**ІЧ23. Інтегрування нерівностей і теорема про середнє значення. — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/integrals-inequalities-mean-value-theorem/ Відео розглядає інтегрування нерівностей та теорему про середнє значення для неперервних функцій на відрізку. ## Key Takeaways - Інтегрування нерівностей дозволяє порівнювати інтеграли функцій за умови порівняння самих функцій. - Інтеграл від невід’ємної функції завжди невід’ємний, а при наявності строго додатної точки – строго більший за нуль. - Модуль інтеграла не перевищує інтеграл від модуля функції. - Теорема про середнє значення гарантує існування точки, де функція приймає своє інтегральне середнє значення. - Для неперервних функцій теорема про середнє має чітку геометричну інтерпретацію. ## What the video covers - Пояснення інтегрування нерівностей: якщо f(x) ≤ g(x) на відрізку, то інтеграл від f менший або дорівнює інтегралу від g. - Доведення властивості інтегрування нерівностей через інтегральні суми та межі. - Наслідок: інтеграл від невід’ємної функції завжди невід’ємний, а якщо функція строго додатна в точці, інтеграл строго більший за нуль. - Властивість модуля інтеграла: модуль інтеграла не перевищує інтеграл від модуля функції. - Інтеграл від сталої функції дорівнює цій сталій, помноженій на довжину відрізка. - Формулювання та доведення теореми про середнє значення для неперервних функцій на відрізку AB. - Існування точки c, де значення функції дорівнює інтегральному середньому значенню. - Геометрична інтерпретація теореми про середнє: площа під графіком дорівнює площі прямокутника з висотою f(c). - Приклад функції з розривом, де теорема про середнє не виконується у класичній формі. - Узагальнення теореми про середнє для добутку двох інтегрованих функцій. Answers ## Questions about this video Що таке інтегрування нерівностей і як воно доводиться? Інтегрування нерівностей означає, що якщо для всіх x на відрізку AB f(x) ≤ g(x), то інтеграл від f не перевищує інтеграл від g. Це доводиться через порівняння інтегральних сум і перехід до границі. Яке значення має теорема про середнє значення для неперервних функцій? Теорема гарантує, що існує точка c на відрізку AB, де значення функції дорівнює інтегральному середньому значенню, тобто f(c) = (1/(b-a)) ∫\_a^b f(x) dx. Чи завжди існує точка c для функції з розривом, що задовольняє теорему про середнє? Ні, для функцій з розривами теорема про середнє може не виконуватися, оскільки неперервність є необхідною умовою для існування такої точки. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker A Василенко. Ми продовжуємо математичний аналіз, визначений інтеграл. 00:26 Speaker A Подальші властивості визначеного інтегралу. 00:30 Speaker A Сьогодні у нас буде інтегрування нерівності і дуже важлива теорема про середнє. 00:32 Speaker A Почнемо з інтегрування нерівностей, про що йдеться. 00:40 Speaker A Нехай у нас є дві функції f(x) і g(x), які інтегровані на відрізку AB. 00:48 Speaker A Причому для будь-якого x цього відрізку функція f менша за g. 00:51 Speaker A Тоді відповідне співвідношення є між інтегралами з цих функцій. 01:00 Speaker A Нерівність між функціями забезпечує нерівність між відповідними інтегралами. 01:06 Speaker A Геометрично майже очевидно, не майже, а точно очевидно. 01:12 Speaker A Тому що, якщо у нас функція f на відрізку AB трошки нижча, ніж функція g. 01:20 Speaker A Відповідно, площа, як геометричний зміст інтеграла, буде менша, ніж площа під функцією g. 01:25 Speaker A Доведемо це формально. 01:26 Speaker A Для цього розіб'ємо відрізок AB точками x\_i на n частин. 