**ДЧ11. Інваріантність форми першого диференціалу. — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/invariant-form-first-differential/

Олексій Василенко пояснює інваріантність форми першого диференціалу та її застосування у математичному аналізі.

## Key Takeaways

- Форма першого диференціалу залишається інваріантною при заміні змінних.
- Зміст dx залежить від того, чи є змінна незалежною чи залежною.
- Другий диференціал для залежної змінної містить додатковий член, пов’язаний з другим диференціалом аргументу.
- Інваріантність форми першого диференціалу корисна для спрощення обчислення інтегралів.
- Розуміння цих властивостей є фундаментальним для подальшого вивчення диференціального числення.

## What the video covers

- Огляд поняття інваріантності форми першого диференціалу для диференційованої функції y = f(x).
- Розгляд складеної функції y = f(φ(t)) та її диференціалу через похідну складеної функції.
- Пояснення, що форма диференціалу dy = f'(x) \* dx залишається незмінною, хоча зміст dx змінюється.
- Визначення другого диференціалу для незалежної та залежної змінної, зокрема формули d²y = f''(x) \* dx² + f'(x) \* d²x.
- Пояснення, що другий доданок у формулі другого диференціалу з’являється лише для залежної змінної.
- Практичне застосування інваріантності форми першого диференціалу для спрощення обчислення інтегралів.
- Приклад інтегралу sin²x \* cosx \* dx та його перетворення за допомогою диференціалу.
- Підкреслення важливості розуміння інваріантності форми для подальшого вивчення математичного аналізу.
- Заклик до підписки на канал та підтримки відео лайками.

Answers

## Questions about this video

Що таке інваріантність форми першого диференціалу?

Інваріантність форми першого диференціалу означає, що вираз dy = f'(x) \* dx зберігає свою форму при заміні змінних, хоча зміст dx може змінюватися залежно від того, чи є змінна незалежною чи залежною.

Як виглядає другий диференціал складеної функції?

Другий диференціал складеної функції має вигляд d²y = f''(x) \* dx² + f'(x) \* d²x, де другий доданок з’являється через залежність змінної x від іншої функції.

Як інваріантність форми першого диференціалу допомагає в обчисленні інтегралів?

Інваріантність дозволяє замінити змінні та диференціали у виразах інтегралів, що спрощує їх обчислення, наприклад, замінити sinx на u і записати інтеграл у вигляді u² du.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:14

Speaker A

студенти, я Олексій Василенко. Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, диференційне числення, і сьогодні розглянемо таку цікаву властивість диференціалу, як інваріантність форми першого диференціалу.

00:30

Speaker A

Де про що? Нехай диференційована функція y = f(x) має диференціал цієї функції, dy буде знаходитись як похідна від x \* dx.

00:51

Speaker A

dx величина - це приріст, це незалежний приріст, її можна взагалі розглядати як незалежну змінну якусь, яка змінюється незалежно від x.

01:03

Speaker A

Я позначу цю рівність зірочкою, щоб в подальшому посилатись на неї.

01:50

Speaker A

А тепер розглянемо випадок, коли функція f(x) є складеною, тобто її аргумент x залежить від якоїсь змінної, і ми будемо вважати оцю залежність функцію фі теж диференційованою.

02:17

Speaker A

І тоді dx буде мати вигляд f'(t) \* dt. Це диференціал функції x.

02:34

Speaker A

Тоді ми маємо складену функцію y = f(φ(t)), я її позначу як F(t).

02:50

Speaker A

Яка задає залежність y від t.

03:27

Speaker A

Оскільки і f, і φ вважаємо диференційованими відповідно на відповідній множині, функція F(t) теж буде диференційована як складена функція.

03:48

Speaker A

І тоді її диференціал dy буде дорівнювати F'(t) \* dt.

04:06

Speaker A

В цьому випадку диференціал функції є похідна від складеної функції на dt.

04:20

Speaker A

На диференціал внутрішнього аргументу.

04:26

Speaker A

Де dt вже вважаємо незалежним.

04:33

Speaker A

Так от, ми зараз покажемо, що останній рядок,

04:44

Speaker A

ну, я його позначу дві зірочки,

04:50

Speaker A

можна записати у вигляді однієї зірочки, от в такому вигляді.

05:05

Speaker A

Ну, дійсно.

05:10

Speaker A

Що таке похідна F'(t)?

05:22

Speaker A

Перед нами це похідна складеної функції.

05:31

Speaker A

Похідна складеної функції буде f'(φ(t)) \* φ'(t).

05:47

Speaker A

Тоді, підставляючи сюди значення цієї похідної, отримаємо:

06:01

Speaker A

dy = f'(φ(t)) \* φ'(t) \* dt.

06:13

Speaker A

Але φ'(t) \* dt - це є dx, як ми знаємо.

06:29

Speaker A

А φ(t) - це просто x.

06:35

Speaker A

Отже, останній вираз можна записати як f'(x)

06:45

Speaker A

замість φ(t)

06:50

Speaker A

і dx замість ось цього виразу.

07:00

Speaker A

Ми отримали, що дві зірочки можна записати у вигляді однієї зірочки.

