**Таблиця похідних: виведення основних формул** Source: https://sozai.app/transcript/derivatives-table-formulas-derivation/ Відео пояснює виведення формул таблиці похідних, включно з логарифмічними, степеневими та тригонометричними функціями. ## Key Takeaways - Знання таблиці похідних важливе для математичного аналізу. - Похідні логарифмічних і показникових функцій виводяться через границі та властивості логарифмів. - Похідна степеневої функції застосовується для будь-яких дійсних степенів. - Тригонометричні похідні виводяться через границі та формули зведення. - Похідні обернених тригонометричних функцій базуються на властивостях обернених функцій. ## What the video covers - Виведення формули похідної натурального логарифма та логарифма з будь-якою основою. - Обґрунтування похідної показникової функції a^x, зокрема e^x. - Похідна степеневої функції x^α для будь-якого дійсного α. - Пояснення похідних для окремих випадків, таких як похідна x, x^-1, корінь з x. - Виведення похідної синуса через тригонометричні формули та границі. - Похідна косинуса через формулу зведення та похідну синуса. - Обчислення похідної котангенса через похідну частки та тригонометричні тотожності. - Згадка про похідну тангенса та рекомендація вивести її самостійно. - Початок розгляду похідних обернених тригонометричних функцій arcsin та arccos. - Пояснення області визначення та множини значень для arcsin. Answers ## Questions about this video Як вивести похідну натурального логарифма? Похідна натурального логарифма виводиться через границю приросту функції, використовуючи властивості логарифма та важливі границі, що дає формулу 1/x. Яка формула похідної степеневої функції для будь-якого дійсного степеня? Похідна функції y = x^α, де α — будь-яке дійсне число, дорівнює α \* x^(α-1), що виводиться через представлення степеневої функції у вигляді експоненти та логарифма. Як знаходиться похідна косинуса? Похідна косинуса знаходиться через формулу зведення cos x = sin(π/2 - x), застосовуючи похідну синуса та похідну складеної функції, що дає результат -sin x. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker A Продовжуємо поглиблюватись в математичний аналіз. 00:20 Speaker A Сьогодні у нас таблиця похідних. 00:25 Speaker A Більшості з вас вона добре знайома, мета сьогоднішнього заняття протягом наступних 15 хвилин вивести всі формули таблиці похідних. 00:42 Speaker A Це, до речі, допомагає запам'ятати саму таблицю похідних, бо знати її на пам'ять дуже важливо. 00:43 Speaker A Перший рядок в таблиці похідних, похідна сталої дорівнює нулю, ми пропускаємо, минулого разу ми про це говорили. 00:53 Speaker A А почнемо з середини, з натурального логарифма, нехай маємо натуральний логарифм x. 00:59 Speaker A Функція, яка задана на додатній частині числової вісі. 01:05 Speaker A І для знаходження похідної дамо в довільній точці x приріст дельта x. 01:10 Speaker A Отримаємо відповідний приріст функції дельта y. 01:13 Speaker A Дельта y для логарифма - це в нас буде x, логарифм x + дельта x - логарифм x. 01:20 Speaker A Точка, в якій ми беремо похідну. 01:23 Speaker A Це є, користуючись властивостями логарифма, це в нас буде логарифм частки. 01:30 Speaker A Тобто x + дельта x / x. 01:35 Speaker A Дорівнює. 