**ДЧ09. Диференціал функції та його геометричний зміст. — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/dch09-differential-function-geometric-meaning/ Відео пояснює поняття диференціалу функції, його властивості та геометричний зміст на прикладах. ## Key Takeaways - Диференціал функції – це лінійна частина приросту, що визначається похідною. - Диференційованість функції в точці еквівалентна існуванню похідної в цій точці. - Диференціал можна використовувати для наближених обчислень приросту функції. - Геометрично диференціал відповідає приросту дотичної лінії до графіка функції. - Існують прості правила для обчислення диференціалів суми, добутку та частки функцій. ## What the video covers - Визначення диференційованості функції через розклад приросту функції на диференціал і малу додаткову частину. - Диференціал – це головна лінійна частина приросту функції, що пропорційна приросту аргументу. - Диференційована функція є неперервною в точці диференціювання. - Якщо функція диференційована, то вона має похідну в цій точці, і навпаки. - Формула диференціалу записується як dy = f'(x) \* dx. - Правила обчислення диференціалів для суми, добутку та частки функцій. - Геометричний зміст диференціалу – приріст дотичної до графіка функції в точці. - Дотична розбиває приріст функції на диференціал і малу додаткову частину, що прямує до нуля швидше. - Пояснення через границі та нескінченно малі величини для формального обґрунтування. - Заклик до підписки та підтримки каналу наприкінці відео. Answers ## Questions about this video Що таке диференціал функції? Диференціал функції – це лінійна частина приросту функції, яка пропорційна приросту аргументу і визначається похідною в точці. Який зв’язок між диференціалом і похідною функції? Диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на приріст аргументу, тобто dy = f'(x) \* dx. Чи є диференційована функція неперервною? Так, диференційована функція обов’язково є неперервною в точці диференціювання, оскільки приріст функції розкладається на диференціал і нескінченно малу частину. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:14 Speaker Олексій Василенко Я Олексій Василенко, ми з вами продовжуємо вивчати математичний аналіз. 00:20 Speaker Олексій Василенко Диференційне числення, оскільки диференційне, сьогодні у нас диференціал функції. 00:28 Speaker Олексій Василенко Почнемо зразу з означення диференційовності функції. 00:33 Speaker Олексій Василенко Функція y = f(x) називається диференційованою в точці x0, якщо її приріст Δy представимий у вигляді A \* Δx + α(Δx). 01:00 Speaker Олексій Василенко Де A — величина, яка не залежить від Δx, константа відносно Δx, тобто A \* Δx — це лінійна функція, це коефіцієнт при Δx. 01:56 Speaker Олексій Василенко А α(Δx) — нескінченно мала порядку малості більш високого порівняно з Δx, це означає, що границя, коли Δx прямує до нуля, α(Δx) / Δx буде дорівнювати нулю. 02:23 Speaker Олексій Василенко В чисельнику величина порядку малості більшого, ніж знаменник. 02:37 Speaker Олексій Василенко Так от, наш приріст функції розпався на дві частини. 02:49 Speaker Олексій Василенко Причому ця частина більш вагома, тому що це, ну, малявочка така, вона прямує до нуля дуже швидко. 03:16 Speaker Олексій Василенко А весь приріст в основному міститься тут, це називається головна частина, і вона саме і називається диференціалом. 03:37 Speaker Олексій Василенко Диференціалом називається головна лінійна відносно Δx частина приросту функції. 03:41 Speaker Олексій Василенко Це і є диференціал. 03:48 Speaker Олексій Василенко І функція диференційована, коли її приріст можна розкласти на дві такі частини: диференціал плюс якась малявка. 03:59 Speaker Олексій Василенко Як видно, ми ще можемо написати диференціал наближено дорівнює приросту, коли Δx достатньо мале. 04:17 Speaker Олексій Василенко Цим і користуються іноді для використання диференціала в наближених обчисленнях. 04:50 Speaker Олексій Василенко Тепер поговоримо про властивості диференційованих функцій. 