**ДЧ06. Приклади. Обчислення похідної складеної функції — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/examples-calculating-derivative-composite-function/ Відео розглядає приклади обчислення похідної складеної функції з детальним поясненням формул та спрощенням результатів. ## Key Takeaways - Похідна складеної функції обчислюється за формулою f'(u)\*u', де u – внутрішня функція. - Для складних виразів важливо правильно розпізнавати зовнішню та внутрішню функції, особливо у випадках степенів і тригонометричних функцій. - Заміна змінних може значно спростити обчислення похідних громіздких функцій. - Використання таблиці похідних і знання основних формул є ключем до швидкого та правильного диференціювання. - Спрощення отриманих похідних робить результати більш зрозумілими і зручними для подальшого використання. ## What the video covers - Розгляд прикладів знаходження похідних складених функцій та застосування формул похідної суми, добутку і частки. - Пояснення, як переписувати вирази для зручності диференціювання, наприклад, степені та експоненти. - Обчислення похідної логарифма від тангенса з використанням формули похідної складеної функції. - Аналіз похідної функції виду cos^2(sin(x/3)) з розбором зовнішньої та внутрішньої функцій. - Приклад похідної логарифма від виразу з коренем та параметром, що веде до похідної ареа синуса. - Розбір похідної степеня в степені, зокрема функції 3^(2^x), та особливостей асоціативності степенів. - Показано метод заміни змінних для спрощення обчислення похідних складних функцій, на прикладі arccos(x). - Використання таблиці похідних для спрощення обчислень та рекомендації щодо її оновлення. - Пояснення тригонометричних формул, що допомагають у спрощенні похідних складених функцій. - Загальна методика поетапного диференціювання складених функцій з детальним розбором кожного кроку. Answers ## Questions about this video Як обчислити похідну складеної функції? Похідна складеної функції обчислюється за формулою f'(u) \* u', де f – зовнішня функція, а u – внутрішня. Спочатку знаходять похідну зовнішньої функції, підставляючи внутрішню, а потім множать на похідну внутрішньої функції. Чому важливо правильно розпізнавати зовнішню та внутрішню функції у виразах? Правильне розпізнавання зовнішньої та внутрішньої функцій дозволяє коректно застосувати формулу похідної складеної функції, що забезпечує правильне обчислення похідної навіть у складних випадках, наприклад, з тригонометричними чи степеневими функціями. Як заміна змінних допомагає у спрощенні обчислення похідних? Заміна змінних дозволяє винести складні частини функції у вигляд нової змінної, що спрощує диференціювання, оскільки замість безпосереднього обчислення похідної складної функції, береться похідна від простішої функції з урахуванням похідної замінної. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker None вивчати математичний аналіз, похідні. 00:19 Speaker None Сьогодні у нас практичні задачі. 00:24 Speaker None Ми розглянемо декілька типових прикладів на знаходження похідних, в першу чергу, похідної складеної функції. 00:31 Speaker None Почнемо з простого. 00:33 Speaker None Нехай задана отака функція 3√x ln x + e^-x cos x. 00:45 Speaker None Тут складеної функції немає, тут у нас сума двох функцій, кожна з яких є добуток двох інших функцій, тому будемо користуватись формулами похідної суми і добутку. 00:58 Speaker None Маємо. 01:00 Speaker None Я спочатку перепишу трохи по-іншому цей вираз. 01:03 Speaker None Тут у мене буде 3 √x, запишу як x в степені 1/3. 01:11 Speaker None Саме так мені буде зручно брати похідну. 01:14 Speaker None На логарифм x плюс, а e^-x. 01:20 Speaker None Користуючись тим, що у нас показник від'ємний. 01:26 Speaker None Я можу записати в знаменнику e^x. 01:31 Speaker None І тепер маємо похідну добутку і похідну частки. 01:36 Speaker None Користуємось формулами. 01:38 Speaker None Знаходимо y'. 01:41 Speaker None 3, так, u' це в нас буде. 01:44 Speaker None У мене u тепер тут це, а v логарифм. 