**ІЧ24. Обчислення визначеного інтегралу. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтеграл зі змінною межею. — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/ich24-definite-integral-newton-leibniz-formula-variable-limit/

Відео пояснює обчислення визначеного інтегралу через формулу Ньютона-Лейбніца та властивості інтегралу зі змінною межею.

## Key Takeaways

- Інтеграл зі змінною межею задає неперервну функцію.
- Похідна функції, заданої інтегралом зі змінною межею, дорівнює підінтегральній функції.
- Формула Ньютона-Лейбніца дозволяє обчислювати визначений інтеграл через первісну.
- Позначення змінної інтегрування не впливає на значення інтегралу.
- Обчислення визначеного інтегралу через границю інтегральної суми практично не застосовується.

## What the video covers

- Визначений інтеграл як границя інтегральної суми та складнощі його обчислення таким способом.
- Зв’язок визначеного інтегралу з невизначеним через первісні функції.
- Інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
- Визначення інтегралу зі змінною верхньою межею як функції на відрізку.
- Доведення неперервності функції, заданої інтегралом зі змінною межею.
- Властивість адитивності визначеного інтегралу та її застосування для приросту функції.
- Доведення диференційовності інтегралу зі змінною межею за умови неперервності підінтегральної функції.
- Похідна інтегралу зі змінною межею дорівнює значенню підінтегральної функції.
- Вивід формули Ньютона-Лейбніца як зв’язку між первісною та визначеним інтегралом.
- Пояснення, що інтеграл від А до x є первісною функції f.

Answers

## Questions about this video

Що таке інтеграл зі змінною верхньою межею?

Інтеграл зі змінною верхньою межею — це функція, яка для кожного x на відрізку АВ визначена як інтеграл від А до x підінтегральної функції. Вона неперервна і задає площу під графіком функції від А до x.

Чому похідна інтегралу зі змінною межею дорівнює підінтегральній функції?

Якщо підінтегральна функція неперервна, то похідна функції, заданої інтегралом зі змінною межею, існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в цій точці, що випливає з властивостей границі приросту.

Як формула Ньютона-Лейбніца пов’язує визначений та невизначений інтеграли?

Формула Ньютона-Лейбніца стверджує, що визначений інтеграл від А до В функції f можна обчислити через різницю значень первісної F у точках В і А, де F є невизначеним інтегралом функції f.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:14

Speaker A

Я Олексій Василенко, математичний аналіз, інтегральне числення, сьогодні у нас питання обчислення визначеного інтегралу.

00:24

Speaker A

Визначений інтеграл - це границя інтегральної суми, але обчислювати інтеграл, як границю інтегральної суми, для конкретної функції дуже незручно.

00:36

Speaker A

Так, звичайно, не роблять, є інші методи, які ми сьогодні розглянемо.

00:44

Speaker A

Ці методи пов'язують визначений інтеграл з невизначеним, через невизначений інтеграл вдається, через первісні, вдається обчислити визначений інтеграл.

00:55

Speaker A

Цей зв'язок якраз нам сьогодні і треба розібрати.

01:00

Speaker A

Перш ніж перейти до конкретних формулювань, зробимо невеличке зауваження.

01:06

Speaker A

Щодо того, що якщо інтеграл від А до В f(x) dx існує,

01:12

Speaker A

то ця ж сама, це ж саме значення буде інтеграл мати інтеграл f(t) dt.

01:20

Speaker A

Незалежить від позначення змінної інтегрування.

01:26

Speaker A

Це може бути f(u) du.

01:30

Speaker A

Аби тільки функція була одна і та ж сама.

01:34

Speaker A

Літера інтегрування, не змінна інтегрування, не має впливу на результат цього інтегралу.

01:42

Speaker A

Значення буде однаково.

01:44

Speaker A

Тепер деякі твердження.

01:48

Speaker A

Перше з них, нехай функція f(x) інтегрована на відрізку АВ.

01:53

Speaker A

От наша функція.