01:32 Speaker A В кожній точці, в кожному відрізку виберемо по точці x\_i. 01:37 Speaker A І як завжди, позначимо через лямбда цього розбиття. 01:42 Speaker A Дрібність розбиття. 01:45 Speaker A Найбільший з відрізочків розбиття. 01:50 Speaker A Це довжини відрізків. 01:52 Speaker A Тоді першому інтегралу відповідає інтегральна сума. 01:56 Speaker A Але за умовою в кожній точці x відрізку AB у нас f(x) менше за g(x). 02:02 Speaker A Отже, f(x\_i) менше, ніж відповідні g(x\_i). 02:06 Speaker A І тоді їх сума теж буде менша. 02:09 Speaker A Залишилось перейти до границі в останній нерівності. 02:12 Speaker A Якщо перейти до границі, то за правилом переходу границі в нерівностях, ми будемо мати. 02:16 Speaker A Але ця границя - це є інтеграл від a до b f(x) dx. 02:20 Speaker A А остання границя є інтеграл від a до b g(x) dx. 02:24 Speaker A Що і треба було довести. 02:26 Speaker A Знак нерівності між інтегралами. 02:28 Speaker A Інтегрування нерівності. 02:30 Speaker A Зокрема. 02:32 Speaker A Якщо функція f(x) більше або дорівнює нуля на всьому відрізку AB. 02:37 Speaker A Звідси зразу випливає, що інтеграл від невід'ємної функції. 02:41 Speaker A Завжди буде теж невід'ємним. 02:44 Speaker A До речі, останнє твердження можна трохи посилити. 02:47 Speaker A Якщо у нас функція невід'ємна на відрізку AB і знайдеться така точка c. 02:53 Speaker A З відрізку AB, в якій значення функції буде строго більше за нуль. 02:58 Speaker A Це тоді буде означати, що. 03:00 Speaker A До речі, це буде означати, що, якщо це в мене точка c. 03:06 Speaker A То знайдеться окіл цієї точки, на якому функція буде строго більше за нуль. 03:11 Speaker A Це теорема про збереження знака неперервної функції. 03:14 Speaker A Тоді інтеграл від a до b f(x) dx. 03:18 Speaker A Весь інтеграл буде строго більше, не більше, а строго більше буде за нуль. 03:22 Speaker A Хоча б в одній точці більше, але точки неперервності, тоді інтеграл буде більше. 03:27 Speaker A Наступне твердження пов'язане з модулем. 03:30 Speaker A А саме, модуль інтеграла від a до b f(x) dx менше або дорівнює інтегралу від модуля функції f(x) dx. 03:36 Speaker A Якщо функція f(x) інтегрована, то її модуль теж інтегрований. 03:40 Speaker A Тобто достатньо інтегрованості функції f(x) на відрізку AB. 03:45 Speaker A І тоді модуль інтеграла менше або дорівнює інтегралу від модуля. 03:49 Speaker A Ми будемо спиратись на очевидні нерівності, пов'язані з модулями. 03:54 Speaker A Тому що, от, скажімо, будь-яке число a більше або дорівнює мінус свій модуль. 03:59 Speaker A Менше або дорівнює свій модуль. 04:02 Speaker A Ну, насправді, тут a співпадає чи з лівим, чи з правим кінцем цієї нерівності. 04:06 Speaker A Але в будь-якому випадку ця нерівність виконується. 04:08 Speaker A Тоді в будь-якій точці x відрізку AB f(x). 04:13 Speaker A Більше або дорівнює мінус модуль f(x) менше або дорівнює модуль f(x). 04:18 Speaker A І використавши правило інтегрування нерівності. 04:23 Speaker A Я можу проінтегрувати від a до b dx, інтеграл від a до b dx і інтеграл від a до b dx. 04:28 Speaker A Нерівність зберігається. 04:30 Speaker A Тепер ми маємо і ще одну тотожність. 04:34 Speaker A Якщо у нас a більше мінус епсилон, менше або дорівнює епсилон. 04:39 Speaker A Якщо у нас a між двома значеннями з протилежним знаком. 04:42 Speaker A Це означає, що модуль a менше або дорівнює епсилон. 04:45 Speaker A Це еквівалентні нерівності. 04:46 Speaker A У нас те ж саме, подивіться, модуль інтеграла від a до b f(x) dx. 04:50 Speaker A Менше або дорівнює, тут мінус такий інтеграл, тут плюс такий інтеграл. 04:55 Speaker A От виходить менше або дорівнює інтеграл від a до b модуль f(x) dx. 04:58 Speaker A Ну, те, що й треба було довести. 