05:03 Speaker Олексій Василенко Спочатку відмітимо, що диференційована функція обов'язково буде неперервною, бо якщо функція диференційована, її приріст представимий у такому вигляді, то коли Δx прямує до нуля, очевидно, і головна частина, тобто диференціал, буде прямувати до нуля, і тим більше α(Δx), частина, яка порядку малості більш високого, навіть ніж Δx, теж буде прямувати до нуля. 05:41 Speaker Олексій Василенко Δy 05:46 Speaker Олексій Василенко І функція неперервна. 05:55 Speaker Олексій Василенко Більше того, ми зараз покажемо, що якщо функція диференційована, 06:01 Speaker Олексій Василенко то вона має похідну в тій точці, в якій вона диференційована. 06:10 Speaker Олексій Василенко Для цього розглянемо відношення приросту функції до приросту аргумента Δy / Δx. 06:20 Speaker Олексій Василенко Δy за умовою представимий у вигляді суми, тоді границя цього дробу буде розпадатись на дві границі. 06:40 Speaker Олексій Василенко Границя Δx прямує до нуля A \* Δx / Δx + границя Δx прямує до нуля α(Δx) / Δx. 07:10 Speaker Олексій Василенко За означенням диференційованості A не залежить від Δx, тобто A можна винести за границю. 07:30 Speaker Олексій Василенко У нас залишиться одиниця, оскільки Δx скорочується. 07:38 Speaker Олексій Василенко А друга границя дорівнює нулю, знову-таки за означенням диференційованості. 07:50 Speaker Олексій Василенко Оскільки α(Δx) має порядок малості більший порівняно з Δx + 0. 08:00 Speaker Олексій Василенко І це буде просто A, так це ж і є якраз похідна в точці x0. 08:09 Speaker Олексій Василенко Виявляється, якщо функція диференційована в точці x0, то вона має в цій точці похідну. 08:30 Speaker Олексій Василенко Причому ця похідна дорівнює множником перед Δx в головній частині, в диференціалі. 08:42 Speaker Олексій Василенко І ми можемо написати диференціал буде дорівнювати f'(x0) \* Δx. 08:52 Speaker Олексій Василенко Якщо не фіксувати x0, маючи на увазі будь-яку точку, як це зручно. 09:10 Speaker Олексій Василенко Ми можемо записати Δx позначають через dx. 09:20 Speaker Олексій Василенко І тоді маємо формулу, якою, звичайно, користуються при обчисленні диференціалів. 09:30 Speaker Олексій Василенко Так виглядає диференціал. 09:35 Speaker Олексій Василенко Ця формула має трошки більше змісту, в подальшому ми про це будемо говорити. 09:50 Speaker Олексій Василенко А поки що ми з'ясували, що диференціал є добуток похідної на dx. 10:00 Speaker Олексій Василенко І якщо функція диференційована, то вона обов'язково має похідну в цій точці. 10:10 Speaker Олексій Василенко До речі, можна показати, що й навпаки. 10:15 Speaker Олексій Василенко Якщо функція має похідну в якійсь точці, то вона буде диференційована в цій точці. 10:25 Speaker Олексій Василенко Давайте це покажемо. 10:33 Speaker Олексій Василенко Так от, нехай функція y = f(x) має похідну в точці x0. 10:40 Speaker Олексій Василенко Покажемо, що вона диференційована. 10:45 Speaker Олексій Василенко Тобто її приріст представимий у такому вигляді. 10:50 Speaker Олексій Василенко Має похідну, це означає, що існує скінченна границя Δx прямує до нуля. 11:00 Speaker Олексій Василенко Відношення Δy / Δx — це і є значення функції похідної в точці x0. 11:10 Speaker Олексій Василенко Існує така границя. 11:12 Speaker Олексій Василенко Розглянемо різницю. 11:15 Speaker Олексій Василенко Δy / Δx - f'(x0). 11:20 Speaker Олексій Василенко І я візьму границю Δx прямує до нуля. 11:25 Speaker Олексій Василенко Цієї різниці. 11:30 Speaker Олексій Василенко Очевидно, що ця границя дорівнює нулю, тому що f(x0) константа, це буде нуль. 11:40 Speaker Олексій Василенко Таким чином, ця різниця є нескінченно мала. 11:50 Speaker Олексій Василенко Я її позначу якимось ε(Δx), нескінченно мала при Δx прямуючому до нуля. 12:00 Speaker Олексій Василенко Залишилось помножити обидві частини на Δx. 12:10 Speaker Олексій Василенко Будемо мати Δy = f'(x0) \* Δx + ε(Δx) \* Δx. 12:20 Speaker Олексій Василенко Якщо позначити останній доданок через α(Δx). 