**ДЧ18. Приклади. Формули Тейлора і Маклорена. — Transcript & Summary | SozAI**
Source: https://sozai.app/transcript/dch18-taylor-maclaurin-formulas-examples/

Відео розглядає приклади застосування формул Тейлора і Маклорена для розкладання функцій у степеневі ряди.

## Key Takeaways

- Формула Тейлора дозволяє розкладати функції у степеневі ряди в околі будь-якої точки.
- Формула Маклорена є частковим випадком формули Тейлора при центрі розкладу в нулі.
- Похідні функцій та їх значення в точці розкладу є ключовими для знаходження коефіцієнтів ряду.
- Залишковий член формули Тейлора дає оцінку похибки наближення функції рядом.
- Розкладання функцій, таких як експонента та синус, мають характерні закономірності, що спрощують обчислення.

## What the video covers

- Пояснення формули Тейлора на прикладі розкладання многочлена в околі точки X0 = -1.
- Обчислення похідних многочлена та їх значень у точці розкладання.
- Приклад розкладання натурального логарифма в околі точки X0 = 1 до четвертого степеня.
- Визначення залишкового члена формули Тейлора для оцінки похибки наближення.
- Введення формули Маклорена як часткового випадку формули Тейлора при X0 = 0.
- Розкладання експоненти за формулою Маклорена з поясненням рівності похідних.
- Розгляд розкладання функції sin(X) за формулою Маклорена з циклічним характером похідних.
- Виведення загальної формули для N-ної похідної sin(X) та її значень у нулі.
- Формулювання ряду Тейлора для sin(X) з непарними степенями та чергуванням знаків.
- Підкреслення важливості розуміння формул для подальшого вивчення математичного аналізу.

Answers

## Questions about this video

Що таке формула Тейлора і як вона використовується у відео?

Формула Тейлора — це спосіб розкладання функції у степеневий ряд в околі певної точки. У відео вона використовується для розкладання многочлена та логарифма в околах точок X0 = -1 та X0 = 1 відповідно.

Чим формула Маклорена відрізняється від формули Тейлора?

Формула Маклорена є частковим випадком формули Тейлора, коли точка розкладу X0 дорівнює нулю. Вона має спрощену форму і часто використовується для розкладання функцій у нулі.

Як оцінюється похибка при розкладанні функції за формулою Тейлора?

Похибка оцінюється за допомогою залишкового члена R\_N(X), який враховує частину функції, що не входить у скінченний степеневий ряд. У відео це підкреслено на прикладі розкладу логарифма.

## Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:14

Speaker A

Продовжуємо вивчення математичного аналізу. Сьогодні в нас приклади використання формули Тейлора для розкладання, розвинення функцій.

00:27

Speaker A

Формула Тейлора.

00:29

Speaker A

Почнемо з многочлена, нехай його треба розкласти по степенях X + 1.

00:38

Speaker A

Тобто представити у вигляді цей же самий многочлен у вигляді A0 + A1(X + 1) + A2(X + 1)² + A3(X + 1)³ і плюс.

00:56

Speaker A

І все, бо в нас третій степінь, більше нічого не буде.

01:00

Speaker A

Тобто нам треба знайти чотири коефіцієнти в такому представленні.

01:01

Speaker A

Причому ці коефіцієнти знаходяться з формули Тейлора.

01:06

Speaker A

Для використання формули Тейлора, до речі, вона буде в околі точки X0 = -1.

01:12

Speaker A

Якщо X0 = -1, X - X0 буде X + 1.

01:17

Speaker A

Саме -1.

01:18

Speaker A

Тобто формула Тейлора для X0 = -1.

01:21

Speaker A

Але похідні знаходити все одно треба.

01:23

Speaker A

Знаходимо похідні.

01:24

Speaker A

P'3(X) - це у нас буде похідна від нашого многочлена.

01:29

Speaker A

6X² - 6X + 5.

01:32

Speaker A

Друга похідна.

01:33

Speaker A

12X - 6.

01:35

Speaker A

Третя похідна.

01:36

Speaker A

Просто 12.

01:38

Speaker A

І все.

01:39

Speaker A

Бо подальші похідні нуль, і вони нас не цікавлять.

