**ІЧ20. Суми Дарбу. Критерій інтегровності за Риманом. — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/ich20-sumy-darbu-kriteriy-integralnosti-rimanu/ Відео пояснює критерій інтегрованості функції за Ріманом через суми Дарбу з докладним доведенням властивостей та теорем. ## Key Takeaways - Суми Дарбу є ключовим інструментом для визначення інтегрованості функції за Ріманом. - Обмеженість функції на відрізку є необхідною умовою інтегрованості. - Подрібнення розбиття підвищує нижню суму Дарбу і знижує верхню суму Дарбу. - Інтеграл Рімана існує тоді і тільки тоді, коли різниця між верхньою та нижньою сумами Дарбу прямує до нуля при дрібності розбиття, що прямує до нуля. - Критерій інтегрованості за Ріманом базується на збіжності верхніх і нижніх інтегралів Дарбу. ## What the video covers - Введення поняття сум Дарбу як альтернативи інтегральним сумам Рімана. - Пояснення обмеженості функції на відрізку та визначення інфімумів і супремумів на підвідрізках. - Побудова нижньої та верхньої сум Дарбу і їх властивостей. - Порівняння сум Дарбу з інтегральними сумами Рімана та встановлення нерівностей між ними. - Визначення подрібнення розбиття та вплив додавання точок на суми Дарбу. - Доведення, що при подрібненні нижня сума Дарбу не зменшується, а верхня не збільшується. - Показано, що нижня сума будь-якого розбиття не перевищує верхню суму будь-якого іншого розбиття. - Визначення нижнього та верхнього інтегралів Дарбу як супремуму нижніх і інфімуму верхніх сум відповідно. - Формулювання та доведення критерію інтегрованості функції за Ріманом через збіжність різниці верхньої та нижньої сум Дарбу до нуля. - Детальний розбір необхідності існування інтегралу за означенням границі інтегральних сум. Answers ## Questions about this video Що таке суми Дарбу і як вони пов’язані з інтегралом Рімана? Суми Дарбу — це суми, побудовані за допомогою інфімумів і супремумів функції на підвідрізках розбиття. Вони використовуються для оцінки інтегральної суми Рімана і допомагають встановити критерій інтегрованості функції. Яка умова необхідна для інтегрованості функції за Ріманом? Функція повинна бути обмеженою на відрізку, а різниця між верхньою та нижньою сумами Дарбу має прямувайти до нуля при дрібності розбиття, що прямує до нуля. Що відбувається з сумами Дарбу при подрібненні розбиття? При подрібненні розбиття нижня сума Дарбу не зменшується, а верхня сума Дарбу не збільшується, що сприяє збіжності цих сум до інтеграла. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker A Василенко. Математичний аналіз, інтегральне числення. Тема сьогоднішньої зустрічі критерій інтегрованості функції за Ріманом. 00:27 Speaker A Через суми Дарбу. Фактично ми введемо поняття сум Дарбу, розглянемо їх властивості і доведемо основну теорему, яка є критерієм інтегрованості. 00:38 Speaker A Будуючи інтеграл Рімана, ми відрізок АБ, на якому визначена функція f(x), розбивали точками x\_i, які утворюють розбиття тау. 00:59 Speaker A Після цього на кожному відрізочку x\_i-1, x\_i, ми обирали точку ксі\_і і будували інтегральну суму Рімана. Інтегральна сума Рімана. 02:08 Speaker A Суми Дарбу будуються трошки по-іншому. Ми беремо те ж саме розбиття тау і згадуємо, що для того, щоб функція була інтегрованою за Ріманом, вона необхідна повинна бути обмеженою. 02:38 Speaker A Отже, f(x) обмежена на відрізку АБ. А це означає, що вона буде обмежена на кожному з підвідрізків. А якщо в нас функція обмежена на відрізку x\_i-1, x\_i, то вона має на цьому відрізку точно верхню і точну нижню межу. 03:29 Speaker A Позначимо через m\_i інфімум f(x) на відрізку x\_i-1, x\_i. А через M велике\_i супремум на цьому відрізку x\_i-1, x\_i, f(x). 03:56 Speaker A На кожному відрізку свої m\_i і M\_i велике. 04:20 Speaker A І побудуємо суми Дарбу. Нижня сума Дарбу використовує інфімуми. S від тау, S маленьке від тау - це буде сума і від одиниці до n m\_i дельта x\_i. Сума найменших значень, сума інфімумів, помножених на відповідні відрізки. 