**КЧФ01. Дії з комплексними числами. — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/complex-numbers-operations/ Відео пояснює основи комплексних чисел та арифметичні дії над ними, включно з додаванням, множенням і діленням. ## Key Takeaways - Комплексні числа складаються з дійсної та уявної частин і розширюють множину дійсних чисел. - Уявна одиниця i визначається як корінь квадратний з -1, i² = -1. - Додавання і множення комплексних чисел виконується за правилами алгебри з урахуванням i² = -1. - Для ділення комплексних чисел використовують комплексно спряжене число, щоб отримати дійсний знаменник. - Комплексно спряжені числа мають однакову дійсну частину, а уявна частина відрізняється знаком. ## What the video covers - Визначення комплексного числа через уявну одиницю i, де i² = -1. - Пояснення алгебраїчної форми комплексного числа Z = a + bi, де a і b – дійсні числа. - Опис множини комплексних чисел як розширення множини дійсних чисел. - Правила додавання комплексних чисел шляхом додавання дійсних і уявних частин. - Множення комплексного числа на дійсне число та на інше комплексне число з розкриттям дужок. - Виведення формули множення двох комплексних чисел у загальному вигляді. - Вступ до ділення комплексних чисел та використання комплексно спряжених чисел для спрощення. - Визначення комплексно спряженого числа і його властивості. - Приклади застосування комплексно спряжених чисел для обчислення суми, добутку і частки комплексних чисел. - Оголошення подальших тем: тригонометрична та показникова форми комплексних чисел. ## Chapters 1. 00:00 Вступ та визначення комплексного числа 2. 01:51 Властивості уявної одиниці та множення 3. 03:38 Алгебраїчна форма комплексного числа 4. 05:30 Додавання комплексних чисел 5. 07:25 Множення на дійсне та комплексне число 6. 09:21 Формула множення комплексних чисел 7. 10:53 Ділення комплексних чисел 8. 12:26 Комплексно спряжене число та його застосування 9. 14:13 Приклад ділення з використанням спряженого числа 10. 16:13 Підсумки та анонс наступних тем Answers ## Questions about this video Що таке уявна одиниця і як вона визначається? Уявна одиниця i визначається як корінь квадратний з -1, тобто i² = -1. Вона є основою для побудови комплексних чисел. Як додавати два комплексні числа? Для додавання комплексних чисел потрібно додати їх дійсні частини та уявні частини окремо, отримуючи нове комплексне число. Для чого потрібне комплексно спряжене число? Комплексно спряжене число використовують для спрощення ділення комплексних чисел, множачи чисельник і знаменник на спряжене знаменника, щоб отримати дійсний знаменник. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:12 Speaker A Вітаю вас, шановні студенти! Я Олексій Василенко. Комплексні числа. Сьогодні дії над комплексними числами, арифметичні дії над комплексними числами. Почнемо з самого початку: що таке комплексне число? Комплексні числа тримаються на уявній одиниці, саме вона лежить в основі цієї теорії. Що таке уявна одиниця? Це корінь з 00:38 Speaker A мінус одиниці, √-1, позначається символом і. Іноді кажуть, що і визначається рівнянням і² = -1. Ну, з одного боку, це так, тому що в квадраті і дасть підкореневий вираз, тобто мінус одиницю, але з іншого боку, це буде виходити, що і буде розв'язком 00:58 Speaker A рівняння і² = -1. Але таке рівняння має два корені: 1, 2 дорівнює плюс-мінус корінь з мінус одиниці. Так от, через і позначається саме арифметичне значення. Це я хотів підкреслити, що х в даному випадку береться арифметичне значення кореня з 01:26 Speaker A плюсом, і тоді і — це буде корінь мінус одиниці. Отже, маємо і² = -1, два кореня такого квадратного рівняння. До речі, якщо це рівняння записати у вигляді і² + 1 = 0, ну це те ж саме. Виявляється, 01:51 Speaker A ми можемо розкласти на множники оцей квадратний тричлен, бо ми маємо два корені цього двочлена. На квадратного я його можу записати як добуток (і - і)(і + і). Якщо їх перемножити, дійсно, тут же перед нами різниця квадратів. Це дійсно буде дорівнювати 02:14 Speaker A і² - і², а і² — це мінус одиниця. І маємо і² + 1 — уявну одиницю ми ввели. Тепер спробуємо