**ІЧ27. Невласні інтеграли від необмежених функцій — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/ich27-improper-integrals-unbounded-functions/ Відео пояснює невласні інтеграли від необмежених функцій, їх збіжність на прикладі інтегралу dx/x^α від 0 до 1. ## Key Takeaways - Невласні інтеграли дозволяють інтегрувати необмежені функції через границю інтегралу з відступом від точки особливості. - Інтеграл від 0 до 1 dx/x^α збігається лише при 0 < α < 1. - Якщо α ≥ 1, інтеграл розбігається через нескінченність в точці 0. - Звичайні методи інтегрування застосовні і до невласних інтегралів. - Обмеженість функції є необхідною умовою для інтегралу Рімана, але не для невласних інтегралів. ## What the video covers - Відео присвячене темі невласних інтегралів від необмежених функцій у математичному аналізі. - Пояснюється, що звичайний інтеграл Рімана не може бути визначений для необмежених функцій через вимогу обмеженості. - Вводиться поняття невласного інтеграла для функції з особливістю (вертикальною асимптотою) у точці a на проміжку (a, b]. - Описується умова збіжності такого інтеграла через границю інтегралу від a+δ до b при δ, що прямує до нуля. - Розглядається приклад інтеграла від 0 до 1 dx/x^α, де α > 0, з особливістю в точці 0. - Аналізуються три випадки для α: α > 1 (інтеграл розбігається), 0 < α < 1 (інтеграл збігається), α = 1 (інтеграл розбігається). - Пояснюється, що для α між 0 і 1 інтеграл має скінченне значення і збігається. - Наголошується, що методи роботи з невласними інтегралами схожі на методи для звичайних визначених інтегралів. - Відео містить детальний розбір обчислення границь та підстановок меж інтегрування. - Підкреслюється важливість запам’ятовування поведінки інтегралу dx/x^α для різних значень α. Answers ## Questions about this video Що таке невласний інтеграл від необмеженої функції? Невласний інтеграл від необмеженої функції визначається як границя інтеграла від a+δ до b при δ, що прямує до нуля, якщо ця границя існує і є скінченною. При яких значеннях α інтеграл від 0 до 1 dx/x^α збігається? Інтеграл збігається, якщо α знаходиться в інтервалі від 0 до 1, тобто 0 < α < 1. Чому звичайний інтеграл Рімана не може бути визначений для необмежених функцій? Тому що необхідною умовою інтегровності за Ріманом є обмеженість функції на проміжку, а необмежені функції цю умову не виконують. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker A Я Олексій Василенко. У нас математичний аналіз, інтегральне числення, невласні інтеграли від необмежених функцій. 00:23 Speaker A На минулому занятті ми вже познайомились з невласними інтегралами по нескінченному проміжку. Можна ознайомитись за посиланням, яке ми тут маємо. 00:34 Speaker A Сьогодні розглянемо інтеграл від необмежених функцій. 00:38 Speaker A Справа в тому, що звичайний інтеграл Рімана за означенням не може бути від необмеженої функції. 00:53 Speaker A Необхідною умовою інтегровності за Ріманом є обмеженість функції. 01:00 Speaker A Але в певному сенсі інтегрувати функції необмежені іноді можна. 01:01 Speaker A Нехай функція f(x) задана на напівінтервалі (a, b] і має особливість в точці a. 01:51 Speaker A Особливість в сенсі, що функція необмежена в околі точки a, необмежена праворуч, справа в точці a. 02:19 Speaker A Ну, скажімо, отака ситуація, у нас є вертикальна асимптота в точці a, тут точка b, і функція отакого вигляду. 02:27 Speaker A Функція необмежено зростає, наближуючись, коли аргумент наближується до точки a. 02:40 Speaker A В цьому випадку кажуть, має особливість в точці a. Так от, функція має особливість в точці a, але якщо ми трошки відступимо, a + δ. 03:18 Speaker A Якщо для будь-якого, скіль завгодно малого δ, існує інтеграл від a + δ до b f(x) dx, і ще границя, коли δ прямує до нуля, цього інтеграла скінченна, він називається невласним інтегралом від f(x) dx по відрізку ab, по проміжку ab. 04:05 Speaker A В точці, в околі точки a функція необмежена, але ми пишемо такий інтеграл, називаємо його невласним. 