02:00

Speaker A

Інтегрована, тобто має сенс оцей інтеграл.

02:06

Speaker A

Це площа цієї криволінійної трапеції, якщо казати геометрично.

02:10

Speaker A

Інтегрована на відрізку АВ.

02:12

Speaker A

Це означає, що для будь-якого x з цього відрізку функція буде інтегрована і на відрізку Аx.

02:20

Speaker A

Якщо я тепер візьму відрізок Аx для якогось x,

02:26

Speaker A

функція буде інтегрована і на цьому відрізку.

02:30

Speaker A

І ми можемо обчислити інтеграл від А до x f(t) dt.

02:35

Speaker A

Отут я використовую літеру t для зручності.

02:40

Speaker A

Тому що x літера зайнята вже на верхній межі.

02:45

Speaker A

Але це ж вірно для будь-якого x цього відрізку АВ.

02:50

Speaker A

Я можу взяти якийсь інший x.

02:55

Speaker A

І для цього x теж буде в мене значення цього інтегралу можна обчислити.

03:01

Speaker A

Функція буде інтегрованою.

03:03

Speaker A

Отже, для будь-якого x з відрізку АВ ми можемо знайти певне значення цього інтегралу.

03:10

Speaker A

Тобто ми визначили функцію на відрізку АВ, яку я позначу літерою F велике.

03:16

Speaker A

F велике - це є функція задана на відрізку АВ, яка називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

03:24

Speaker A

Розглянемо деякі властивості цієї функції.

03:29

Speaker A

Спочатку покажемо, що для будь-якої інтегрованої функції f маленьке, функція F велике від x буде неперервною.

03:36

Speaker A

Отже, нехай f(t) інтегрована на відрізку АВ.

03:41

Speaker A

Візьмемо довільний x з відрізку АВ.

03:46

Speaker A

І дамо йому приріст дельта x.

03:50

Speaker A

І розглянемо приріст функції дельта F.

03:55

Speaker A

Це є F від x + дельта x - F від x.

04:01

Speaker A

F від x + дельта x за нашим означенням, це у нас інтеграл від А до x + дельта x f(t) dt.

04:06

Speaker A

Мінус інтеграл від А до x f(t) dt.

04:09

Speaker A

За властивістю інтеграла ми можемо змінити межі інтегрування, а мінус стане плюсом.

04:14

Speaker A

Дорівнює інтеграл від А до x + дельта x f(t) dt плюс інтеграл від x до А f(t) dt.

04:25

Speaker A

Тепер можна використати властивість адитивності визначеного інтегралу.

04:32

Speaker A

Оскільки, ну, якби першим був написаний наш цей інтеграл від x до А, плюс інтеграл від А до x + дельта x,

04:42

Speaker A

ми приходимо до інтегралу від x до x + дельта x f(t) dt.

04:48

Speaker A

Приріст функції F від x виявився дорівнюючим інтегралу від x до x + дельта x.

04:54

Speaker A

Геометрично дуже зрозуміло, якщо я дам приріст x до дельта x,

05:00

Speaker A

x + дельта x, то приріст площини буде дорівнювати якраз смужці між x і x + дельта x.

05:07

Speaker A

Площа смужки якраз і дасть нам приріст функції F від x.

05:13

Speaker A

Розглянемо тепер модуль цієї величини.

05:18

Speaker A

Модуль цієї величини приросту.

05:23

Speaker A

Є модуль інтегралу.

05:29

Speaker A

Менше або дорівнює.

05:33

Speaker A

Менше або дорівнює інтегралу від модуля x + x + дельта x модуль f(t) dt.

05:41

Speaker A

Тепер згадаємо, що наша функція інтегрована.

05:45

Speaker A

А якщо функція інтегрована, то вона обмежена, необхідна умова інтегрованості.

05:51

Speaker A

Тобто існує таке число М велике, що наша функція менше за це число.