07:15

Speaker A

Тобто виразу dy = f'(x) \* dx.

07:21

Speaker A

Незмінність форми, інваріантність форми першого диференціалу.

07:34

Speaker A

Але я підкреслюю тільки форми.

07:41

Speaker A

Тому що,

07:43

Speaker A

зміст у dx зовсім різний.

07:59

Speaker A

Якщо тут перед нами dx - це незалежний приріст, який ми можемо обирати як завгодно, і він не залежить від точки x,

08:20

Speaker A

то тут виявляється залежність, тому що dx насправді не просто приріст, а це диференціал якоїсь іншої функції.

08:35

Speaker A

Форма однакова, але зміст різний.

08:46

Speaker A

Інваріантність форми першого диференціалу.

08:55

Speaker A

Властивість стає зрозумілішою, коли ми розглянемо другий диференціал від складеної функції.

09:11

Speaker A

Але спочатку нехай це у нас не складена функція, а x буде незалежним аргументом.

09:25

Speaker A

Тоді другий диференціал d²y буде дорівнювати f''(x) \* dx².

09:36

Speaker A

Ми знаємо цю формулу.

09:41

Speaker A

А тепер нехай x залежить від якоїсь диференційованої функції φ(t).

09:54

Speaker A

І розглянемо другий диференціал в цьому випадку.

10:04

Speaker A

В будь-якому випадку це другий диференціал є диференціал від першого диференціалу.

10:14

Speaker A

А перший диференціал у нас є вираз, підставимо d від f'(x) \* dx.

10:26

Speaker A

У нас складена функція, dx не є незалежним аргументом, незалежною змінною.

10:40

Speaker A

Диференціал від цього виразу - це функція від x - є похідна від цього виразу,

10:55

Speaker A

f'(x) \* dx похідна,

11:01

Speaker A

і помножити на dx.

11:08

Speaker A

Знаходимо похідну.

11:12

Speaker A

Маючи на увазі, що тут добуток, тому що dx не константа.

11:25

Speaker A

Маємо:

11:30

Speaker A

f' від f' - це буде f''(x) \* dx.

11:43

Speaker A

Плюс f' без змін і помножити на похідну від dx.

11:50

Speaker A

dx похідна.

11:56

Speaker A

І все це множиться на dx.

12:03

Speaker A

Розкриємо дужки, множачи dx сюди.

12:09

Speaker A

Маємо f''(x) \* dx².

12:20

Speaker A

dx на dx.

12:26

Speaker A

Плюс f'(x), а що маємо тут?

12:33

Speaker A

Похідна від якоїсь функції помножити на dx - це є диференціал від цієї функції.

12:47

Speaker A

Тобто диференціал від dx.

12:54

Speaker A

А диференціал від dx - це є другий диференціал.

13:02

Speaker A

Отже, остаточно маємо формулу: d²y = f''(x) \* dx²

13:12

Speaker A

плюс f'(x) \* d²x.

13:20

Speaker A

Як ми бачимо, зовсім не співпадає.

13:27

Speaker A

Ну, тобто відрізняється одним доданком.

13:34

Speaker A

До речі, можна зразу відмітити, що якщо x - незалежна змінна, для незалежної змінної другий диференціал завжди дорівнює нулю.

13:48

Speaker A

А у випадку, коли x - залежна змінна, це не нуль, і тому зберігається другий доданок.

14:05

Speaker A

На завершення відмітимо, що властивість інваріантності дуже корисна при обчисленні інтегралів.

14:20

Speaker A

Ну, наприклад, і ми з цим ще стикнемось в подальшому.

14:30

Speaker A

Нехай у нас стоїть інтеграл sin²x \* cosx \* dx.

14:43

Speaker A

Я можу записати cosx у вигляді похідної від синуса.

14:54

Speaker A

Адже косинус - це похідна від синуса.

15:04

Speaker A

Отже, інтеграл sin²x \* похідна sinx \* dx.

15:16

Speaker A

А тепер ми бачимо, що sinx похідна dx - це є диференціал синуса.

15:30

Speaker A

Отже, інтеграл sin²x \* диференціал sinx.

15:41

Speaker A

І завдяки інваріантності я можу позначити sinx літерою якоюсь u, скажімо.

15:51

Speaker A

І отримаю u² \* du.

15:58

Speaker A

І інтеграл спрощується, суттєво спрощується.

16:09

Speaker A

Його вже досить легко обчислити.

16:15

Speaker A

Ну от, цими прикладами ми закінчуємо сьогоднішню зустріч.

16:25

Speaker A

Я бажаю вам успіхів.

16:30

Speaker A

Підписуйтесь на канал.

16:33

Speaker A

Ставте лайки.

16:38

Speaker A

Залишайтесь на ньому.

16:41

Speaker A

А я з вами, Олексій Василенко.

Topics: інваріантність перший диференціал математичний аналіз диференціальне числення складена функція другий диференціал інтеграли похідна Олексій Василенко українська мова

Вчити це відео

- [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15791)
- [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15791)

Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/invariant-form-first-differential/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/