусть он контакта по двум сторонам если будет заражение вот такой вот такое то как мы видим и диктор даже будет уменьшаться ну что можно сказать точно может изначальное положение моего объясняем не владели такой информации должны рассмотреть все случаи врагов в

29:58

Speaker A

общем виде поэтому он смело что периметр зараженных клеток клеток заражён с более запорожье не увеличивается в процессе тоже интересный вопрос сколько составляла граница изначально нам рассказать день след от поросли буллен смотрите то есть если бы клетки были вообще изолированными то это максимально

30:29

Speaker A

возможная ситуация с точки зрения периметр то что если они клетки вместе изначально добавить что до 2 стороны врачей самому то у нас получается здесь не 24 я получается 22 знать то есть две стороны простой пола даже тоже диво дивное окажется внутри есть

30:48

Speaker A

фильтр становится меньше то есть вместо 8 будет 69 поэтому максимально возможный диаметр это 36 4 надеюсь то есть изначально пилинг значит это как день и теперь он меньше выбираю чем 36 этого точно знаю если изолировать легче стояли бы там

31:10

Speaker A

узнаем 4 надеть вот будет 1 36 а что же должно быть в итоге если бы мы могли бы заразить все более божья но лили не моим барды были ансамбль до захватил все это пользуясь нами какой такой периметр должен был бы стать в или

31:25

Speaker A

стол сложно бойтесь на 10 то есть фильтр должен был бы стать 40 фильтр к лишний должен быть сорт итак давайте подведем итог то что у нас был было не больше 36 лет а так как в процессе наш периметр

31:44

Speaker A

не не увеличивался полу инварианты с лично которое может только уменьшаться процессе то вырасти отлично никак не могла поэтому 40 лет их получится никак не могло значить все поле зарасти гурин тоже не могло вот и все ну давайте пойдем к восьмому номер и посмотрим что

32:01

Speaker A

происходит здесь и да написано числа в носке эти 1 1 2 на 3 тогда одна сотая и скажу что происходит на следующей операции напоминает один из предыдущих номеров похитрее ну давай итак из двух любых чисел а и b

32:19

Speaker A

делают то есть их стирают и заменяет нам вот одно число которое представляете себя a + b + a b так вот далее 3 слогами и такую операцию совершаете 09 раз спрашивает какое число в конце становится понятно чисел изначально

32:37

Speaker A

100 штук так 9 оперантов в конце остается одно число людям знать вместе конечно вот на этом временном интервале реками нала бы снова поставить на паузу и подумайте что такой номер вынужден сразу искать решение вот так кажется было бы интересным чтобы каждый

32:55

Speaker A

попробовал поиграть свою поискал бы эту величину которая в процессе меняется все что происходит но мы вынуждены делать дальше поэтому давайте смотреть вот не каждый сам формат записи он отталкивает нарядил это мне кажется много такое использоваться при решении какие-то

33:13

Speaker A

уровни nissan micra собираются почему-то отлично мне попадался тут вот такая вещь на почти я просто знаю что at a + b + a b в среднем на 1 плюс а на 1 плюс бойцы мы запишем и раскроем скобки так

33:29

Speaker A

расположены под очень похоже только 1 + а + b + a бы знали вот тут нет мыслей вот к этому идет но это конечно войти отличаясь на единицу вот но это уже тоже учимся вот если там я сам попробую раз и

33:44

Speaker A

уцепиться что здесь конечно прошел показ не два числа мы так побольше 6 чисел так опрометчиво это я пока он хотел пусть будет сотру просто два числа часто так нас не а и b какие-нибудь там 1 и так далее а сто

34:02

Speaker A

инвариант по аналогии с этим говорю что возражение такое число на 1 плюс 1 то есть несколько штук плюс a21 plus а три и так далее 13 видимо но можно аррен можно восточном с толстым всего x так вот так проверим что

34:35

Speaker A

будет происходить если мы будем как раз совершать the appearance которая из предполагается два числа убираются два числа в без скобок и убирается а вместо них пишет какая-то одна скобка этот кусок разума не будем трогать есть хвост а вот эти два мы красными совершил тот

34:50

Speaker A

сам не хорошую вещь чтобы она и вместо этого запишем 1 плюс какой-то а давайте штрих бог неожиданно где где а штрих ht и как раз это и есть вот это самое число то есть 1 плюс 2 плюс 1

35:11

Speaker A

умноженное на 2 ну вот если вы посмотрите честно место а штрих поставить выражение то получите ровно эти раскопки богу вот в таком в компактный то есть оказаться при таком подходе можно это 2 скопом записан просто ну все стали скобках было 1 плюс

35:31

Speaker A

5 и так далее 1 плюс изменил его включили заменили для скупки на 1-ое здесь что-то такое интересное такое можно так делать дальше причем кстати обращаешь внимание неважно кто еще никто не так формально зал азино-2 могут этом ольги 10 ваше сердце что-то не важно