01:36 Speaker A Поділю почленно, маю логарифм 1 + дельта x / x. 01:40 Speaker A Це мій приріст функції. 01:41 Speaker A Тоді похідна y' буде дорівнювати границі, коли дельта x прямує до нуля, дельта y / дельта x. 01:45 Speaker A Підставляю дельта y, отримуємо. 01:46 Speaker A Границя дельта x прямує до нуля, логарифм 1 + дельта x / x / дельта x. 01:53 Speaker A Це схоже на другу, на наслідок з другої важливої границі. 01:57 Speaker A Але нам треба, щоб аргумент логарифма співпадав зі знаменником. 02:02 Speaker A Недостає x, я його допишу. 02:04 Speaker A Раз він нам потрібен. 02:06 Speaker A Тепер ми маємо той же самий вираз, що після одинички. 02:10 Speaker A І це в нас перетворюється в наслідок з другої важливої границі. 02:13 Speaker A Це прямує до одинички. 02:15 Speaker A Таким чином, а x - величина стала відносно границі. 02:18 Speaker A І маємо, що це буде просто 1 / x. 02:21 Speaker A Ну і отримали відому формулу: логарифм x дорівнює 1 / x. 02:25 Speaker A Якщо ми маємо логарифм не натуральний, а логарифм за основою a x. 02:31 Speaker A То, користуючись відомими формулами, пов'язаними з логарифмом. 02:32 Speaker A Його можна записати, помінявши основу, перейдемо до основи натурального логарифма. 02:37 Speaker A І тоді похідна від логарифма логарифм за основою a x похідна. 02:40 Speaker A Ну, буде тим, що в нас стоїть в таблиці похідних: x - це похідна від логарифма. 02:45 Speaker A І логарифм a зберігається в знаменнику. 02:48 Speaker A Ми вивели формулу для логарифма з будь-яким, будь-якою основою. 02:52 Speaker A Рухаємось далі по таблиці похідних, трошки вище. 02:56 Speaker A Ми маємо формулу a в степені x. 02:59 Speaker A y = a в степені x. 03:01 Speaker A Знайдемо похідну від показникової функції. 03:05 Speaker A Ну, a в степені x - це функція обернена до логарифма. 03:10 Speaker A x = логарифм за основою a y. 03:13 Speaker A Я піду цим шляхом. 03:16 Speaker A За формулою похідної оберненої функції будемо мати y' = 1 / x'. 03:21 Speaker A А x', а ми похідну логарифма тільки що вивели. 03:24 Speaker A Маємо 1 / 1 / y логарифм натуральний a. 03:29 Speaker A Ну, знаменник знаменника переносимо в чисельник. 03:32 Speaker A Маємо y логарифм натуральний a. 03:36 Speaker A Згадуємо, що y - це є a в степені x. 03:40 Speaker A І отримаємо формулу, яка стоїть в таблиці похідних. 03:44 Speaker A y' = a в степені x логарифм натуральний a. 03:48 Speaker A Зокрема, коли a буде числом e, основою натурального логарифма. 03:53 Speaker A Оскільки логарифм числа e дорівнює одиниці. 03:58 Speaker A Формула спрощується: похідна від e в степені x дорівнює e в степені x. 04:02 Speaker A Продовжуємо рухатись вверх по таблиці. 04:05 Speaker A І розглядаємо похідну степеневої функції. 04:09 Speaker A Я буду писати похідну степеневої функції, степеневу функцію у вигляді y = x в степені альфа. 04:14 Speaker A А не традиційне n. 04:16 Speaker A Підкреслюючи цим, що альфа не тільки ціле число. 04:20 Speaker A А це будь-яке число, будь-яке дійсне число. 04:24 Speaker A В цьому випадку все одно формула буде працювати точно так. 04:27 Speaker A Ну, подивимося. 04:29 Speaker A Я запишу у вигляді функцію y e в степені логарифм натуральний x в степені альфа. 