05:16 Speaker A А S велике, верхня сума Дарбу - це є сума M\_i на дельта x\_i і від одиниці до n. Дві суми Дарбу: верхня і нижня. Неважко бачити, що f від ксі\_і, ксі\_і у нас в сумі Рімана, буде між m\_i і буде M\_i на будь-якому відрізочку. 05:36 Speaker A Оскільки це інфімум, це супремум цих значень. Таким чином стає очевидним, що нижня сума Дарбу S від тау буде менше або дорівнювати інтегральній сумі Рімана для будь-якого ксі. 06:10 Speaker A Для будь-якого вибору точок ксі. І менше ніж верхня сума Дарбу для цього розбиття. Для кожного конкретного розбиття виконується, зокрема, S від тау менше або дорівнює S велике від тау. 06:57 Speaker A Більше того, оскільки m\_i - це інфімуми на кожному з відрізочків, то S від тау буде інфімум по всім можливим вибором точок ксі суми Рімана. І відповідно S велике від тау буде супремумом суми Рімана по всім можливим вибором точок ксі. Ці нерівності, рівності нам знадобляться в подальшому. Ми побудували суми Дарбу. 08:29 Speaker A Дослідимо тепер поведінку сум Дарбу в залежності від розбиття, яке вони, на якому вони будуються. Для одного і того ж розбиття тау у нас нижня сума Дарбу менше або дорівнює верхній сумі Дарбу. Нам це знадобиться. 08:48 Speaker A Тепер розглянемо різні розбиття. Нехай у нас дамо таке означення. Кажемо, що тау2 буде подрібненням розбиття тау1, якщо всі точки тау1 містяться в розбитті тау2. Тобто тау2 утворено додаванням до розбиття тау1 і ще якихось точок. Крім точок, які не були, ще декілька точок додали, отримали тау2. В цьому випадку пишуть, що тау1 міститься в тау2. 10:17 Speaker A Тау2 є подрібнення, там ще є додаткові точки. Так от, виявляється, в цьому випадку є така властивість, що якщо тау1, якщо тау2 є подрібненням тау1, то нижня сума Дарбу тау1 буде менше або дорівнювати нижньої суми Дарбу тау2. 10:50 Speaker A Ну, тау2 у нас менше або дорівнює S від тау2 і менше або дорівнює S велике від тау1. Нас цікавлять оці дві нерівності, бо середня у нас уже відома. Так от, що це означає? Це означає, що якщо ми додаємо додаткові точки до розбиття, нижня сума може тільки збільшитись, а верхня може тільки зменшитись. 11:57 Speaker A Доведемо. Ну, я доведу ліву частину. Тау2 є додаванням, утворюється додаванням декількох точок. Додамо, припустимо, спочатку одну. Якусь одну точку до розбиття тау1 додамо. Нехай вона попала в відрізок x\_i-1, x\_i. От туди вона попала в цей відрізочок. І я її позначу, тому x\_i буде штрих. 12:35 Speaker A Ця точка більше або дорівнює x\_i-1, менше або дорівнює x\_i. От вам попала в цей відрізок. Я намалюю відрізок x\_i-1, x\_i. Тут якась була у нас функція. Отак була функція. І тут у нас попала точка x\_i штрих. Я стверджую, що це у нас було M велике. Функція була обмежена, це було M\_i. 13:46 Speaker A І на відрізочку x\_i-1, x\_i, супремум, я його позначу M\_i штрих. І на відрізочку x\_i штрих, x\_i, супремум тут я позначу M два штриха. Ну, він в даному випадку співпав з M\_i. Будуть мати нерівність x\_i штрих менше або дорівнює M\_i. І M\_i два штриха менше або дорівнює M\_i. Виконуються отакі нерівності. 15:17 Speaker A Тоді розглянемо, що буде відбуватись з верхньою сумою Дарбу. Сума Дарбу після додавання цієї точки буде відрізнятись тільки на цьому відрізку від попередньої суми Дарбу. 15:42 Speaker A Замість доданка M\_i на дельта x\_i, в новій сумі Дарбу буде доданок M\_i штрих помножити на довжину першого відрізка x\_i штрих мінус x\_i-1, плюс M\_i два штриха помножити на довжину другого відрізка x\_i штрих, x\_i мінус x\_i штрих. 16:52 Speaker A Але кожна з цих двох M менше або дорівнює M\_i. Менше або дорівнює M\_i. Можна винести M\_i. І в дужках опиниться x\_i штрих мінус x\_i-1, плюс x\_i мінус x\_i штрих. Скоротивши x\_i штрих, ми маємо M\_i x\_i мінус x\_i-1. Тобто, оці два нові доданки після додавання додаткової точки, привели до того, що відповідний доданок тільки зменшився порівняно з тим, що у нас було до цього. При додаванні точки верхня сума зменшилась. 