05:00 Speaker A Нерівність ми довели. 05:01 Speaker A Перш ніж довести теорему про середнє, зробимо одне невеличке зауваження. 05:05 Speaker A Інтеграл від сталої по відрізку AB дорівнює m на довжину відрізку AB. 05:10 Speaker A Ця стала помножена на довжину відрізку AB. 05:12 Speaker A Ну, дійсно. 05:14 Speaker A Інтеграл є границя інтегральної суми. 05:16 Speaker A Інтеграл від a до b m dx дорівнює границя лямбда та у прямої до нуля суми від i до n. 05:23 Speaker A Функція m у нас в кожній точці x\_i все одно m. 05:27 Speaker A Дельта x\_i. 05:28 Speaker A m можна винести за знак і суми і границі, і ми будемо мати. 05:32 Speaker A m границя дельта x прямої до нуля суми від i до n дельта x\_i. 05:38 Speaker A Залишилось просто сума довжин відрізків розбиття. 05:42 Speaker A А це якраз і є весь відрізок AB. 05:46 Speaker A Якщо просумувати всі довжини, ми отримаємо довжину відрізку b - a. 05:49 Speaker A Отже, інтеграл від сталої є ця стала помножена на довжину відрізку інтегрування. 05:53 Speaker A Тепер ми готові довести теорему про середнє. 05:56 Speaker A Формулюємо. 05:57 Speaker A Теорема. 05:58 Speaker A Нехай функція f(x) неперервна на відрізку AB. 06:04 Speaker A Тоді існує точка c з цього відрізку, така, що інтеграл від a до b f(x) dx. 06:10 Speaker A Буде дорівнювати значенню функції в цій точці на довжину відрізку b - a. 06:14 Speaker A Доведемо. 06:15 Speaker A Відмітимо, що оскільки функція неперервна на AB, вона інтегрована. 06:19 Speaker A Тому інтеграл цей існує. 06:21 Speaker A І ще з неперервності функції f(x) за теоремою Вейєрштрасса випливає, що. 06:27 Speaker A Існують числа m маленьке і m велике, такі, що f(x) буде більше або дорівнювати m маленького і m великого. 06:33 Speaker A Тобто неперервна на відрізку функція обмежена. 06:36 Speaker A Найменше, найбільше значення функції. 06:39 Speaker A Проінтегруємо цю нерівність. 06:41 Speaker A Інтеграл m dx від a до b менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює інтеграл від a до b m dx. 06:49 Speaker A Інтеграл, що стоїть ліворуч, за зауваженням, яке ми зробили, буде дорівнювати m(b - a). 06:54 Speaker A Менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює m(b - a). 07:00 Speaker A Поділимо всі три частини на b - a. 07:03 Speaker A Отримаємо m маленьке менше або дорівнює 1 на b - a інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює m велике. 07:10 Speaker A Інтеграл поділений на b - a - це певне число. 07:13 Speaker A Я його позначу оце число літерою мю. 07:16 Speaker A Невдала літера. 07:17 Speaker A Отак от ми її напишемо. 07:18 Speaker A О, мю. 07:19 Speaker A Це є якесь число, яке розташоване між m маленьким і m великим. 07:23 Speaker A А тепер згадаємо, що функція f у нас неперервна. 07:26 Speaker A Тоді, приймаючи будь-які два значення, а неперервна функція приймає і m маленьке, і m велике. 07:34 Speaker A Вона приймає всі проміжні значення за теоремою про проміжні значення. 07:39 Speaker A Отже, існує така точка c з відрізку AB, що f(c) буде дорівнювати мю. 07:44 Speaker A Залишилось побачити, що мю насправді - це є оцей інтеграл. 07:49 Speaker A Запишемо. 07:50 Speaker A Мю дорівнює 1 на b - a інтеграл від a до b f(x) dx. 07:56 Speaker A І наше мю дорівнює f(c). 07:58 Speaker A f(c). 07:59 Speaker A Ми отримали рівність, яка еквівалентна формулюванню задачі. 08:05 Speaker A Існує така точка c, що виконується ця рівність. 08:08 Speaker A До речі, оце значення f(c) або мю і є середнім значенням. 08:13 Speaker A Називається середнім значенням функції на відрізку AB. 08:15 Speaker A Інтегральним середнім, бо є інші середні. 