04:36 Speaker A Я користуючись тим, що експонента і натуральний логарифм, вони взаємно обернені функції. 04:41 Speaker A І тому все зникає, залишається x в степені альфа. 04:44 Speaker A А тепер скористаюсь тим, що у логарифма альфа можна винести у вигляді коефіцієнта. 04:50 Speaker A Маємо складену функцію. 04:53 Speaker A y = e в степені u, а u - це в нас альфа логарифм x. 04:57 Speaker A Тоді похідна від цієї функції буде дорівнювати e в степені u. 05:02 Speaker A Ну, u в нас я поставлю альфа логарифм x. 05:07 Speaker A І помножити на похідну від u, похідну від альфа логарифм x похідна. 05:11 Speaker A Альфа - константа, яку можна винести далеко. 05:14 Speaker A e в степені альфа я запишу, як воно було: e в степені логарифм x в степені альфа. 05:19 Speaker A А похідна від логарифма 1 / x. 05:24 Speaker A Дорівнює. 05:26 Speaker A Альфа e в степені логарифм x в степені альфа - це просто x в степені альфа. 05:30 Speaker A Помножити на 1 / x. 05:33 Speaker A От звідки береться -1 у показнику. 05:37 Speaker A Виявляється, ми просто повинні скоротити x в степені альфа в чисельнику і знаменником. 05:41 Speaker A Отримаємо x в степені альфа - 1. 05:45 Speaker A Часткові випадки, які наведені. 05:49 Speaker A Дуже часто зустрічаються, їх треба варто пам'ятати. 05:53 Speaker A Що похідна від x - це коли альфа дорівнює 1. 05:57 Speaker A Ми будемо мати просто одиничку. 06:03 Speaker A В цьому випадку 1 / x можна записати як x в степені -1. 06:08 Speaker A В -1 степені, і тоді за формулою похідної, яку ми маємо. 06:12 Speaker A Ми будемо мати -1 / x в -2 степені - це є x². 06:18 Speaker A Ну і нарешті, останній, досить часто зустрічається корінь з x. 06:22 Speaker A Ми можемо його записати як x в степені 1/2. 06:26 Speaker A Тобто показник не обов'язково цілий. 06:29 Speaker A І за цією ж самою формулою ми теж будемо мати 1/2 x в степені -1/2. 06:34 Speaker A Ну, це і є формула для похідної від кореня з x. 06:38 Speaker A Переходимо до тригонометричних формул. 06:41 Speaker A Спочатку синус з косинусом. 06:44 Speaker A Починаємо з синуса. 06:46 Speaker A y = sin x. 06:49 Speaker A Знову дамо приріст дельта x аргументу x. 06:53 Speaker A І отримаємо дельта y як різницю sin x + дельта x - sin x. 06:58 Speaker A За формулою з тригонометрії різниця синусів є 2 sin напіврізниці. 07:02 Speaker A sin напіврізниця - це буде просто дельта x / 2. 07:07 Speaker A І на косинус напівсуми. 07:10 Speaker A Сума - це 2x + дельта x, якщо на 2 поділити, залишиться x + дельта x / 2. 07:16 Speaker A Це наш дельта y. 07:18 Speaker A Тепер можемо отримати похідну y' - це у нас границя дельта x прямує до нуля дельта y дельта x. 07:23 Speaker A Дорівнює. 07:25 Speaker A Границя, ну, двійку я поставлю так, sin дельта x / 2 / дельта x. 07:32 Speaker A Нам треба ділити на дельта x. 07:34 Speaker A Три множники у нас. 07:36 Speaker A Я поділю середній. 07:38 Speaker A sin дельта x / 2 / дельта x, ну і додасться ще тут cos x + дельта x / 2. 07:47 Speaker A Я буду говорити зараз про першу важливу границю. 07:51 Speaker A Для того, щоб її використати, треба, щоб аргумент синуса стояв у знаменнику. 07:57 Speaker A А у нас двійка є, ми її можемо спокійно перенести в знаменник знаменника. 