**Лекция 1. А.В. Фонарёв. Алгебраическая геометрия I 1/2 — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/algebraic-geometry-lecture-1-fonarev/ Вводная лекция по курсу алгебраической геометрии, охватывающая основы, определения и ключевые свойства. ## Key Takeaways - Алгебраическая геометрия изучает геометрические объекты через коммутативную алгебру. - Множества решений полиномиальных систем зависят от выбранного поля, что существенно влияет на геометрию. - Курс объединяет традиционные части алгебраической геометрии 1 и 2, включая язык схем и гомологии. - Для успешного освоения курса важно иметь базовое понимание коммутативной алгебры и активно решать задачи. - Основные свойства множеств решений систем уравнений выражаются через операции над идеалами в кольце многочленов. ## What the video covers - Курс «Алгебраическая геометрия 1,2» объединяет традиционные части курса 1 и 2, включая язык схем и теорию гомологий. - Обсуждается структура курса, формат оценивания и требования к подготовке слушателей. - Вводятся основные понятия алгебраической геометрии, такие как аффинное пространство и кольцо многочленов. - Рассматривается множество решений систем полиномиальных уравнений и зависимость этих множеств от выбора поля. - Приводятся примеры множеств решений, включая параболу и пустое множество на поле вещественных чисел. - Объясняются базовые свойства множеств решений, такие как пересечение и объединение систем уравнений. - Поясняется важность алгебраически замкнутого поля для изучения алгебраической геометрии. - Обсуждается связь между системами уравнений и идеалами в кольце многочленов. - Лектор подчеркивает необходимость самостоятельной работы с задачами для лучшего усвоения материала. - Лекция носит вводный характер и закладывает фундамент для дальнейшего изучения более сложных тем. ## Chapters 1. 00:00 Введение и структура курса 2. 05:01 Основные определения: аффинное пространство и многочлены 3. 10:57 Множества решений систем уравнений и примеры 4. 17:39 Свойства множеств решений и операции над системами уравнений 5. 25:04 Топология и идеалы, задающие множества 6. 30:22 Связь между идеалами и геометрическими объектами 7. 36:13 Максимальные идеалы и их свойства 8. 42:04 Продвинутые темы и подготовка к дальнейшему изучению Answers ## Questions about this video Как оценивается этот курс по алгебраической геометрии? Оценивание курса происходит только по итогам экзамена, посещаемость и домашние задания не оцениваются, но задачи помогают подготовиться. Какие знания нужны для успешного прохождения курса? Рекомендуется базовое понимание языка коммутативной алгебры, однако продвинутые темы будут изучаться по ходу курса. Почему важно рассматривать поле алгебраически замкнутым? Алгебраически замкнутое поле позволяет единообразно изучать множества решений полиномиальных уравнений, что является ключевым для алгебраической геометрии. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:00 Speaker A Значит, курс называется «Алгебраическая геометрия 1,2», а не «один из двух». Значит, 1,2, потому что традиционно двое — алгебраическая геометрия 1, алгебраическая геометрия 2. Вот идея в том, чтобы идти так параллельно, немножко посередине. Обычно алгебраическая геометрия 1 чуть меньше касается так называемого языка схем. 00:16 Speaker A Алгебраическая геометрия 2 — это гомологии, там уже язык схем и так далее. Идея курса заключается в том, чтобы попытаться проследить между, соответственно, курс предполагается годовым. Следующая половина будет посвящена уже таким более продвинутым вещам и теории гомологии, в частности, 00:33 Speaker A ну, и там много чего ещё. Вот. А значит, если нет других организационных вопросов, то давайте начнём. 00:43 Speaker A А, а можно вопрос? Значит, оценивание курса только за экзамен получается, да? Э, за посещаемость нет. Вот, значит, ещё одна некоторая важная вещь. Уровень подготовки — это такой сложный вопрос. 00:56 Speaker A Давайте ради интереса. Ну, наверное, здесь первокурсников, наверное, нету. Или есть курсанты точно. Второкурсники, третьекурсники, четвёртокурсники. 01:09 Speaker A Хорошо. Ну и дальше, значит, это возраст не спрашивает. Эзвите небольшое понимание языка коммутативной алгебры, но всю продвинутую коммутативную алгебру мы будем тоже пытаться по ходу дела изучать. Перед занятием, возможно, я буду как раз присылать, э, сообщение о том, что нужно 01:26 Speaker A посмотреть, чтобы так немножко подготовиться. Я буду давать задачи. Задачи ничего не оцениваются. Вот иногда так бывает, что в экзамене может быть задача из домашнего задания. То есть, в принципе, если вы будете их решать, то вы, а, будете готовы и б, 01:40 Speaker A возможно, сэкономите себе время и силы. Вот. Но я не гарантирую, что в экзамене будут задачи. То есть это такое вот, чтобы вас стимулировать дополнительно. 