05:59

Speaker A

Цю константу я зможу винести тоді за інтеграл і отримаю М.

06:06

Speaker A

Інтеграл від x до x + дельта x dx.

06:12

Speaker A

Ну, а інтеграл просто від одиниці dx - це є довжина.

06:17

Speaker A

М на дельта x.

06:21

Speaker A

Модуль.

06:23

Speaker A

Тепер.

06:27

Speaker A

Якщо я задам довільний епсилон.

06:31

Speaker A

І оберу у якості дельта епсилон поділене на цю константу М.

06:38

Speaker A

То як тільки модуль дельта x у нас буде менше за дельта,

06:44

Speaker A

остання нерівність буде менше за М епсилон на М менше за епсилон.

06:51

Speaker A

Ми отримали.

06:54

Speaker A

Що для довільного епсилон ми знайшли такий дельта.

07:01

Speaker A

Що як тільки приріст функції менше за дельта, приріст аргументу менше за дельта.

07:07

Speaker A

Приріст функції буде меншим за епсилон.

07:11

Speaker A

Таким чином функція неперервна в точці x.

07:15

Speaker A

А оскільки точка x була довільною точкою відрізку АВ, функція буде неперервною на всьому відрізку АВ.

07:22

Speaker A

Отже, якщо проінтегрувати інтегровану функцію зі змінною верхньою межею, ми отримаємо неперервну функцію.

07:31

Speaker A

Наступне твердження пов'язано з диференційованістю функцію F велике від x.

07:37

Speaker A

Нехай тепер наша функція F від x задана на відрізку АВ інтегрована на ньому.

07:44

Speaker A

Інтегрована на відрізку АВ.

07:48

Speaker A

Але крім того, вона ще й неперервна в околі точки x нульове.

07:55

Speaker A

З відрізку АВ, вона неперервна в якійсь точці.

07:59

Speaker A

Тоді ми стверджуємо, що похідна.

08:04

Speaker A

Від інтегралу зі змінною верхньою межею в цій точці існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в цій точці.

08:12

Speaker A

Це наше твердження.

08:15

Speaker A

Розглянемо різницю дельта F на дельта x - f(x) нульове.

08:21

Speaker A

Приріст аргументу і функції в точці x нульове.

08:26

Speaker A

Якщо ця границя буде прямувати до нуля, коли дельта x прямує до нуля, це буде означати, що похідна існує і дорівнює саме f(x) нульове.

08:34

Speaker A

Нам треба довести, що ця величина буде прямувати до нуля, коли дельта x прямує до нуля.

08:40

Speaker A

Ми вже знаємо, що приріст дельта F є інтеграл.

08:46

Speaker A

Від x до x + дельта x f(t) dt.

08:53

Speaker A

Мінус.

08:56

Speaker A

Тепер скористаємось тим, що одиниця на дельта x інтеграл від x до x + дельта x від dt дорівнює одиниці.

09:02

Speaker A

Оскільки цей інтеграл дорівнює просто дельта x, довжині відрізку інтегрування.

09:07

Speaker A

Від x + дельта x.

09:11

Speaker A

Тоді, якщо помножити цей інтеграл і ще на f(x) нульове, ми отримаємо f(x) нульове.

09:18

Speaker A

Отже, замість f(x) нульове я можу написати саме цей вираз.

09:22

Speaker A

І ще й внести f(x) нульове під інтеграл, бо це константа, я її можу занести.

09:29

Speaker A

Одиниця на дельта x інтеграл від x до x + дельта x f(t) - f(x) нульове dt.

09:39

Speaker A

Для зручності домовимось вважати, що дельта x більше за нуль.

09:43

Speaker A

Тоді ми можемо скористатись нерівністю.

09:45

Speaker A

З пов'язаною з модулем, тобто модуль інтегралу менше або дорівнює інтегралу від модуля.

09:51

Speaker A

Одиниця на дельта x у нас вийде за інтеграл тоді, оскільки додатнім буде.