08:02 Speaker A І тоді все буде нормально. 08:03 Speaker A І тут не буде. 08:06 Speaker A А буде дельта x / 2. 08:11 Speaker A І маємо в знаменнику якраз аргумент синуса. 08:15 Speaker A І це дасть одиницю. 08:18 Speaker A Прямує до одиниці за першою важливою границею. 08:21 Speaker A І тоді, якщо розписати границю, коли дельта x прямує до нуля на дві границі. 08:26 Speaker A Ми будемо мати: перша дасть одиницю, а друга залишиться. 08:29 Speaker A Границя дельта x прямує до нуля cos x + дельта x / 2. 08:35 Speaker A А що з цим робити? 08:37 Speaker A Та нормально все, косинус функція неперервна. 08:41 Speaker A Ми можемо границю внести в аргумент, дельта x прямує до нуля, перетворить на нуль другий доданок аргумента. 08:48 Speaker A І залишиться в чистому вигляді cos x. 08:52 Speaker A Похідна від синуса є косинус. 08:56 Speaker A А похідна від косинуса? 08:58 Speaker A Ми будемо йти більш простим шляхом. 09:01 Speaker A Ми згадаємо формулу зведення. 09:04 Speaker A cos x = sin π / 2 - x. 09:08 Speaker A За формулою зведення. 09:10 Speaker A Тоді похідна від косинуса cos x похідна в нас буде складена функція. 09:15 Speaker A Похідна від синуса - це у нас косинус цього ж аргументу π / 2 - x. 09:21 Speaker A Помножити на похідну від аргумента. 09:24 Speaker A А похідна від π / 2 - x, π / 2 - константа, похідна 0, а від -x -1. 09:30 Speaker A Маємо - cos π / 2 - x. 09:33 Speaker A А cos π / 2 - x - це ж є sin x за тією самою формулою зведення. 09:38 Speaker A Тому маємо - sin x. 09:41 Speaker A Що і треба було. 09:43 Speaker A Тригонометричні функції синус і косинус. 09:46 Speaker A Прийшов час тангенса і котангенса. 09:50 Speaker A Формули виводяться приблизно однаково. 09:53 Speaker A Я пропоную тангенс вам вивести самостійно. 09:57 Speaker A А я поговорю про котангенс. 10:01 Speaker A Котангенс x похідна. 10:05 Speaker A Так котангенс - це ж у нас cos x / sin x. 10:10 Speaker A І похідна від котангенса зводиться до похідної частки. 10:13 Speaker A Використовуємо формулу для похідної частки. 10:16 Speaker A І ми маємо. 10:20 Speaker A Похідна від cos x \* sin x - cos x без змін на похідну sin x. 10:26 Speaker A І квадрат знаменника sin² x. 10:29 Speaker A Знаходимо відповідні похідні. 10:32 Speaker A Похідна від косинуса синус з мінусом, - sin і на sin буде - sin² x. 10:38 Speaker A Похідна від синуса - це косинус. 10:41 Speaker A І з цим косинусом разом дасть нам - cos² x. 10:44 Speaker A Поділити на sin² x. 10:47 Speaker A Якщо я мінус винесу за дужки, я отримаю одиницю, тригонометрична одиниця. 10:53 Speaker A І тоді ми маємо -1 / sin² x. 10:57 Speaker A Що і треба було. 11:00 Speaker A Ну, тангенс іще простіше, просто мінуса не буде. 11:04 Speaker A Ну, а тепер обернені тригонометричні функції. 11:08 Speaker A Arcsin і arccos. 11:11 Speaker A Почнемо з arcsin. 11:14 Speaker A y = arcsin x. 11:17 Speaker A Ну, це функція за своїм означенням обернена до функції x = sin y. 11:23 Speaker A Функція визначена на відрізку -1, 1 і має множину значень -π/2, π/2. 11:31 Speaker A Це у нас y. 11:34 Speaker A Будемо знаходити похідну цієї оберненої функції. 11:38 Speaker A Її існування, неперервність ми вже обговорили в попередніх зустрічах. 