35:54

Speaker A

важно и что что две скобки можно приводить в одну асану лично остается прежним то есть еще rotary tattoo кожа сама не сможет поставить знак равенства ничего не поменялось давайте прослушать эту операцию дальше и подобных чем можно приятно что пристальным скажем вот

36:11

Speaker A

придут следующие две скобки можно любые какие-то там пара легко сбить можно вот это уже измененную со следующей и записать вместо вот-вот них от 2 до мы запишем опять же что-то один плюс какой-то а скажем два штриха скобках мутантам остался 5 тот же хвост

36:29

Speaker A

ну понятно много скобы кондитер осталось вот много скобок вот и слова что произошел количество скоро у меня сна на одну вы вместо двух сделали такой принцип а два штриха ваш тихой равно равно ht их + 2 1 могут отрисую соединять

36:53

Speaker A

плюс от ее плюсы их произведения а штрих на а ты таким бы то мы понимаем что процесс смог создать сайт то есть в итоге у нас останется несколько в танце две скобки из которых мы снова сделаем одну то на последнем шаге вы за

37:08

Speaker A

девяносто девятом вот и что достанется концы в конце курсы собственное спрашивает а что же будет в конце ну а чтобы двигаться давайте мы сами так какой со станции что должен стереть записать и так сейчас явно видно напишем так условно говоря о вреде так какое же

37:29

Speaker A

вы только то ли число у нас был отвес тут какие-то дальше был здесь один плюс какое-то давайте а даже никого звать допустим окупаемость одеть какой-то один плюс am2 ништяки буду ставить даже не знаю какие то 4 систолическому новых

37:48

Speaker A

полос неудобно писать так и в итоге все это вас превратится ваш пол монтажем самострел спорта равно придется какое-то выражение один плюс какой-то а допустим от и которая как мы знаем мы можем расшифровать учебу сам где где как раз

38:08

Speaker A

отель это слово hearth within не renew списать как-то раз это у нас был довольно жарко плюс 1 плюс х умноженное на n о все конечно хорошо так но он улетал число ведь как один и даже мог бы ссылочки я оставлю с помощью один плюс

38:30

Speaker A

это самое шло от и то есть таким образом оказывается что последнее число отличается от и скобки на единицу то есть мы должны просто из последних скобки вычеты 1 и получим то самое вот это от и финале шло по которой идет речь

38:44

Speaker A

ну замечательно то есть что получается то есть в итоге что мы ищем то вадимович вот конце пути леса носков q1 плюс вот этот какой-то финальный акт и я вам единстве то не нужно наше число которое мы ищем влажность скобки и вычитать

39:03

Speaker A

ходим число такая посадка будет какое-то слово y какой-то или равно 1 + 1 + 1 грамм это равно отель его то мы и так мустон я какие-то загадочный манипуляции пройдем как же посчитайте все а давайте еще раз он от и

39:20

Speaker A

из чего получается из-за густого то ли этого для скупки что платились ну из трех скобок до того и так далее тогда я каждый раз напомнить одну стопку бывало и в итоге все получалось из вот это выражение то есть из наших от

39:32

Speaker A

star скобок получался тоги 1 давайте мою скуку обратно вернём так то есть вместо одной мы напишем все вот эти призвать наших последнее число последнее число наши которая которая спрошу это просто просто все эти скобки минус 1 ну давайте переживаю честно подсчитаем

39:54

Speaker A

как говорит ком-то общей меди один летят два и так далее до 100 но мы в общем виде 20 конкретные числа 1 1 2 так далее то есть это равно 1 + 5 + 1 1 плюс 1 2 1

40:12

Speaker A

плюс одна треть и так далее так далее 1 плюс 1 100 но только видите не забываем что мы сейчас быть личку и засевают мною дальше кажется уже хочется рейс тоже не так сложно как было до того потому что остались подсчитать но если

40:30

Speaker A

мы раскроем в том что сможет что получается и так чему же равно так 2 может на три вторых на четыре третьих быть прослежено сюда на пять четвертых мы видим и так далее так далее а потому что 101 деленное на стол ну и опять

40:53

Speaker A

называем про -1 из-за всего этого я думаю что закономерности уже заметили и на что здесь на суток изящно сокращается так что есть сократится понятно что сократится 101 а до этого все будет сокращена что остается и так сто один минус один

41:16

Speaker A

такой красивый момент нас получается и так это говорит стол и так на этом все оценивать эти видео пишите ваши комментарии нам интересно ваше мнение всем пока

Topics: инвариант олимпиадная математика четность перестановки математические задачи логика аналитическое мышление математика для олимпиад математические лекции Вершина


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/invariant-olympiad-mathematics/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/