18:42 Speaker A Точно так, якщо додавати іще точки, кожного разу можна повторювати цю процедуру. 18:49 Speaker A І в кінці кінців отримати нерівність. 18:50 Speaker A Верхня сума Дарбу при додаванні точок зменшується. Для нижньої суми те ж саме. Тільки тут буде в інший бік нерівності. 19:10 Speaker A Розглянемо тепер два розбиття тау1 і тау2, ну, взагалі кажучи, ніяк не пов'язаних між собою. Тобто не одне з них не є подрібненням іншого, взагалі кажучи. І покажемо, що в цьому випадку в цьому випадку нижня сума, пов'язана з першим розбиттям, буде менше або дорівнює верхньої суми, пов'язаної з другим розбиттям. 20:23 Speaker A З огляду на довільність, як ми обрали ці два розбиття. 20:26 Speaker A Виходить, що нижня сума будь-якого розбиття. 20:28 Speaker A Менше або дорівнює верхньої суми будь-якого іншого розбиття, а не тільки свого власного. 20:44 Speaker A Для того, щоб довести, розглянемо третє розбиття. 20:50 Speaker A Тау3. Тау3 буде в нас містити всі точки тау1 і тау2. Об'єднаємо точки розбиття двох розбитів. Тобто в цьому випадку виходить тау3 буде подрібненням тау1 і одночасно тау3 буде подрібненням і тау2. 21:46 Speaker A Тау3 є подрібнення і одного, і іншого. В цьому випадку ми можемо написати, що нижня сума, по доведеному раніше, тау1 буде менше або дорівнювати нижньої суми тау3. 22:06 Speaker A Але нижня сума розбиття тау3 менше за верхню суму цього розбиття. Оскільки тау3 подрібнення тау2, ми можемо написати S від тау2. 22:33 Speaker A Звідси випливає, що S від тау1, нижня сума Дарбу, менше або дорівнює верхній сумі Дарбу іншого розбиття. З огляду на довільність, це буде справедливо для будь-яких. 23:29 Speaker A Більше того, якщо ми тепер розглянемо множину всіх розбитів, всіх можливих розбитів, виявляється, що нижні суми Дарбу на цій множині обмежені. 24:02 Speaker A Ну, скажімо, будь-який, будь-якою верхньою сумою по будь-якому розбиттю. Все одно менше буде. Тобто ця множина обмежена зверху. А оскільки множина всіх нижніх сум обмежена зверху, вона має точну верхню межу. Супремум по всіх розбиттях нижніх сум Дарбу ми позначимо І зірочкою знизу і назвемо нижнім інтегралом Дарбу. 25:01 Speaker A Аналогічно, множина всіх верхніх сум буде обмежена знизу. Тобто вона має інфімум. І тоді я позначу І зірочкою зверху інфімум всіх верхніх сум по всім можливим розбиттям. 25:34 Speaker A Найбільш цікавий випадок, коли вони співпадають. При співпадінні цих інтегралів їх спільне значення можна назвати інтегралом. 25:48 Speaker A Що ми і зробимо наступною теоремою. Отже, теорема. 25:55 Speaker A Критерій інтегрованості функції за Ріманом. Для того, щоб існував інтеграл f(x)dx на відрізку АБ, необхідно і достатньо, щоб границя, коли дрібність розбиття тау прямує до нуля, різниці верхньої суми Дарбу і нижньої суми Дарбу дорівнювала нулю. Інтеграл існує, коли отака границя дорівнює нулю. 27:16 Speaker A Необхідно і достатньо. Доведемо спочатку необхідність. 27:22 Speaker A Нехай інтеграл, який я позначу літерою І, f(x)dx існує. 27:31 Speaker A Тобто І - скінченне число якесь, яке є границею інтегральної суми. За означенням, це означає, що для будь-якого епсілон існує таке дельта, що як тільки дрібність розбиття тау буде менше ніж дельта, то для будь-якого вибору точок ксі, різниця між інтегральною сумою тау ксі і інтегралом буде менше ніж епсілон. Розпишемо останній модуль таким чином. 29:02 Speaker A Сігма тау ксі більше ніж І мінус епсілон, менше ніж І плюс епсілон. Це одне і те ж саме. Раніше ми відмітили, що нижня сума Дарбу є точною нижньою межею по всім можливим вибором точок суми Рімана відповідної. 