11:43 Speaker A Знаходимо похідну як похідну оберненої функції. 11:47 Speaker A Тобто y' = 1 / x'. 11:51 Speaker A x' - це похідна від синуса. 11:54 Speaker A Маємо 1 / cos y. 11:57 Speaker A Похідна від синуса - косинус. 12:00 Speaker A Нам би цю похідну тепер виразити через x. 12:03 Speaker A x - це у нас синус, тобто для такого виразу мені треба косинус виразити через синус. 12:06 Speaker A Згадую тригонометричну одиницю. 12:09 Speaker A sin² x + cos² x = 1. 12:13 Speaker A І звідси cos y буде дорівнювати ±√1 - sin² y. 12:17 Speaker A Що робити з ±? 12:19 Speaker A Він трошки заважає. 12:21 Speaker A Але я підкреслив, що y у нас від -π/2 до π/2. 12:28 Speaker A Тобто кут у нас в четвертій і першій чвертях. 12:33 Speaker A А там косинус додатній, завжди додатній. 12:38 Speaker A Коли аргумент косинуса оцього косинуса на від -π/2 до π/2. 12:43 Speaker A У нас косинус додатнє значення приймає. 12:45 Speaker A Таким чином, мінус можна просто відкинути. 12:48 Speaker A Залишиться плюс. 12:50 Speaker A В нашому випадку косинус y буде коренем. 12:53 Speaker A Ну, а синус - це у нас вже просто x. 12:56 Speaker A sin y. 12:58 Speaker A Отже, y' буде дорівнювати 1 / √1 - x². 13:02 Speaker A А, ну, да, це ж і є те, що нам, що ми хотіли отримати. 13:05 Speaker A Похідна від arcsin - це 1 / √1 - x². 13:10 Speaker A Щодо arccos. 13:12 Speaker A arccos x. 13:15 Speaker A Це є π / 2 - arcsin x за формулами зведення - це обернені функції. 13:21 Speaker A І тоді похідна від arccos - це просто похідна від π / 2 - arcsin x. 13:25 Speaker A Похідна від π / 2 - 0, а це мінус залишається перед нашим коренем. 13:31 Speaker A -1 / √1 - x². 13:34 Speaker A Те, що і треба було. 13:36 Speaker A Похідна від arccos відрізняється мінусом від arcsin. 13:39 Speaker A В нашій таблиці залишилися arctg і arcctg. 13:43 Speaker A y = arctg x. 13:46 Speaker A arctg x - це функція обернена до функції x = tg y. 13:51 Speaker A Ну, раз обернена, будемо користуватись формулою для оберненої функції. 13:55 Speaker A y' = 1 / x'. 13:58 Speaker A x' - похідна від тангенса. 14:01 Speaker A Ми вже її отримали, це 1 / cos² y. 14:06 Speaker A От тепер би нам cos² y виразити через тангенс, щоб отримати x. 14:10 Speaker A Ну, так є ж формула. 14:12 Speaker A 1 / cos² y = 1 + tg² y. 14:16 Speaker A Так я її сюди і підставлю. 14:18 Speaker A 1 / 1 + tg² y. 14:21 Speaker A А tg² y - це x². 14:23 Speaker A Отже, і маємо y' = 1 / 1 + x². 14:27 Speaker A З arcctg точно так, як з arccos. 14:31 Speaker A Тобто похідна arcctg - це π / 2 - arcctg x похідна. 14:36 Speaker A Похідна від π / 2 - 0, а це мінус залишається перед нашим коренем. 14:41 Speaker A -1 / 1 + x². 14:44 Speaker A Відрізняється мінусом завдяки цьому π / 2. 14:47 Speaker A Оскільки наш математичний аналіз не обійдеться без гіперболічних функцій. 14:52 Speaker A Подивимось, як виглядають похідні гіперболічних функцій. 14:56 Speaker A Похідна гіперболічного синуса. 15:01 Speaker A За означенням синус гіперболічний - це у нас e в степені x - e в степені -x / 2. 15:06 Speaker A І треба взяти похідну. 15:09 Speaker A Похідні відповідні від експонент будемо мати e в степені x, похідна від e в степені -x буде -e в степені -x. 15:16 Speaker A Тобто буде просто плюс / 2. 