помножити нашу уявну одиницю на якесь дійсне число b. Я візьму дійсне число b і помножу на і, буде b 02:41 Speaker A це уявне число. Пробігаючи множину всіх дійсних чисел, b буде пробігати множину уявних чисел. Якщо об'єднати тепер уявні числа з дійсними числами, я візьму ще одне число а з множини дійсних чисел і запишу а + b. Так от, множина всіх таких чисел і 03:10 Speaker A складає множину комплексних чисел. Це і є комплексне число, традиційно позначається літерою Z. Я так і позначив. Комплексне число складається з дійсного числа і уявного числа. А і B — дійсні числа, і вони мають спеціальні назви. А називається дійсною частиною і 03:38 Speaker A позначається RZ (Real Part of Z). B — уявна частина, саме B, а не b, і b є уявна частина. Дійсне число imin па ім. Отже, якщо а і b пробігають множини дійсних чисел, ми отримаємо множину комплексних чисел, яка 04:12 Speaker A позначається літерою С. Множина комплексних чисел у нас з'явилась — нова числова множина С. Виявляється, вона містить собі всі наші відомі попередні числові множини: натуральні, раціональні числа і навіть дійсні числа. Тобто множина дійсних чисел міститься як підмножина в множині С серед комплексних 04:41 Speaker A чисел. Усіх є всі дійсні числа, якщо уявна частина дорівнює нулю, тобто якщо b дорівнює 0, ми будемо отримувати просто дійсні числа. Дійсна частина буде дійсним числом. Отаке включення має місце. Під числимо, що таке така форма запису комплексного числа, називається 05:06 Speaker A алгебраїчною формою запису. Крім алгебраїчної форми існують і інші форми: тригонометрична, показникова. Про них ми будемо говорити в наступних наших зустрічах. А сьогодні переходимо до дій над комплексними числами в алгебраїчній формі. Починаємо з додавання. Ми маємо два комплексних числа. 05:30 Speaker A Ну от, перше число. Ну можна написати, що, до речі, варто відмітити, що тут дійсна частина Z1 буде дорівнювати трьом, а уявна частина (imaginary Z1) буде дорівнювати двом. Точно так, тут дійсна частина 5, а уявна частина мінус одиниця. Це з приводу термінології, як 05:56 Speaker A ці числа називаються. Але перед нами задача додати ці два числа. Ну це все дуже просто: ми просто додаємо дві дійсні частини і додаємо дві уявні частини, і отримаємо нове число зі своїми дійсною і уявною частиною. 3 + 2і плюс 5 - і додаємо дійсні частини, 06:22 Speaker A отримаємо 8, додаємо уявні частини, отримаємо одиницю. 8 + і — це і є сума цих двох комплексних чисел. Не набагато складніше помножити комплексне число на якесь дійсне число. Ну скажімо, треба подвоїти Z1 — 2Z1 або навіть помножити на 06:54 Speaker A -3Z2. Дії відбуваються таким же самим чином, якщо це дійсні коефіцієнти. Ми маємо 2 помножити — це буде 2 \* 3 + 2і, -3 (5 - і). Розкриваємо дужки, зводимо дійсну і уявну частину і будемо мати 6 - 15, маємо 07:25 Speaker A -9 + 4 + 3 + 7і — лінійна комбінація з дійсними коефіцієнтами х двох комплексних чисел. А якщо множити не на дійсне число, а на комплексне? У нас же дії з комплексними числами тут трошки складніше, але набагато, тому що знову 07:53 Speaker A такі правила розкриття дужок тут працюють. Перемножимо наші два комплексні числа Z1 на Z2, просто дужками записую 3 + 2і, 5 - і. Розкриваємо дужки, маємо 15 - 3і + 10і і - 2і². Дорівнює. Тепер згадуємо, що і² — це 08:32 Speaker A мінус одиниця. Отже, насправді тут стоїть не -2і², а просто +2, бо це мінус одиниця, дійсне число. Дійсне число приєднаємо до дійсної частини і отримаємо 17 + 7і. А тут ми привели подібні відносно і і маємо комплексне число, яке є добутком 08:59 Speaker A цих двох комплексних чисел. А давайте спробуємо отримати формулу для множення двох комплексних чисел. От нехай вона в загальному вигляді: треба перемножити а + b на с + d. Отакі два комплексні числа. Ну перемножуємо, розкриваємо дужки, як ми тільки що робили: а на с, а на d — 09:21 Speaker A це дійсне число, а іще дійсне число. В нас виходить, коли ми множимо b на d і, тут буде b d, тому що і² дасть нам мінус одиницю, це й буде наше дійсна частина цього добутку. А уявна частина складається з множників, коли ми а 09:43 Speaker A множимо на d, а b на с, плюс bc + ad на і. Формула для знаходження добутку двох комплексних чисел в загальному вигляді. В принципі, можна цю формулу запам'ятовувати, але сенсу немає. Простіше просто розкрити дужки і згадати, що і² дорівнює -1. Так звичайно і 10:07 Speaker A робиться. Нам залишилось розібрати ділення з операцій над комплексними числами. Ділення трошки складніше, ніж ці дві попередні операції. Перш ніж ми до нього перейдемо, поставте, будь ласка, вподобайчик цьому відео, підпишіться на канал, якщо ви ще на нього не підписані. 