08:17 Speaker A Інтегральне середнє значення на відрізку AB. 08:22 Speaker A І це значення співпадає зі значенням функції в якійсь точці. 08:25 Speaker A Геометрично це означає. 08:27 Speaker A Що якщо у нас є якась функція AB. 08:33 Speaker A То знайдеться така точка, що площа прямокутника буде дорівнювати площі криволінійної трапеції. 08:40 Speaker A Прямокутник рівновеликий площі криволінійної трапеції. 08:44 Speaker A Для неперервної функції знаходиться точка, яка має таке значення. 08:49 Speaker A Якби функція не була неперервною, такої точки могло б і не знайтись. 08:53 Speaker A Давайте подивимося, отака функція, скажімо, порвалась вона. 08:56 Speaker A І от тут у неї точка розриву. 08:59 Speaker A AB. 09:00 Speaker A Якщо знайти площу, то ми побудуємо рівновеликий прямокутник. 09:04 Speaker A Але точки, в якій досягається значення середнє значення функції, немає. 09:09 Speaker A Це наше значення мю. 09:12 Speaker A Функція має середнє значення, все одно середнє значення буде мати. 09:16 Speaker A Але такої точки c, в якій досягається це значення, немає. 09:20 Speaker A Для неперервної виконується. 09:21 Speaker A Відмітимо ще одне узагальнення теореми про середнє. 09:24 Speaker A Або і ще друге формулювання більш загальна теорема про середнє. 09:27 Speaker A Нехай функції f(x) і φ(x) інтегровані на відрізку AB. 09:32 Speaker A І нехай m маленьке і m велике - точна нижня і точна верхня межа функції f(x). 09:38 Speaker A Ці числа існують, тому що функція обмежена, як інтегрована. 09:42 Speaker A Інтегрована, значить обмежена. 09:43 Speaker A Тоді існує таке число лямбда між m маленьким і m великим, що. 09:49 Speaker A Інтеграл від a до b f(x) φ(x) dx дорівнює оце число лямбда помножене на інтеграл від a до b φ(x) dx. 09:55 Speaker A Ми якби виносимо одне значення функції за знак інтеграла, виноситься функція, перетворюється на константу, на певну. 10:02 Speaker A Ну, доведення. 10:03 Speaker A Таке ж саме, як і було у нас в попередній теоремі доведення. 10:06 Speaker A Тобто, оскільки функція у нас між m маленьким і m великим, ми можемо написати f(x) φ(x). 10:12 Speaker A У нас буде більше або дорівнює m маленьке φ(x) менше або дорівнює m велике φ(x). 10:18 Speaker A Проінтегруємо ці нерівності. 10:20 Speaker A AB dx, інтеграл AB dx, інтеграл AB dx. 10:28 Speaker A Винесемо константу за знак інтеграла за властивістю лінійності. 10:32 Speaker A Ми будемо мати. 10:33 Speaker A Отримаємо. 10:35 Speaker A Ну, я просто винесу отак от m і винесу тут m φ(x). 10:42 Speaker A Поділимо всі три частини на інтеграл від φ(x). 10:47 Speaker A Маємо m менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) на φ(x) dx поділене на інтеграл від a до b φ(x) dx менше або дорівнює m. 10:54 Speaker A Ну, от залишилось оцей вираз позначити літерою лямбда. 10:57 Speaker A Із цього позначення буде випливати твердження, яке ми доводимо. 11:01 Speaker A Ну, от на цьому можна вважати заняття, пов'язані з нерівностями і теоремами про середнє, ми закінчили. 11:05 Speaker A Далі буде. 11:06 Speaker A Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього. 11:10 Speaker A Ставте лайки. 11:11 Speaker A Я з вами Олексій Василенко. 11:13 Speaker A До побачення. Topics: інтегрування нерівностей теорема про середнє значення визначений інтеграл математичний аналіз неперервні функції інтегральне середнє модуль інтеграла інтегральні суми теорема Вейєрштраса геометрична інтерпретація Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=17311) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=17311) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/integrals-inequalities-mean-value-theorem/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/