15:20 Speaker A А це є cos гіперболічний x. 15:22 Speaker A Отже, похідна від гіперболічного синуса - гіперболічний косинус, як і можна було очікувати за аналогією з тригонометричними функціями. 15:29 Speaker A Дивимось на похідну косинуса. 15:31 Speaker A Похідна косинуса дуже схожа. 15:33 Speaker A e в степені x + e в степені -x / 2 похідна, беремо похідну від експонент. 15:39 Speaker A Маємо e в степені x, тепер цей мінус стане перед косинусом, буде мінус. 15:45 Speaker A Виходить просто sin гіперболічний x без мінуса, як в тригонометрії. 15:49 Speaker A Ну, в цьому різниця. 15:50 Speaker A Ну, повинна бути різниця. 15:52 Speaker A Переходимо до тангенса. 15:55 Speaker A Тангенс гіперболічний x. 15:58 Speaker A Тангенс гіперболічний нам дасть sin гіперболічний / cos гіперболічний. 16:03 Speaker A Використовуємо формулу частки. 16:06 Speaker A Маємо sin x похідна на cos x - sin x на cos x похідна. 16:12 Speaker A І поділити все це на cos² x. 16:15 Speaker A Дорівнює. 16:17 Speaker A Так, похідна від синуса гіперболічного - cos гіперболічний, cos². 16:23 Speaker A Похідна від косинуса - синус, sin². 16:27 Speaker A А за формулою гіперболічних функцій. 16:30 Speaker A Це гіперболічна одиниця. 16:32 Speaker A cos² - sin² - це одиниця. 16:36 Speaker A Поділене на cos² x. 16:39 Speaker A Маємо похідна від тангенса виявляється 1 / гіперболічний косинус². 16:44 Speaker A Аналогічно від котангенса гіперболічного. 16:47 Speaker A Котангенс гіперболічний дасть нам відношення cos гіперболічного до sin гіперболічного. 16:50 Speaker A І точно так за формулою похідної частки. 16:54 Speaker A Ми будемо мати. 16:57 Speaker A Похідна від косинуса гіперболічного - це у нас sin гіперболічний на sin буде sin² x. 17:03 Speaker A Мінус cos² x / sin² x. 17:07 Speaker A Маємо sin² гіперболічний - cos². 17:11 Speaker A Це гіперболічна одиниця з оберненим знаком. 17:14 Speaker A Відрізняється мінусом. 17:17 Speaker A -1 / sin² x. 17:21 Speaker A А тут мінус збережеться. 17:22 Speaker A Як в тригонометрії. 17:25 Speaker A Ну, от на цьому всі варіанти таблиць похідних, мабуть, вичерпані. 17:30 Speaker A Залишається їх використовувати. 17:34 Speaker A Треба підкреслити: таблицю похідних треба пам'ятати на пам'ять. 17:37 Speaker A Обов'язково. 17:38 Speaker A Її треба знати. 17:40 Speaker A Щоб її запам'ятати, є єдиний шлях: треба розв'язувати задачі, використовуючи ці формули. 17:45 Speaker A Тоді він відкладається. 17:47 Speaker A Просто визубриш, через тиждень забудеться. 17:50 Speaker A Це вже з досвіду. 17:52 Speaker A Отже, наступні заняття у нас будуть присвячені розв'язанню типових задач на знаходження похідних. 17:59 Speaker A А на сьогодні все. 18:02 Speaker A Залишайтесь на нашому каналі. 18:06 Speaker A Я з вами. 18:08 Speaker A До побачення. Topics: похідна таблиця похідних математичний аналіз логарифм показникова функція тригонометрія синус косинус тангенс котангенс Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15758) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15758) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/derivatives-table-formulas-derivation/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/