**32. Demostración de la derivada del logaritmo natural — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/demonstracion-derivada-logaritmo-natural/

Demostración paso a paso de la derivada del logaritmo natural y su relación con la función exponencial inversa.

## Key Takeaways

- La derivada del logaritmo natural de x es 1/x.
- El logaritmo natural y la función exponencial son funciones inversas, lo que facilita la demostración.
- La regla de la cadena permite derivar logaritmos de funciones compuestas.
- La fórmula para derivar funciones exponenciales con bases distintas se verá en el siguiente vídeo.
- El vídeo es parte de una serie educativa de Mate Fácil sobre cálculo diferencial.

## What the video covers

- Se introduce la derivada del logaritmo natural de x usando la función inversa exponencial.
- Se define v como el logaritmo natural de x para facilitar la demostración.
- Se aplica la función exponencial a ambos lados para despejar x en términos de v.
- Se utiliza la fórmula de la derivada de la función exponencial demostrada en un vídeo anterior.
- Se deriva implícitamente la ecuación e^v = x respecto a x.
- Se despeja la derivada de v (v') y se expresa finalmente en términos de x.
- Se presenta la fórmula final: la derivada del logaritmo natural de x es 1/x.
- Se generaliza la fórmula usando la regla de la cadena para funciones compuestas.
- Se anticipa el siguiente vídeo donde se derivarán funciones exponenciales con bases distintas a e.
- Se invita a los espectadores a apoyar el canal con likes, suscripciones y Patreon.

## Chapters

1. 00:00 Introducción y objetivo del vídeo
2. 00:15 Definición de v como logaritmo natural de x
3. 00:31 Relación inversa entre logaritmo y exponencial
4. 00:50 Aplicación de la función exponencial para despejar x
5. 01:20 Derivación implícita usando fórmula de derivada exponencial
6. 01:49 Despeje de la derivada de v y expresión en términos de x
7. 02:34 Fórmula final de la derivada del logaritmo natural
8. 02:51 Generalización con regla de la cadena
9. 03:25 Avance del siguiente vídeo sobre derivadas de funciones exponenciales
10. 03:53 Cierre, invitación a apoyar y agradecimientos

Answers

## Questions about this video

¿Por qué se usa la función exponencial para derivar el logaritmo natural?

Porque la función exponencial es la inversa del logaritmo natural, lo que permite despejar x y derivar implícitamente la ecuación para encontrar la derivada del logaritmo.

¿Cuál es la fórmula final para la derivada del logaritmo natural de x?

La derivada del logaritmo natural de x es 1 dividido entre x, es decir, d/dx(ln(x)) = 1/x.

¿Cómo se aplica la regla de la cadena en la derivada del logaritmo natural?

Si la función dentro del logaritmo es una función v(x), la derivada es 1 sobre v(x) multiplicado por la derivada de v respecto a x, o sea, (v')/v.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:00

Speaker A

Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo vamos a calcular la fórmula para derivar el logaritmo natural de x, y esto vamos a hacerlo a partir de la fórmula que vimos ya en el vídeo anterior para la función

00:15

Speaker A

exponencial. Lo que vamos a utilizar aquí es que la función x es inversa del logaritmo natural de x. Vamos a usar eso de la siguiente manera. Primero, a este logaritmo vamos a llamarle v, entonces v es igual a

00:31

Speaker A

logaritmo natural de x. Ahora bien, como el logaritmo natural y la función exponencial son funciones inversas, lo que podemos hacer aquí es despejar esta x pasando este logaritmo como exponencial al otro lado. Es decir, que ahora tenemos que la exponencial

00:50

Speaker A

dv es igual a x. Para entender este paso simplemente es como haber aplicado la función exponencial en ambos lados de la ecuación. Tendríamos que e a la v es igual a e elevado a logaritmo natural de x, pero como la función

01:05

Speaker A

exponencial y el logaritmo son inversas, eso significa que su composición nos da como resultado la propia x, o sea, e elevado a logaritmo de x es x, y también el logaritmo natural de e a la x es x. Eso es lo que significa que esas funciones

01:20

Speaker A

sean inversas, por eso es válido hacer esto de aquí. Bueno, y ahora lo que vamos a hacer aquí es derivar a ambos lados de esta ecuación respecto de x. Entonces derivamos respecto de x ambos lados de la ecuación, y aquí es donde vamos a usar

01:36

Speaker A

la fórmula que demostramos en el vídeo anterior. Esta fórmula de aquí: la derivada de e a la u es igual a e a la u por la derivada de u respecto de x. Así que nos queda lo siguiente del lado

01:49

Speaker A

izquierdo: nos queda e a la v por la derivada de v, igual a 1, porque recordemos que la derivada respecto de x de la propia x es 1. Fue una de las primeras fórmulas que demostramos, y ahora aquí podemos despejar v prima o

02:06

Speaker A

sea la derivada de v. Simplemente este e a la v lo pasamos dividiendo, y esto de aquí v con comilla es lo mismo que poner derivada respecto de x, dv, y aquí ya la v es x, es lo que teníamos

02:21

Speaker A

aquí arriba. Ya la v es x, así que en lugar de ponerlo como e a la v vamos a ponerlo como x porque nos interesa la fórmula en términos de x. Esta v fue una variable que nosotros introdujimos, pero

02:34

Speaker A

en la fórmula al final debemos dejarlo con x. Ahora finalmente aquí en lugar de escribir v escribimos logaritmo natural de x, y así obtenemos nuestra fórmula: la derivada del logaritmo natural de x es igual a 1 sobre x, y si usamos la regla

02:51

Speaker A

de la cadena podemos cambiar esta x de aquí por cualquier función v, v de x, y entonces obtenemos esta fórmula: la derivada del logaritmo natural de v, donde v es una función de x, es igual a 1 sobre v de x por

03:06

Speaker A

la derivada de v respecto de x. También, si hacemos aquí la multiplicación, podemos ponerlo como v prima sobre v. Bueno, en el siguiente vídeo vamos a calcular otra derivada, ahora para funciones exponenciales de cualquier base. Ya calculamos la derivada

03:25

Speaker A

de e a la x, pero ¿qué tal si tenemos una base distinta? Por ejemplo, si queremos derivar 2 elevado a x o 10 elevado a x. Bueno, para eso vamos a calcular otra fórmula que veremos en el siguiente vídeo, y esa fórmula se deduce

03:42

Speaker A

a partir de la propia fórmula de la derivada de e a la x. Así que los invito a que miren ese vídeo para que vean cómo es que se calcula esa fórmula. Si te gustó este vídeo, apóyame regalándome un

03:53

Speaker A

like, suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos. Y también quiero agradecer a todas las personas que me han apoyado a través de Patreon. Muchas gracias a todos por su gran apoyo.

Topics: derivada logaritmo natural función exponencial cálculo diferencial regla de la cadena Mate Fácil matemáticas funciones inversas derivadas de logaritmos tutorial matemático

Estudia este vídeo

- [Tarjetas de estudio de este vídeo](https://sozai.app/es/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=75747)
- [Cuestionario de este vídeo](https://sozai.app/es/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=75747)

Gratis, hecho por IA a partir de esta transcripción. Sin registro.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/demonstracion-derivada-logaritmo-natural/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/