01:48 Speaker None x^1/3' на логарифм x плюс, тепер x^1/3 залишилась на логарифм x похідна. 01:56 Speaker None Я використав формулу похідної добутку. 02:00 Speaker None Далі. 02:02 Speaker None Плюс. 02:03 Speaker None Тут похідна частки. 02:05 Speaker None Тут тепер у мене u і v. 02:08 Speaker None u' cos x похідна на e^x мінус cos x без змін на e^x похідна. 02:17 Speaker None І поділити все на e^2x. 02:20 Speaker None e^x^2 це e^2x. 02:23 Speaker None Дорівнює. 02:25 Speaker None Обчислюємо похідні, які у нас стоять. 02:29 Speaker None Посилаючись на таблицю похідних. 02:33 Speaker None x^1/3 це буде 3 помножити. 02:37 Speaker None 1/3 x^1/3 - 1. 02:41 Speaker None Логарифм x плюс. 02:44 Speaker None x^1/3, а тут у нас похідна від логарифма. 02:47 Speaker None Це 1/x. 02:51 Speaker None Плюс. 02:53 Speaker None Похідна від косинуса. 02:56 Speaker None Дає нам -sin x на e^x. 03:01 Speaker None Мінус похідна від e^x так же саме залишається. 03:05 Speaker None cos x e^x на e^2x. 03:10 Speaker None В принципі, похідну ми вже взяли. 03:13 Speaker None Але в такому вигляді залишати якось непристойно. 03:17 Speaker None Варто це спростити. 03:19 Speaker None Будемо спрощувати все, що можна. 03:21 Speaker None Ну, в такому вигляді вже можна і залишити. 03:23 Speaker None Але можна записати в наближеному до того, що було. 03:27 Speaker None Якщо я тут запишу тут логарифм x, а трійка загубилась. 03:31 Speaker None Отут трійка в мене. 03:33 Speaker None Логарифм x + 3 - e^-x (sin x + cos x). 03:39 Speaker None В такому вигляді, мабуть, варто залишати. 03:42 Speaker None Ми знайшли похідну від заданої функції. 03:46 Speaker None Наступна функція. 03:48 Speaker None Логарифм від тангенса x/2 вже тут складена функція. 03:53 Speaker None Логарифм від не x, а від тангенса. 03:57 Speaker None Саме тангенс. 04:00 Speaker None Є аргументом логарифма. 04:02 Speaker None Бо логарифма іншого аргументу немає. 04:05 Speaker None Тоді, раз складена функція. 04:07 Speaker None Згадуємо формулу похідної складеної функції. 04:11 Speaker None f(u)' = f'(u) \* u'. 04:18 Speaker None В даному випадку у нас функцією u буде саме тангенс. 04:23 Speaker None От ми тангенс. 04:26 Speaker None Маємо на увазі, це у нас u. 04:29 Speaker None Логарифм від u. 04:32 Speaker None Знаходимо похідну. 04:35 Speaker None Похідна від логарифма u це буде 1 / u. 04:40 Speaker None Як похідна від логарифма. 04:43 Speaker None І помножити на похідну від u'. 04:47 Speaker None Тобто, це буде 1 / tg x/2 помножити на похідну від tg x/2. 04:54 Speaker None Перший крок зроблено. 04:55 Speaker None Але тепер у нас похідна від тангенса. 04:58 Speaker None Треба взяти цю похідну. 05:01 Speaker None Тангенс, якби був просто x. 05:04 Speaker None Похідна від тангенса x у нас стоїть в таблиці похідних. 05:07 Speaker None А от похідна від тангенса x/2 знову-таки складена. 05:12 Speaker None Бо аргументом у нас x/2. 05:16 Speaker None Користуємось тією ж самою формулою, де в якості u у нас тепер виступає x/2. 05:21 Speaker None 1 / tg x/2 помножити похідна від тангенса u. 05:27 Speaker None Це у нас буде 1 / cos^2 аргумента x/2. 05:33 Speaker None І помножити на x/2 похідна. 05:37 Speaker None От. 05:39 Speaker None Похідна від x/2 це просто 1/2. 05:42 Speaker None І тому, ага. 05:44 Speaker None А тангенс це у нас sin / cos. 05:48 Speaker None Якщо розписати, косинус скоротиться. 05:51 Speaker None Залишається у нас 1. 05:54 Speaker None sin x/2 помножити на cos x/2. 05:58 Speaker None І похідна від x/2 це 1/2. 06:00 Speaker None Я двійку напишу спереду. 06:03 Speaker None Зразу згадується формула з тригонометрії. 06:07 Speaker None Про синус подвійного аргумента. 06:10 Speaker None Але тепер, оскільки у нас половини, подвійний не буде просто sin x. 06:14 Speaker None І маємо 1. 06:17 Speaker None На sin x. 06:20 Speaker None Похідна складеної функції. 06:23 Speaker None Я користувався оцією формулою. 06:26 Speaker None Для логарифма. 06:29 Speaker None Хочеться відмітити, що в такому вигляді. 06:33 Speaker None Логарифм u похідна дорівнює 1/u'. 