**Теорема Ферма про локальний екстремум: доказ і зміст**
Source: https://sozai.app/transcript/fermat-theorem-local-extremum/

Відео пояснює теорему Ферма про локальний екстремум, її формулювання, доказ та геометричний зміст.

## Key Takeaways

- Локальний екстремум — це точка максимуму або мінімуму функції в околі.
- Якщо функція має локальний екстремум і похідна існує, то похідна в цій точці дорівнює нулю.
- Похідна, рівна нулю, не гарантує наявність екстремуму.
- Геометрично це означає, що дотична в точці екстремуму горизонтальна.
- Для повного аналізу екстремумів потрібні додаткові методи дослідження.

## What the video covers

- Означення локального максимуму та мінімуму функції з прикладами.
- Визначення локального екстремуму як точки максимуму або мінімуму.
- Формулювання теореми Ферма: якщо функція має локальний екстремум і похідна існує, то вона дорівнює нулю.
- Доказ теореми Ферма через розгляд лівосторонньої та правосторонньої похідних.
- Пояснення, що похідна в точці екстремуму дорівнює нулю, але навпаки не обов’язково.
- Геометричний зміст теореми: дотична в точці екстремуму горизонтальна.
- Підкреслення, що для повного дослідження екстремумів потрібен додатковий аналіз.
- Заклик підписатися на канал для подальших занять з математичного аналізу.

Answers

## Questions about this video

Що таке локальний екстремум функції?

Локальний екстремум — це точка, в околі якої значення функції є або найбільшими (локальний максимум), або найменшими (локальний мінімум).

Що стверджує теорема Ферма про локальний екстремум?

Якщо функція неперервна в околі точки і має локальний екстремум у цій точці, а похідна існує, то ця похідна дорівнює нулю.

Чи означає нульова похідна в точці завжди наявність екстремуму?

Ні, нульова похідна в точці не гарантує наявність локального екстремуму, для цього потрібен додатковий аналіз функції.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:14

Speaker A

Василенко.

00:16

Speaker A

Ми продовжуємо математичний аналіз, диференційне числення.

00:20

Speaker A

І сьогодні розглядаємо першу з серії теорем про диференційовані функції.

00:30

Speaker A

Ці теореми ще називають спільною назвою теореми про середнє значення.

00:34

Speaker A

Теорема Ферма. Теорема Ферма пов'язана з умовою екстремума функції.

00:44

Speaker A

Тому доведеться почати з означення, що ж таке екстремум. Точка X0 буде називатися точкою локального максимума функції f(x).

00:55

Speaker A

Якщо знайдеться такий окіл цієї точки (x0 - δ, x0 + δ), такий, що для будь-якого x з цього околу f(x) буде менше або дорівнювати f(x0).

02:07

Speaker A

Якщо намалювати, ми можемо намалювати дещось отаке, отакий графік, оце буде максимум. От точка x0, якщо в якомусь околі значення функції, всі значення функції будуть менші за значення функції f(x0), це є максимум.

03:25

Speaker A

Менше або дорівнює f(x) найбільша точка. Але тільки в околі, функція може бути і десь отакою.

03:30

Speaker A

Вона може вирости ще більше, але ця точка все одно залишається максимум, локальним, місцевим максимум, локальний максимум. Аналогічна, точка x0 буде називатися у нас точкою мінімума функції f(x).

03:54

Speaker A

Якщо знайдеться таке дельта, що для всіх x з околу (x0 - δ, x0 + δ) буде виконуватись нерівність f(x) буде більше або дорівнювати f(x0). X0 буде точкою локального мінімума.

05:08

Speaker A

Ну, зрозуміло, малюнок буде протилежним. Ну, щось отаке. Якщо тут був бугорок такий, бугор, а тут буде яма. X0. Це у нас мінімум. X0 - δ, X0 + δ. Є такий окіл, де значення функції більші за значення функції в точці X0. Локальний мінімум. Треба зауважити, що я використовую нестрогі нерівності.

05:41

Speaker A

Тобто припускається, що локальний екстремум у нас буде і отакий, якщо функція десь стала. Якщо в околі якоїсь точки у нас значення будуть такі ж самі, як в цій точці. Все одно оця точка теж буде локальним максимумом. І ця точка теж буде у нас називатись локальним максимумом. Ну, відповідно, таке ж для екстремума. Ми не виключаємо такі випадки. Точки локального мінімума і точки локального максимума називаються точками локального екстремума одним словом.

05:52

Speaker A

Тобто, якщо екстремум - це або мінімум, або максимум.