09:58

Speaker A

x x + дельта x і тут буде стояти модуль f(t) - f(x) нульове dt.

10:05

Speaker A

Тепер згадаємо, що наша функція f неперервна.

10:09

Speaker A

А оскільки вона неперервна в точці x нульове, то для будь-якого скільки завгодно малого епсилон.

10:17

Speaker A

Знайдеться таке дельта.

10:21

Speaker A

Що як тільки величина t - x нульове буде менше за дельта.

10:29

Speaker A

Різниця значень функції f(t) - f(x) нульове буде менше за обраний нами епсилон.

10:34

Speaker A

Для будь-якого епсилон таке дельта знайдеться.

10:37

Speaker A

Так от, ми тепер візьмемо дельта x менше дельта.

10:45

Speaker A

Дельта x менше дельта, межі інтегрування відстоять одне від одного менше ніж на дельта.

10:52

Speaker A

Це означає, що t від x нульового відстоїть менше ніж на дельта.

10:59

Speaker A

Звідси саме і буде випливати, що t - x нульове буде менше за дельта.

11:04

Speaker A

А різниця значень функції буде менше ніж за епсилон.

11:09

Speaker A

Продовжимо нашу рівність.

11:12

Speaker A

Менше навіть строго менше за епсилон.

11:15

Speaker A

Менше ніж модуль різниці епсилон, я його виношу за знак інтегралу.

11:23

Speaker A

Під інтегралом залишається просто dt.

11:28

Speaker A

А це є просто епсилон.

11:31

Speaker A

Оскільки інтеграл цей дорівнює дельта x.

11:35

Speaker A

Ми отримали.

11:38

Speaker A

Для будь-якого епсилон знайшли такий дельта.

11:44

Speaker A

Що як тільки дельта x менше за дельта, модуль різниці цих двох виразів буде менше ніж за епсилон.

11:52

Speaker A

Це означає, що границя дельта x прямує до нуля, дельта F на дельта x існує.

12:00

Speaker A

І дорівнює саме f(x) нульове.

12:05

Speaker A

Але це ж і є похідна функції F.

12:08

Speaker A

F штрих від x нульове.

12:11

Speaker A

Дорівнює, що й треба було довести.

12:14

Speaker A

Якщо функція F неперервна в точці x нульове, функція F велике, інтеграл зі змінною верхньою межею.

12:22

Speaker A

Диференційовна в цій точці і похідна дорівнює значенню функції.

12:28

Speaker A

Якщо не фіксувати точку x, а обрати будь-яку точку з АВ, вважаючи, що функція F неперервна на всьому відрізку АВ.

12:36

Speaker A

Ми отримаємо це твердження, що буде пов'язувати дві функції задані на відрізку АВ.

12:44

Speaker A

На всьому відрізку АВ похідна інтегралу зі змінною верхньою межею дорівнює значенню підінтегральної функції.

12:51

Speaker A

Перейдемо до виводу формули Ньютона-Лейбніца.

12:55

Speaker A

Ми отримали, що похідна F велике від x дорівнює f(x).

13:00

Speaker A

Це означає, що F велике від x - це первісна від функції f маленьке.

13:05

Speaker A

За означенням первісної.

13:08

Speaker A

Отже, інтеграл від А до x f(t) dt є первісна f(x).

13:16

Speaker A

Нехай тепер літерою F я позначу якусь іншу первісну.

13:21

Speaker A

За властивостями первісних, ці дві первісні відрізняються на сталу.

13:26

Speaker A

Знайдемо цю сталу, на яку вони відрізняються.

13:32

Speaker A

Для цього я покладу x дорівнюючи А в цьому інтегралі.

13:36

Speaker A

Отримаю інтеграл від А до А f(t) dt буде дорівнювати F від А + С.

13:42

Speaker A

Але ж цей інтеграл від А до А - це ж нуль.

13:46

Speaker A

Звідси випливає, що С буде дорівнювати -F від А.