06:38 Speaker None Варто переписати всю таблицю похідних. 06:41 Speaker None Що я вам і рекомендую зробити. 06:44 Speaker None От приблизно так. 06:47 Speaker None І саме такою таблицею користуватись, коли ми маємо справу з похідними складеної функції. 06:51 Speaker None Тепер дещо підступний приклад. 06:55 Speaker None cos^2 від sin x/3. 06:59 Speaker None В цьому прикладі дещо замаскована зовнішня функція. 07:03 Speaker None І це викликає певні проблеми. 07:06 Speaker None Справа в тому, що cos^2, як це розуміти? 07:11 Speaker None Якщо ми пишемо cos^2, це мають, от, скажем, cos^2 x. 07:16 Speaker None Це як? 07:19 Speaker None Це насправді (cos x)^2. 07:22 Speaker None В такому вигляді видно, що у нас зовнішня функція це квадрат. 07:26 Speaker None Це зовнішня. 07:28 Speaker None А в якості внутрішньої, тобто u в наших формулах, виступає косинус. 07:35 Speaker None Хоча тут здається, що косинус це зовсім зовнішня. 07:39 Speaker None Тому, звичайно, простіше. 07:41 Speaker None Знайти похідну від √cos x. 07:44 Speaker None Ніж від cos^2. 07:49 Speaker None Але ми з цим розібрались. 07:51 Speaker None Тому це у нас косинус, я навіть перепишу (cos(sin x/3))^2. 07:57 Speaker None Перед нами це отака функція. 08:00 Speaker None І для неї користуємось формулами для складеної функції. 08:03 Speaker None y'. 08:06 Speaker None Похідна від u^2. 08:09 Speaker None В якості проміжного у нас виступає весь цей вираз. 08:12 Speaker None Це буде 2u, тобто 2 cos(sin x/3). 08:17 Speaker None Похідна від u^2 це є 2u \* u'. 08:21 Speaker None 2u \* u', похідна від cos(sin x/3)'. 08:28 Speaker None От тепер будемо брати похідну від косинуса вже на наступному кроці. 08:30 Speaker None 2 cos(sin x/3) це залишається вже назавжди. 08:35 Speaker None Тепер знаходимо похідну від косинуса нашого нового u. 08:39 Speaker None Похідна від cos u це -sin. 08:44 Speaker None Мінус sin цього самого аргумента sin x/3. 08:48 Speaker None І помножити на похідну від цього аргумента. 08:52 Speaker None sin x/3 похідна. 08:56 Speaker None Нарешті це останній крок. 08:59 Speaker None Похідна від x/3 1/3. 09:03 Speaker None Остаточно маємо. 09:06 Speaker None 1/3 sin(2 sin x/3) cos x/3. 09:13 Speaker None Наступний приклад іноді лякає своєю громіздкістю. 09:16 Speaker None Але красота отриманої відповіді робить цей приклад одним із улюблених прикладів більшості викладачів. 09:23 Speaker None Тому давайте на нього подивимось. 09:26 Speaker None Ну, звичайно, тут просто складена функція. 09:29 Speaker None Логарифм від якогось аргумента, логарифм u. 09:33 Speaker None І тоді похідна буде 1 / (x + √(x^2 + a^2)). 09:39 Speaker None І помножити на похідну аргумента логарифма. 09:43 Speaker None Помножити на (x + √(x^2 + a^2))'. 09:49 Speaker None Знаходимо цю похідну. 09:52 Speaker None Маємо. 09:54 Speaker None 1 / (x + √(x^2 + a^2)) \* (1 + ...). 10:01 Speaker None А у нас константа. 10:03 Speaker None Маємо це на увазі, що а просто константа, параметр. 10:06 Speaker None Це незмінна. 10:08 Speaker None Змінна x, і тому беремо похідну від кореня. 10:13 Speaker None Похідна від кореня це 1 / (2 таких же кореня). 10:19 Speaker None 2√(x^2 + a^2). 10:25 Speaker None Помножене на похідну від підкореневого виразу. 10:30 Speaker None Під коренем у нас стоїть x^2 + a^2. 10:34 Speaker None І тому похідну від кореня ще треба помножити на 2x. 10:40 Speaker None Похідна від a^2 0. 10:43 Speaker None Будемо спрощувати. 10:46 Speaker None Скоротились двійки. 10:48 Speaker None Приводимо до спільного знаменника в дужках. 10:51 Speaker None 1 / (x + √(x^2 + a^2)). 10:58 Speaker None Знаменник √(x^2 + a^2). 11:05 Speaker None Сюди у нас іде √(x^2 + a^2). 11:10 Speaker None Тут у нас залишається x. 11:11 Speaker None Плюс x. 11:13 Speaker None Ну от. 11:15 Speaker None Довгоочікуване спрощення. 11:18 Speaker None Скорочуються два множники. 11:21 Speaker None І залишається достатньо красива відповідь. 11:26 Speaker None 1 / √(x^2 + a^2). 