10:26 Speaker A Тут багато цікавих і корисних у нас відео. Запросіть друзів до цього каналу або навіть допоможіть йому за посиланням, яке знаходиться під цим відео. Ну а ми продовжуємо. Отже, спробуємо розділити ці два числа, тобто Z1 на Z2: 3 + 2і по 5 10:53 Speaker A - і. Розділити, отримати при цьому комплексне число, тобто ми повинні отримати число у вигляді x + yі, x, y — якраз ті числа, дійсну і уявну частину, які треба знайти, і тоді це буде результат ділення. Ну як можна? Можна розглянути оцю рівність як рівняння 11:17 Speaker A відносно y, привести до спільного знаменника, отримати два рівняння відносно дійсної і уявної частини, звідти знайти y. Ми цим шляхом не підемо, є більш красивий шлях, яким звичайно і користуються. Крім того, ми ще розберемо дуже корисне поняття — спряжене число, 11:38 Speaker A комплексно спряжене число. Отже, спряжені числа — це як якщо ми маємо число Z = а + bі, спряженим до нього або комплексно спряженим називається число Z з різкою зверху, позначається а - bі. Тобто це число має ту ж саму дійсну частину, а уявна відрізняється знаком. Ці 12:08 Speaker A два числа називаються спряженими, причому вони взаємно спряжені, тому що якщо взяти спряжене до спряженого, очевидно, нам доведеться поміняти знак у уявній частині, і ми отримаємо цей плюс. Це буде саме те число, до якого ми приходили. Тобто це взаємно 12:26 Speaker A комплексно спряжені числа. Як з них користь? Дуже велика користь, якщо ми захочемо додати число і спряжене до нього. Що в нас вийде? У нас вийде а + bі + а - bі, і виходить 2а, і це дійсне число. Сума двох комплексних, але 12:51 Speaker A спряжених чисел дають суму дійсне число а. Спробуємо знайти добуток Z на Z з різкою: на Z спряжена а + bі, а - bі — різниця квадратів а² - b². А що таке b²? b² — це ж мінус одиниця, мінус стає плюсом, і маємо а² + 13:21 Speaker A b². Знову дійсне число, більше того, воно не просто дійсне, воно ще й додатнє. Дуже важливий момент. а² + b² пов'язаний з цими числами, ми до цього ще повернемось. А зараз скористаємося спряженими числами і от цією властивістю для отримання частки двох чисел. 13:47 Speaker A Обчислюємо (3 + 2і) / (5 - і). Що я зроблю? Я чисельник і знаменник помножу на спряжене до знаменника, навіщо? Щоб отримати в знаменнику дійсне число. 3 + 2і, спряжена до 5 - і буде у нас 5 + і, 14:13 Speaker A 5 + і. О чисельник і знаменник я помножив на спряжене до знаменника. Тепер чисельник просто перемножую. Ми вміємо множити дві дужки. Це ми будемо мати 15 + 3і + 10і і - 2. А в знаменнику різниця квадратів а² + b². Можна це зразу писати: 25 + 1, 14:49 Speaker A тут b = 1, плюс одиниця. Спрощуємо чисельник, маємо 15 - 2 = 13 + 13і. Здорово, виходить 255 + 1. [музика] 26. Отак взяв два випадкові числа, так красиво вийшло. Хотілося... 15:18 Speaker A частина 13/26 1/2 І тут 13і на 26 виходить + 1/2і Ми отримали наше число у формі дійсна частина уявна частина це якраз і є наше Z1 на Z2 комплексне число ну дехто може написати красивіше 1 + i / 2 але я не 15:49 Speaker A впевнений що це красивіше тому що важливо мати на увазі дійсну частину і уявну тут вони явно виділені Ну в принципі це це вже не справа смаку ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі найперше використання комплексних чисел - це можливість 16:13 Speaker A розв'язувати квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом давайте подивимося як це буде виглядати нехай маємо таке квадратне рівняння Ну як звичайно обчислюємо дискримінант 4 мінус 4 20 = -16 від'ємний дискримінант Ну ми до цього і йшли тоді корінь з дискримінанта в нас 16:42 