01:42

Speaker A

Нам потрібно до третьої похідної.

01:44

Speaker A

Але потрібні не самі похідні, а значення цих похідних в точці X0 = -1.

01:48

Speaker A

Підставляємо сюди значення -1.

01:50

Speaker A

Сама функція, тобто многочлен P3(-1).

01:52

Speaker A

Сюди, якщо підставити, будемо мати -2 - 3 - це -5, і тут -5, -10 + 1, -9.

01:57

Speaker A

Підставляємо в похідну -1.

01:58

Speaker A

P'3(-1).

02:00

Speaker A

Це у нас буде 6 + 6 і + 5.

02:03

Speaker A

Це у нас аж 17.

02:04

Speaker A

Друга похідна -1.

02:07

Speaker A

Тут буде -12 - 1.

02:09

Speaker A

Друга похідна у нас буде дорівнювати -18.

02:11

Speaker A

І третя похідна все одно 12.

02:13

Speaker A

В якій точці не бери, все одно буде 12, бо це константа.

02:16

Speaker A

От, ми знайшли всі похідні, їх значення в точці X0, можемо підставляти в формулу.

02:20

Speaker A

Ми маємо P3(X) буде дорівнювати.

02:22

Speaker A

Це у нас -9.

02:23

Speaker A

Похідна перша 17, ну, буде просто 17(X + 1).

02:26

Speaker A

X + 1.

02:27

Speaker A

Друга похідна -18.

02:28

Speaker A

Але поділене на 2, 2! - двієчка.

02:31

Speaker A

-18 / 2 - це буде -9(X + 1)².

02:34

Speaker A

Ну і нарешті, остання третя похідна.

02:35

Speaker A

12, але поділити треба на 3!.

02:38

Speaker A

3! - це 6.

02:39

Speaker A

12 / 6 буде 2.

02:41

Speaker A

+2(X + 1)³.

02:44

Speaker A

Ну, я відповідь написав трошки не так, більш, як то, звичніше, коли у нас старший степінь спереду.

02:50

Speaker A

Те ж саме, просто їх поміняти місцями: 2(X + 1)³ - 9(X + 1)² + 17(X + 1) - 9.

02:55

Speaker A

От ми представили наш многочлен, який був нам даний, розклали його по степенях X + 1.

03:00

Speaker A

По степенях X + 1.

03:02

Speaker A

Нехай тепер треба розкласти логарифм натуральний X в околі точки X0 = 1.

03:07

Speaker A

Отримавши до четвертого степеня.

03:10

Speaker A

Тобто, коли N = 4.

03:12

Speaker A

Для цього нам знадобиться знайти відповідні похідні.

03:15

Speaker A

З чого і починаємо.

03:16

Speaker A

F'(X) буде 1/X.

03:18

Speaker A

Друга похідна.

03:20

Speaker A

Будемо мати похідна від 1/X - це буде -1/X².

03:23

Speaker A

Третя похідна.

03:25

Speaker A

Третя похідна дає -2 степінь.

03:29

Speaker A

-2 на -1 дасть двійку, і -2 - 1 - це буде -3, X в -3 степені, тобто в кубі X.

03:33

Speaker A

F четверта похідна.

03:35

Speaker A

Похідна від третьої, тут X в -3 степені.

03:40

Speaker A

Тепер -3 на 2 дає мені -6, поділене тепер уже на X в четвертому степені.

03:44

Speaker A

Степені ще віднімається 1, від'ємна рухається.

03:46

Speaker A

Ну і все.

03:47

Speaker A

Нам чотири похідних треба.

03:48

Speaker A

Знаходимо значення цих похідних в околі, в зна- в точці одиниця.

03:52

Speaker A

F від одиниці, сама функція, дорівнює нулю.

03:55

Speaker A

Логарифм одиниці - нуль.

03:56

Speaker A

F' від одиниці, похідна від одиниці, буде дорівнювати одиниці.

03:59

Speaker A

Друга похідна.

04:01

Speaker A

Дасть нам -1.

04:03

Speaker A

Третя похідна.

04:05

Speaker A

Дає двійку.

04:07

Speaker A

І четверта похідна.