30:01 Speaker A А верхня сума Дарбу є супремум суми Рімана по всім можливим вибором точок ксі. І оскільки написана нерівність виконується для будь-якого ксі, це буде означати, що вона буде виконуватись і для інфімума, і для супремума по всіх ксі. 30:32 Speaker A Тобто ми приходимо до нерівності одиниця мінус І мінус епсілон менше ніж S маленьке від тау, менше або дорівнює S велике від тау. Ця нерівність нам відома раніше. Менше ніж І плюс епсілон. Якщо намалювати інтервал І, І мінус епсілон, І плюс епсілон. Звідси виходить, що S маленьке і S велике обидва попали в цей інтервал. А це означає, що різниця між ними менше ніж 2 епсілон. 32:05 Speaker A А це і означає, що якщо тау обрати так, щоб дрібність цього розбиття була менша за дельта, буде виконуватись така нерівність. Це і є означення границі. Отже, границя дорівнює нулю. 32:26 Speaker A Границя різниці. 32:29 Speaker A Необхідність доведена. 32:31 Speaker A Достатність. Нехай тепер границя різниці дорівнює нулю, коли дрібність розбиття прямує до нуля. 32:39 Speaker A Спочатку відмітимо, дрібність розбиття прямує до нуля. Це означає, що ми зможемо побудувати якусь послідовність розбитів, таких, що кожен, кожне наступне розбиття буде подрібненням попереднього. 33:26 Speaker A В цьому випадку послідовність S велике від тау n буде спадаючою з ростом n. І таким чином границя S тау, коли лямбда тау прямує до нуля, співпадає з інфімумом по всіх тау S великих від тау і дорівнює відповідно верхньому інтегралу Дарбу. Аналогічно, границя нижніх сум, коли лямбда тау прямує до нуля, буде дорівнювати нижньому інтегралу. 35:23 Speaker A Оскільки ці дві границі співпадають за умовою, ми приходимо до того, що нижній інтеграл дорівнює верхньому інтегралу, і їх спільне значення ми позначимо літерою просто І. І покажемо, що І є інтеграл Рімана, як границя інтегральних сум Рімана. 35:48 Speaker A Дійсно, з означення І випливає, що для будь-якого розбиття S від тау менше І, менше S велике від тау. За побудовою. З іншого боку, ми знаємо, що для будь-якого S від тау, сігма від тау ксі більше ніж S маленьке від тау, нижня сума Дарбу, і менше ніж S велике від тау, тут менше або дорівнює. 37:09 Speaker A Отже, якщо намалювати S маленьке, S велике, І і десь тут сігма. Тоді для будь-якого скільки завгодно малого епсілон, ми можемо підібрати таке дельта, що як тільки дрібність тау буде менше ніж дельта, оскільки це границя, різниця між S мінус S від тау буде менше за епсілон. Довжина відрізка менше епсілон. А це означає, що І мінус сігма за модулем буде менше за епсілон. А це означає, що границя інтегральної суми Рімана існує і дорівнює скінченному числу, коли лямбда прямує до нуля. 39:03 Speaker A Теорема доведена повністю. 39:04 Speaker A На завершення наведемо ще одну поширену форму запису цієї теореми. 39:10 Speaker A Для розбиття тау на відрізку x\_i-1, x\_i, через омега\_і позначимо різницю супремума і інфімума функції на цьому відрізку. Омега називається коливанням функції на відрізку x\_i-1, x\_i. Розпишемо одне із тверджень теореми. 40:20 Speaker A Границя лямбда прямує до нуля сума і від одиниці до n M\_i на дельта x\_i мінус сума і від одиниці до n m\_i дельта x\_i дорівнює. І це є границя лямбда тау прямує до нуля сума і від одиниці до n коливання функції на кожному відрізочку на дельта x\_i. Отже, інтеграл Рімана існує, коли існує границя суми коливань на дельта x\_i, і вона дорівнює нулю. 41:58 Speaker A На цьому сьогоднішню зустріч можна завершити, але залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки, ми будемо продовжувати і я буду з вами. Олексій Василенко. Topics: інтеграл Рімана суми Дарбу інтегрованість функції математичний аналіз інтегральне числення подрібнення розбиття верхня сума Дарбу нижня сума Дарбу критерій інтегрованості теорема інтегрованості Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=16799) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=16799) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/ich20-sumy-darbu-kriteriy-integralnosti-rimanu/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/