05:57

Speaker A

Тепер, маючи означення екстремума, ми можемо сформулювати теорему Ферма.

06:02

Speaker A

Теорема.

06:03

Speaker A

Нехай функція f(x) неперервна в околі точки x0.

06:10

Speaker A

І досягає в цій точці локального екстремума.

06:16

Speaker A

Має в цій точці екстремум.

06:19

Speaker A

Тоді, якщо існує похідна в цій точці, то ця похідна обов'язково дорівнює нулю.

06:27

Speaker A

Якщо похідна існує, то вона дорівнює нулю.

06:30

Speaker A

Доведемо цю теорему.

06:32

Speaker A

Нехай x0 - точка максимума для визначеності.

06:36

Speaker A

Тоді існує такий окіл, що для всіх x з цього околу f(x) - f(x0) буде менше або дорівнювати нулю.

06:45

Speaker A

Тому що, якщо x0 - це точка максимума, значення в інших точках околу будуть менші за значення функції в цій точці.

06:55

Speaker A

Ця різниця менше або дорівнює нулю.

06:58

Speaker A

Якщо тепер ми аргументу x дамо приріст Δx, причому |Δx| < δ, так, щоб x0 + Δx не виходило за межі нашого околу.

07:10

Speaker A

Це буде означати, що відповідний приріст функції f(x0 + Δx) - f(x0) буде недодатнім, менше або дорівнює нулю.

07:19

Speaker A

Оскільки x + Δx належить цьому околу.

07:22

Speaker A

Перейдемо до розгляду похідної.

07:25

Speaker A

Похідна - це відношення приросту функції до приросту аргумента в граничному значенні.

07:35

Speaker A

Але ми розглянемо лівосторонню і правосторонню похідні окремо.

07:44

Speaker A

Спочатку лівостороння похідна f' з мінусом в точці x0.

07:50

Speaker A

Це є границя Δx прямує до нуля, Δx менше за нуль.

07:58

Speaker A

Лівостороння границя Δf / Δx.

08:00

Speaker A

Неважко бачити, що чисельник Δf у нас менше або дорівнює нуля, і знаменник приріст аргумента менше нуля.

08:10

Speaker A

Тоді відношення двох від'ємних величин дасть нам величину, яка буде більше або дорівнювати нулю, і границя такого відношення теж буде невід'ємною.

08:20

Speaker A

Аналогічно, якщо я розгляну правосторонню похідну в цій точці, коли у нас границя Δx прямує до нуля, Δx залишається більше за нуль.

08:30

Speaker A

Δf / Δx дасть нам додатній чисельник і від'ємний знаменник.

08:40

Speaker A

Таким чином, ця величина буде невід'ємною, різні знаки, і границя теж буде менше або дорівнювати нулю.

08:50

Speaker A

Δf від'ємна, а Δx додатня.

08:53

Speaker A

Виходить, всі ці вирази одночасно і менше або дорівнюють нулю, і більше дорівнюють нулю.

09:00

Speaker A

Тобто вони всі дорівнюють нулю.

09:02

Speaker A

Звідси ми приходимо до твердження, що f' в точці x0 обов'язково буде нуль.

09:09

Speaker A

Теорема Ферма доведена.

09:11

Speaker A

Якщо згадати геометричний зміст похідної, то неважко бачити, що в точках екстремума похідна, маючи нульове значення, зробить дотичну горизонтальною.

09:23

Speaker A

Кут нахилу дотичної до додатнього напрямку вісі x-ів буде нулем, тобто дотична горизонтальна, як в точці максимума, так і в точці мінімума.

09:33

Speaker A

Це геометричний сенс, геометричний зміст теореми Ферма.

09:38

Speaker A

Ну, і ще замітимо, що знову-таки я повторюсь, що якщо функція має в точці x0 екстремум, то в цій точці обов'язково похідна дорівнює нулю.

09:50

Speaker A

Але це ще не означає, що якщо похідна нуль, то в цій точці екстремум.

09:57

Speaker A

Для того, щоб дослідити функцію на екстремум, треба більш тонке дослідження, більш ретельне, до якого ми ще повернемось в наших наступних заняттях.

10:08

Speaker A

А на сьогодні все, теорема Ферма доведена і обговорена.

10:15

Speaker A

До наступних зустрічей, залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього.

10:20

Speaker A

Я з вами, Олексій Василенко.

Topics: теорема Ферма локальний екстремум локальний максимум локальний мінімум похідна математичний аналіз диференційне числення аналіз функцій геометричний зміст похідної доказ теореми

Вчити це відео

- [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15852)
- [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15852)

Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/fermat-theorem-local-extremum/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/