04:09

Speaker A

-6.

04:10

Speaker A

Підставляємо в формулу Тейлора.

04:11

Speaker A

Маємо логарифм X дорівнює.

04:13

Speaker A

Це у нас нуль.

04:14

Speaker A

Перша похідна дає одиницю, на 1! буде просто (X - 1).

04:17

Speaker A

X0 - одиниця.

04:18

Speaker A

Ну, я дужку поставлю.

04:19

Speaker A

Далі.

04:20

Speaker A

Друга похідна -1, -2!.

04:23

Speaker A

-1/2(X - 1)².

04:26

Speaker A

Третя похідна дає двійку.

04:28

Speaker A

Двійка, але поділити треба на 3! - це 6.

04:31

Speaker A

2 / 3 буде 1/3, і вона йде з плюсом.

04:34

Speaker A

+1/3(X - 1)³.

04:36

Speaker A

Четверта похідна -6.

04:38

Speaker A

Підставляємо, тут от стоїть четверта похідна, поділимо на 4!.

04:42

Speaker A

4! - це у нас 24.

04:46

Speaker A

-1/4(X - 1) в четвертому степені.

04:49

Speaker A

Але рівність я ставити не можу.

04:51

Speaker A

Тому що тут іще є хвіст.

04:53

Speaker A

Похибка.

04:54

Speaker A

Яку можна оформити залишковим членом R4(X).

04:58

Speaker A

Тепер рівність вірна.

04:59

Speaker A

Без залишкового члена це можна писати тільки наближено.

05:03

Speaker A

Наближено дорівнює цьому виразу.

05:06

Speaker A

У випадку, коли X0 = 0, формула Тейлора називається формулою Маклорена.

05:12

Speaker A

Це та ж сама формула, тільки X0 = 0.

05:15

Speaker A

І вона трошки простіше виглядає.

05:17

Speaker A

Розглянемо розведення деяких функцій за формулою Маклорена.

05:23

Speaker A

Експонента.

05:24

Speaker A

І легко розкладати, тому що всі похідні співпадають з E^X.

05:28

Speaker A

І так далі, скільки не бери, все одно і N-на похідна буде дорівнювати E^X.

05:34

Speaker A

І в нулі вони теж всі будуть однакові.

05:37

Speaker A

F(i) похідна в нулі буде дорівнювати одиниці.

05:40

Speaker A

Залишилось підставити ці одиниці в нашу формулу.

05:44

Speaker A

Отримаємо формулу Маклорена для E^X.

05:48

Speaker A

E^X буде дорівнювати.

05:50

Speaker A

Одиниця плюс.

05:52

Speaker A

Тут одиничка буде X.

05:55

Speaker A

Плюс одиничка на 2! X² / 2!.

05:58

Speaker A

Плюс X³ / 3! плюс і так далі, плюс X^N / N!.

06:02

Speaker A

Ну і плюс R\_N(X).

06:04

Speaker A

Дуже проста формула, за якою можна обчислити значення E^X в будь-якій точці X, ну, з певною похибкою.

06:11

Speaker A

Але чим більше ми будемо брати доданків, тим точніше буде наше наближення.

06:15

Speaker A

Це зрозуміло.

06:16

Speaker A

Більш тонко ми до цього питання підійдемо в наступних наших розділах математичного аналізу.

06:22

Speaker A

А на сьогодні варто запам'ятати цю формулу, як розкладення E^X.

06:26

Speaker A

Розглянемо ще розкладення функції sin(X) за формулою Маклорена.

06:30

Speaker A

Знаходимо похідні.

06:31

Speaker A

F'(X) - це у нас буде cos(X).

06:33

Speaker A

Друга похідна.

06:35

Speaker A

Дає нам похідна від косинуса -sin(X).

06:37

Speaker A

Третя похідна.

06:39

Speaker A

Похідна від синуса дає нам -cos(X).

06:41

Speaker A

І далі четверта похідна.

06:43

Speaker A

Знову повертає нас до синуса.

06:45

Speaker A

Зрозуміло, далі процес буде продовжуватись так циклічно через чотири.

06:48

Speaker A

Відповідні значення похідних в нулі.

06:50

Speaker A

F від нуля - це нуль.