12:30 Speaker Олексій Василенко Ми отримаємо, що цей доданок буде нескінченно малою порядку малості більш високого порівняно з Δx. 12:40 Speaker Олексій Василенко Тому що границя відношення α(Δx) / Δx в даному випадку буде просто ε(Δx), яке прямує до нуля. 12:50 Speaker Олексій Василенко Ми маємо означення диференційованості функції. 13:00 Speaker Олексій Василенко Якщо функція має похідну в якійсь точці, то вона й диференційована. 13:10 Speaker Олексій Василенко Таким чином, об'єднавши ці два твердження, приходимо до теореми. 13:20 Speaker Олексій Василенко Яка стверджує, що для того, щоб функція була диференційована в якійсь точці, 13:30 Speaker Олексій Василенко необхідно і достатньо, щоб вона мала похідну в цій точці. 13:40 Speaker Олексій Василенко Виходячи з отриманого співвідношення dy = f'(x) \* dx. 13:50 Speaker Олексій Василенко Ми можемо отримати деякі правила обчислення диференціалів. 14:00 Speaker Олексій Василенко Наприклад, диференціал суми u + v. 14:10 Speaker Олексій Василенко Це у нас буде за означенням (u + v)' \* dx. 14:20 Speaker Олексій Василенко Але похідна суми є сума похідних. 14:30 Speaker Олексій Василенко Таким чином, будемо мати u'dx + v'dx і є du + dv. 14:40 Speaker Олексій Василенко Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів. 14:45 Speaker Олексій Василенко Точно так отримуються диференціал добутку u \* v. 14:55 Speaker Олексій Василенко Це є du \* v + u \* dv. 15:05 Speaker Олексій Василенко І диференціал частки u / v. 15:15 Speaker Олексій Василенко Якщо вона в нас буде du \* v - u \* dv / v^2. 15:25 Speaker Олексій Василенко Ті ж самі формули отримуються через аналогічні формули для похідних. 15:30 Speaker Олексій Василенко Розглянемо геометричний зміст диференціалу. 15:35 Speaker Олексій Василенко Нехай задана функція f(x). 15:40 Speaker Олексій Василенко Зафіксуємо точку x0, значення функції f(x0) і дамо аргументу приріст Δx. 15:50 Speaker Олексій Василенко Отримаємо відповідний приріст функції. 15:55 Speaker Олексій Василенко Щоб на графіку отримати диференціал, ми скористаємось тим, що диференціал пов'язаний з похідною. 16:05 Speaker Олексій Василенко А геометричний зміст похідної є дотична, точніше, тангенс кута нахилу дотичної. 16:15 Speaker Олексій Василенко Проводимо дотичну. 16:20 Speaker Олексій Василенко І бачимо, що дотична до графіка функції в точці x0 розбиває відрізок приросту функції Δy на дві частини. 16:30 Speaker Олексій Василенко Червону і зелену. 16:35 Speaker Олексій Василенко Саме червона частина є диференціал. 16:45 Speaker Олексій Василенко Тому що, якщо ми Δx помножимо на тангенс кута нахилу, в даному випадку тангенс φ. 16:55 Speaker Олексій Василенко Ми отримаємо саме інший катет, протилежний куту φ. 17:05 Speaker Олексій Василенко Таким чином, на малюнку червоний відрізок — це саме є диференціал. 17:15 Speaker Олексій Василенко Зелений відрізок — це наше α(Δx), яке прямує до нуля дуже швидко. 17:25 Speaker Олексій Василенко Якщо ми будемо зменшувати Δx, видно, як графік підлизується до дотичної. 17:35 Speaker Олексій Василенко Зникає дуже швидко. 17:37 Speaker Олексій Василенко Так от, можна сказати, що геометричний зміст диференціалу — це приріст дотичної до графіка функції в точці x0. 17:47 Speaker Олексій Василенко Який відповідає приросту незалежного аргументу Δx. 17:57 Speaker Олексій Василенко В цьому є геометричний зміст диференціалу. 18:00 Speaker Олексій Василенко На цьому можемо вважати, що заняття наше закінчено. 18:05 Speaker Олексій Василенко Залишайтесь на нашому каналі, ставте лайки, підписуйтесь. 18:10 Speaker Олексій Василенко Будьте з нами, а я з вами, Олексій Василенко. 18:15 Speaker Олексій Василенко До побачення. Topics: диференціал функції диференційованість похідна математичний аналіз геометричний зміст диференціалу правила диференціювання нескінченно малі величини наближені обчислення диференціал суми диференціал добутку Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/ai-flashcard-generator/?from=transcript&id=15778) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=15778) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/dch09-differential-function-geometric-meaning/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/