11:31 Speaker None До речі, оця функція обернена до гіперболічного синуса. 11:35 Speaker None Ареа синус називається. 11:38 Speaker None І оце формула похідної від ареа синуса. 11:43 Speaker None Наступний приклад не складний. 11:44 Speaker None Але цікавий тим, що тут от степінь в степені. 11:50 Speaker None Треба розібратись тут з зі складеною функцією. 11:53 Speaker None Що від чого залежить. 11:56 Speaker None Хочеться відмітити, що у нас, як читати такий вираз? 12:00 Speaker None 3^2^x. 12:04 Speaker None В якій послідовності треба виконувати дії? 12:07 Speaker None Тут все-таки 3 в степені якась функція 2^x. 12:13 Speaker None А не 3^2, 9^x. 12:17 Speaker None Цей вираз не дорівнює 9^x. 12:20 Speaker None Піднесення до степені неперестановочна. 12:24 Speaker None Не можна і по-іншому розставити дужки. 12:27 Speaker None Немає асоціативності тут. 12:30 Speaker None Це у нас буде 3^2^x. 12:34 Speaker None Отак. 12:36 Speaker None Ну і тепер уже складена функція. 12:39 Speaker None В цьому випадку y'. 12:42 Speaker None Буде дорівнювати 3^u похідна, це у нас буде 3^2^x. 12:49 Speaker None На логарифм 3 за таблицею похідних. 12:52 Speaker None Помножено на похідну показника. 12:56 Speaker None 2^x похідна. 12:59 Speaker None А похідна від 2^x за тією ж формулою. 13:03 Speaker None Нам дасть логарифм 3 помножити на 2^x логарифм 2. 13:11 Speaker None Ну, хіба що можна переписати. 13:16 Speaker None Суттєвого спрощення я далі не бачу. 13:21 Speaker None Похідна від 3^2^x. 13:25 Speaker None На завершення я хочу показати один з прийомів, який іноді дозволяє спростити обчислення похідних. 13:31 Speaker None Достатньо громіздких. 13:33 Speaker None Ну, от, скажімо, така похідна. 13:36 Speaker None Її обчислення можна спростити, якщо зробити заміну змінних. 13:41 Speaker None От саме заміна змінних іноді дозволяє трошки спростити обчислення. 13:45 Speaker None Ми бачимо, що arccos x у нас присутній декілька разів. 13:51 Speaker None У нас тут arccos x^2. 13:55 Speaker None Ми вже про це казали. 13:58 Speaker None Таким чином, якщо я прямо явно позначу через u arccos x. 14:04 Speaker None То наша функція. 14:07 Speaker None Може бути записана як u^2 \* ln u. 14:11 Speaker None І тоді знаходження похідної. 14:14 Speaker None Зведеться до знаходження похідної (u^2 \* ln u)' \* u'. 14:21 Speaker None Складена функція. 14:26 Speaker None Цей шлях дещо простіший, ніж весь час брати похідну від arccos x і за собою носити. 14:33 Speaker None Ми похідну від arccos x винесли окремо. 14:37 Speaker None Будемо брати тільки один раз. 14:40 Speaker None А цей вираз знаходиться похідна, як звичайна похідна добутку. 14:44 Speaker None Маємо. 14:46 Speaker None u^2' \* ln u + u^2 \* ln u'. 14:53 Speaker None І помножити на похідну від u. 14:55 Speaker None Похідна від arccos x. 14:58 Speaker None А похідна від arccos x у нас -1 / √(1 - x^2). 15:04 Speaker None Ну тепер можна згадати, що u насправді у нас arccos. 15:07 Speaker None І тому в чисельнику дробу. 15:11 Speaker None -1 / √(1 - x^2). 15:16 Speaker None Я цю дужку перенесу в чисельник. 15:21 Speaker None Мінус виніс перед дробом. 15:24 Speaker None Тут у нас буде стояти 2 arccos x ln arccos x. 15:31 Speaker None Плюс u^2 і u скорочується. 15:34 Speaker None Залишається просто arccos x. 15:38 Speaker None На цьому сьогоднішні приклади завершуються. 15:41 Speaker None Наступного разу розберемо спеціальні випадки обчислення похідних. 15:46 Speaker None Логарифмічне диференціювання, неявна, параметрична функція. 15:51 Speaker None Залишайтесь на нашому каналі. 15:54 Speaker None До наступних зустрічей. 15:57 Speaker None Будьте з нами. 15:59 Speaker None А я з вами. 16:01 Speaker None Олексій Василенко. 16:04 Speaker None До побачення. Topics: похідна складена функція математичний аналіз диференціювання логарифм тригонометрія похідна добутку похідна частки заміна змінних похідна степеня --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/examples-calculating-derivative-composite-function/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/