04:13 Speaker A І він називається буде збіжним, коли така границя існує і скінченна. 04:22 Speaker A Наприклад, розглянемо той же важливий приклад, який ми розглядали на нескінченному проміжку. 04:52 Speaker A Нехай у нас буде інтеграл від 0 до 1 dx на x в степені α, де α будь-яке число, ну зараз ми будемо розглядати α більше за 0, бо якщо α менше за 0, цей інтеграл нецікавий, він не має ніяких особливостей. 05:29 Speaker A А от якщо α більше за 0, перед нами в 0 підінтегральна функція не існує. 05:37 Speaker A При наближенні до 0 вона прямує до плюс нескінченності, отже, у нас в точці 0 особливість. 05:45 Speaker A Розглянемо випадки, нехай α більше за одиницю, як і минулого разу, розглянемо α більше за одиницю. 05:57 Speaker A Цей інтеграл, за означенням, цей інтеграл буде дорівнювати границя δ прямує до 0. 06:09 Speaker A Інтеграл від δ до 1, ну a у нас 0, тому просто δ, і x в степені -α dx. 06:22 Speaker A Інтегруємо, маємо границя δ прямує до 0. 06:30 Speaker A Інтеграл тут буде x в степені 1 - α, α більшу за одиницю, тому буде від'ємний у нас показник, і я його так від'ємний і запишу. 07:15 Speaker A Тоді я буду мати 1 на 1 - α, 1, x в степені α - 1 в межах від δ до 1. 07:20 Speaker A Обчислили інтеграл, тепер треба підставити межі інтегрування. 07:30 Speaker A Підставляємо 1, маємо 1 на 1 - α, 1, мінус, а якщо підставити сюди δ. 07:39 Speaker A В знаменник прямує до 0, нескінченність. 07:44 Speaker A Плюс нескінченність, інтеграл розбігається. 07:50 Speaker A Виявляється, коли α більше 1, цей інтеграл розбігається. 07:59 Speaker A Глянемо, що у нас буде у випадку, коли α менше за 1. 08:03 Speaker A Як ми домовились, більше за 0. 08:07 Speaker A Тоді маємо інтеграл від 0 до 1 dx на x в степені α, ну це ж саме, тільки границя δ прямує до 0. 08:17 Speaker A Але в нашому випадку тепер α, 1 - α тут, якщо додати, у нас буде величиною додатною. 08:25 Speaker A Я не буду записувати x знаменником, залишу його в чисельнику. 08:30 Speaker A x в степені 1 - α в межах від δ до 1. 08:38 Speaker A Підставляємо межі, маємо 1 на 1 - α, 1, мінус, ну а тепер δ підставити замість x, коли δ прямує до 0, буде 0. 08:46 Speaker A 1 на 1 - α, інтеграл збігається. 08:50 Speaker A Тобто має скінченне значення границя цього інтеграла. 08:54 Speaker A Ну і нарешті, останній третій випадок, коли треба розглянути, коли α дорівнює 1. 09:00 Speaker A Подивимось, що в цьому випадку буде. 09:02 Speaker A Якщо α дорівнює 1, це буде інтеграл від 0 до 1 dx на x. 09:10 Speaker A Границя, коли δ прямує до 0, інтеграла від δ до 1 від dx на x. 09:18 Speaker A Це є просто логарифм, границя δ прямує до 0, логарифм x в межах від δ до 1. 09:24 Speaker A Підставляємо 1, це буде 0. 09:29 Speaker A Мінус границя логарифм δ, логарифм δ, δ прямує до 0, логарифм 0 прямує до нескінченності. 09:36 Speaker A Мінус мінус нескінченність, плюс нескінченність, інтеграл розбігається. 09:40 Speaker A Отже, у випадку, коли у нас інтеграл невласний від необмеженої функції dx на x в степені α від 0 до 1, цей інтеграл буде збігатись, коли α між 0 і 1. 10:00 Speaker A І буде розбігатись, коли α більше або дорівнює 1. 10:09 Speaker A Варто запам'ятати дуже важливий інтеграл. 10:13 Speaker A Виявляється, в роботі з невласними інтегралами можна використовувати і основні методи, прийоми, які використовуються і для звичайних інтегралів визначених. Topics: невласні інтеграли необмежені функції математичний аналіз інтегральне числення інтеграл dx/x^α збіжність інтегралу вертикальна асимптота інтеграл Рімана особливість функції інтегрування Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=17321) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=17321) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/ich27-improper-integrals-unbounded-functions/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/