Speaker A буде √-16 як це я можу розписати -16 як √16 \* √ -1 А Це тепер √16 - Це 4 з міну одини Це просто і Отже корінь D у нас 4і Ну і використовуючи звичайну формулу коренів квадратного рівняння 1 2 17:14 Speaker A дорівнює 2 п міну корінь з дискримінанта 4і і поділене на 2 ділим почленно 1 п мі 2і ми отримали два корені перший коріньх1 - це 1 + 2і другий коріньх2 - це 1 [музика] -2і комплексні корені квадратного рівняння з від'ємним дискримінантом 17:44 Speaker A звернемо увагу що вони є комплексно спряженими так завжди якщо коефіцієнти квадратного рівняння числа дійсні корені його завжди будуть комплексно спряженими Може колись ми це докажемо в загальному вигляді перш ніж закінчити сьогоднішнє заняття я хочу звернутись ще до геометричного змісту комплексних чисел 18:11 Speaker A ми вже казали що множина комплексних чисел містить собі множину дійсних чисел дійсні числа відповідають числовій прямій всі дійсні числа розміщуються на числовій прямій взаємно однозначно А як з комплексними числами а комплексне число містить дві складові дійсну уявну частину кожна з 18:37 Speaker A них є дійсним числом Отже ми маємо якби дві множини дійсних чисел якщо ми їх розташуємо у вигляді декартової системи координат на вісі абсцис ми розмістимо дійсні частини на всі ординат уявні частини комплексного числа то кожне число комплексне буде відбиватися своїми значеннями 19:08 Speaker A дійсна частина і уявна частина це а + b отак ця точка якраз і відповідає комплексному числу а + b Ну давайте подивимося на наші числа 3 + 2і Як це Ну я тут зроблю якийсь такий масштабчик 3 2 19:30 Speaker A і оце в мене буде Z1 число 3 дійсна частинад уявна частина Ми отримали Z1 Ось ця точка А де буде точка 2 Z1 якщо мені треба знайти 2z1 на цій площині До речі ми отримали комплексну площину площина комплексних 19:55 Speaker A чисел якщо кажуть про дійсну пряму то тут кажуть про комплексну площину 2z1 це як ну треба подвоїти координати 6 4 маємо точку 2 Z1 А де буде точка скажімо -z1 це як -z1 ну треба взяти протилежні обидві координати 20:24 Speaker A -3 - Z1 має дійсну части -3 -2і Отже ця точка буде -3 -2і -3 -2 о це в мене -z1 і ще спробуємо найти спряжене до Z1 спряжене до Z1 спряжене до Z1 в мене буде Як це В 20:55 Speaker A мене 3 міну 2 2 і спряжено до Z1 три подійсні вісі Z1 -2 Z1 спряжене звернемо увагу що число і спряжене розташовані симетрично відносно дійсної вісі це завжди так комплексно спряжені числа симетричні відносно дійсної вісі Ну от мабуть про геомет сенс Ну ще 21:29 Speaker A додам що крім точки комплексне число можна відображати вектором радіус вектором цієї точки досить важливий момент в подальшому ми будемо користуватись цими векторами зараз я просто відмічу що якщо треба зробити якісь дії над комплексними числами ці дії от Вектор R я його 21:53 Speaker A позначу Вектор R буде мати координати в даному випадку кут 3 2 Якби я тепер ще намалював Вектор який відповідає нашому іншому числу R2 це буде R1 R2 у нас число буде 5 -1 де це в нас 5 -1 ось це число і відповідний 22:16 Speaker A Вектор я Куди клоню що сума цих двох чисел Є сума цих Вектор адже Вектор ми точно так додаємо по координатно як і комплексні числа сумарний Вектор буде мати R1 + R2 буде мати координати ві одиниця ми вже це знаємо ми вже цю дію 22:38 Speaker A робили 8 одиниц це десь тут якщо скористатись правилом паралелограма Ми отримаємо відповідний Вектор що відповідає сумі цих двох комплексних чисел на жаль з множенням дещо складніше до цього питання ми повернемося в наступному нашому відео яке буде присвячено тригонометричній формі А на 23:06 Speaker A сьогодні мабуть все залишайтесь на каналі не забудьте поставити подобаєчок підпишіться на нього якщо ще не підписані і дякую за увагу до зустрічей буду з вами Олексій Василенко Topics: комплексні числа уявна одиниця додавання комплексних чисел множення комплексних чисел ділення комплексних чисел комплексно спряжене число алгебраїчна форма Олексій Василенко математика арифметичні дії --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/complex-numbers-operations/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/