13:52

Speaker A

Отже, я можу написати інтеграл від А до x f(t) dt буде дорівнювати.

13:59

Speaker A

F від x - F від А.

14:04

Speaker A

Якщо тепер покласти x дорівнюючи В.

14:08

Speaker A

Ми отримаємо інтеграл від А до В f(x) dx буде дорівнювати.

14:13

Speaker A

F від В - F від А.

14:18

Speaker A

Це є формула Ньютона-Лейбніца.

14:22

Speaker A

Для обчислення визначеного інтегралу.

14:27

Speaker A

Задача зводиться до того, щоб знайти первісну.

14:32

Speaker A

А ми це вміємо, оскільки невизначені інтеграли вже позаду і ми можемо обчислити.

14:40

Speaker A

Ну, дуже велику кількість первісних можемо знайти.

14:45

Speaker A

По ходу доведення в нас виникла отака рівність.

14:51

Speaker A

Яка сама по собі буває корисною і її можна записати в трошки іншій формі.

14:56

Speaker A

Що тут написано? Тут написано, що оце f маленьке - це похідна від F велике.

15:02

Speaker A

Якщо я тепер запишу таким чином, у якості F великого я буду використовувати f маленьке.

15:08

Speaker A

А це тоді буде похідна.

15:12

Speaker A

Коротше, з цієї рівності випливає, що f(x) буде дорівнювати f(А) + інтеграл від А до x f(t) dt.

15:19

Speaker A

Рівність, яку іноді називають іншою формулою запису формули Ньютона-Лейбніца.

15:27

Speaker A

Яка дозволяє функцію записати як інтеграл від похідної.

15:33

Speaker A

На завершення розглянемо простенький приклад.

15:37

Speaker A

Інтеграл від нуля до пі на 2 sin x dx.

15:42

Speaker A

Інтеграл від синуса.

15:45

Speaker A

Первісна синус - це f маленьке, первісна від синуса - це мінус косинус.

15:50

Speaker A

Так і пишемо: -cos x в межах від А до В.

15:54

Speaker A

Від нуля до пі на 2.

15:58

Speaker A

Залишилось підставити ці значення.

16:01

Speaker A

-cos пі на 2 мінус, ну, мінус мінус дасть мені плюс cos 0.

16:07

Speaker A

Але cos пі на 2 - це ж нуль.

16:11

Speaker A

А cos 0 - це одиниця.

16:14

Speaker A

В результаті ми отримаємо одиницю.

16:16

Speaker A

Якщо подивитись на геометричний зміст того, що ми отримали.

16:21

Speaker A

Нехай це у нас синусоїда.

16:27

Speaker A

Точка пі на 2 - це точка першого максимуму.

16:33

Speaker A

Виявляється, площа від нуля до пі на 2, отака крива лінія синусоїда.

16:40

Speaker A

Але оця площа дорівнює одиниці.

16:44

Speaker A

Геометрично площа під синусоїдою до пі на 2 дорівнює одиниці.

16:49

Speaker A

На цьому сьогоднішнє заняття закінчилось.

16:54

Speaker A

Декілька методів обчислення інтегралів і приклади.

16:59

Speaker A

Це теми наступних наших занять.

17:03

Speaker A

Ми розберемо ще багато прикладів на обчислення інтегралів.

17:06

Speaker A

А сьогодні все.

17:08

Speaker A

Підписуйтесь на канал, ставте лайки.

17:13

Speaker A

Будемо рухатись далі.

17:16

Speaker A

І я з вами.

17:18

Speaker A

Олексій Василенко.

17:20

Speaker A

До побачення.

Topics: визначений інтеграл формула Ньютона-Лейбніца інтеграл зі змінною межею первісна функція математичний аналіз інтегральне числення неперервність функції диференціювання інтегралу інтегральна сума похідна

Вчити це відео

- [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=17242)
- [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=17242)

Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/ich24-definite-integral-newton-leibniz-formula-variable-limit/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/