06:52

Speaker A

F' від нуля.

06:54

Speaker A

Це одиниця.

06:55

Speaker A

F'' від нуля.

06:57

Speaker A

Знову нуль.

06:58

Speaker A

А третя похідна дає -1.

07:00

Speaker A

Четверта похідна.

07:02

Speaker A

Нуль.

07:03

Speaker A

Ну і так далі.

07:05

Speaker A

А як буде з N-ною похідною?

07:06

Speaker A

Подивимось, що буде з N-ною.

07:07

Speaker A

Ми виводили значення N-ної похідної sin(X).

07:11

Speaker A

І можна згадати, що це дорівнює sin(X + πN/2).

07:14

Speaker A

N-на похідна sin(X).

07:16

Speaker A

А чому буде дорівнювати значення N-ної похідної в нулі?

07:19

Speaker A

Ну от, по черзі це буде чи нуль, чи 1, чи -1.

07:22

Speaker A

Я напишу формулу.

07:23

Speaker A

F N-на похідна в нулі буде дорівнювати, ну, по-перше, нулю, якщо у нас N парне.

07:27

Speaker A

І повірте мені, це буде (-1)^K, якщо N = 2K + 1.

07:32

Speaker A

Неважко перевірити.

07:34

Speaker A

Якщо K = 0, N - одиничка.

07:37

Speaker A

Будемо мати одиницю.

07:38

Speaker A

Якщо K = 1, тут буде мінус.

07:41

Speaker A

K = 1 дасть нам третю похідну.

07:44

Speaker A

N = 3.

07:45

Speaker A

-1.

07:46

Speaker A

Ну і так далі.

07:47

Speaker A

Будуть чергуватись по чи через одну + -1 по непарних значеннях степеня N.

07:50

Speaker A

Тоді формула Тейлора буде містити тільки непарні степені.

07:53

Speaker A

Подивимось, як вона буде виглядати.

07:55

Speaker A

F(X) буде дорівнювати.

07:57

Speaker A

Починається з першого степеня.

08:00

Speaker A

Перший степінь.

08:02

Speaker A

І ми маємо одиницю.

08:04

Speaker A

Це буде просто X.

08:05

Speaker A

Далі третій степінь.

08:07

Speaker A

Тут буде мінус, вони чергуються + -.

08:09

Speaker A

Мінус, але поділити треба буде X³ / 3!.

08:11

Speaker A

X³ / 3!.

08:13

Speaker A

Точно так буде X в п'ятому степені на 5!.

08:16

Speaker A

Плюс і так далі, плюс.

08:18

Speaker A

Загальний член.

08:19

Speaker A

По-перше, він буде непарним.

08:22

Speaker A

От він, нехай містить, от, це буде (-1)^K, далі відповідний факторіал буде відповідати N.

08:28

Speaker A

(2K + 1)! і помножене на степінь, відповідаючи цьому N.

08:31

Speaker A

X в степені 2K + 1.

08:33

Speaker A

Отак.

08:34

Speaker A

Це N-ний.

08:35

Speaker A

Член формули Тейлора.

08:37

Speaker A

І плюс R(2K + 1)(X).

08:40

Speaker A

Залишковий член.

08:41

Speaker A

Можна писати R\_N, але N у нас тут 2K + 1, може так і буде.

08:44

Speaker A

Формула наближення синуса.

08:47

Speaker A

Це у нас синус, можна написати, щоб запам'ятати цю формулу.

08:50

Speaker A

Sin(X).

08:52

Speaker A

Представлення за формулою Маклорена.

08:55

Speaker A

На сьогодні достатньо.

08:57

Speaker A

Залишайтесь на нашому каналі.

08:59

Speaker A

Далі буде.

09:00

Speaker A

Я з вами, Олексій Василенко.

09:02

Speaker A

До побачення.

Topics: формула Тейлора формула Маклорена математичний аналіз розкладання функцій похідні натуральний логарифм експонента синус ряд Тейлора похибка наближення

Вчити це відео

- [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15945)
- [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15945)

Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації.


---
This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/dch18-taylor-maclaurin-formulas-examples/ — the same content, without the markup.
Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back.
Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/