01:49 Speaker A Вот. Э, ну, задачи часто будут дополнять лекции, поэтому стоит хотя бы их читать, э, разумно решать их, пытаться самостоятельно либо обсуждать там между собой в группах. Вот, ээ, мне можно задавать вопросы, но перед тем, как задать мне вопрос, лучше, пожалуйста, а, 02:06 Speaker A сначала подумать, б, спросить товарища там, а потом уже, ну, как бы вот любые, я приветствую любые вопросы, но перед тем как задать вопрос, обязательно, пожалуйста, лучше всё продумать. Хорошо. Ну, у нас сегодня такое немножко вводное занятие. Значит, что такое алгебраическая геометрия? 02:25 Speaker A Э, ну, начинается она традиционно, я посмотрел определение в Википедии, там написано, что алгебраическая геометрия — значит, изучение геометрических объектов с помощью алгебры, в первую очередь коммутативной. 02:41 Speaker A Вот. А, ну так всё. Значит, начинается она с такого простого наблюдения. Давайте определим для начала, что такое аффинное пространство. 02:54 Speaker A А, значит, вот в этот момент нам нужно зафиксировать какое-то поле. То есть я не буду требовать прямо большого знания теории полей. З ток — это будет поле. И довольно скоро я потребую, чтобы оно было алгебраически замкнутое, но буду постоянно объяснять. 03:13 Speaker A Мы скоро от этого, собственно, откажемся. Значит, аффинное пространство начинается с того, что у него есть подлежащее множество точек. Эти точки — это просто... 03:25 Speaker A Я не рассматриваю его как векторное пространство. Это просто набор чисел. Те я буду означать А1 и так далее. А, где АТ? Ну, а второй ингредиент — это кольцо многочленов. Собственно, чем алгебраическая геометрия отличается изначально — это, э, изучение множеств 03:48 Speaker A решений систем полиномиальных уравнений. То есть вот у нас есть такое коммутативное кольцо многочленов от N, X1 и так далее, X1. 03:58 Speaker A Ну тогда, в частности, любой многочлен P отсюда задаёт, вообще говоря, функцию VK. Ну, а именно, что он делает? Вы можете взять точку, подставить соответствующее значение. Многочленно. 04:14 Speaker A А, ну и, собственно, мы хотим решать систему уравнений. Значит, что я понимаю под решением системы? Давайте возьмём любое подмножество, не обязательно конечное, возьмём какое-то подмножество в А. 04:31 Speaker A Значит, а — это кольцо многочленов. И тогда мы определяем множество V от S. Это будет подмножество естественным образом K, 04:42 Speaker A А, которые есть, ну, вот множество точек авенты такие, что для любого p выполнено p(a) равняется 0. Ну, я надеюсь, что все взрослые p(a) обозначали, что p от а1, а и так далее. 05:01 Speaker A Такое сокращённое на хорошо это подмножество в K. Ну, пример. Значит, у меня те, кто ходил на мои курсы, знают, что с примерами у меня туго. Поэтому я буду стараться в этот раз хотя бы какое-то количество лекций иметь пример. Ну вот, может, от двух 05:20 Speaker A переменных рассмотреть V от X² - y. Значит, что это такое? Это ваш любимый парабол. 05:30 Speaker A Замечательно. Можно рассмотреть такое прекрасное множество. Давайте возьмём K, возьмём множество поле вещественных чисел и посмотрим на такое V(x² + 1). Значит, это множество таких вещественных чисел, что x² + 1 = 0, да? 05:52 Speaker A Что за множество? Пустое. Отлично. Значит, мы только что встретили одно из важных наблюдений. Вот как развивается алгебраическая геометрия. 06:04 Speaker A Алгебраическая геометрия так вот существенно начинает развиваться в тот момент, когда вы заметите вот что: что x² + 1, ну, вообще говоря, это многочлен с целыми коэффициентами, но многочлен с целыми коэффициентами можно рассматривать в совершенно различных, э, его вычислять на самом 06:28 Speaker A деле любом поле. И, в частности, отсюда видно, что в зависимости от поля, если K равняется R, то V равняется нулю, пустому множеству. А если K равняется полю комплексных чисел, то, ну, вообще говоря, V состоит из двух точек. Ну вот немножко 06:53 Speaker A странно, но идея о том, чтобы избавиться от этого самого, оно как бы единообразно начать изучать эти множества. Вот в этот момент начинается довольно интересная геометрия. Что мы можем сказать про такие множества? Значит, свойства, ну, первое такое дурацкое свойство, 07:14 Speaker A давайте заметим, что в любом поле есть ноль. Если S состоит из одного уравнения, нулевая константа — это многочлен, уравнение ноль на точке равно нулю, получаем всё. 07:29 Speaker A V от S — это всё. Давайте возьмём любую ненулевую константу. Но если у вас произвольное поле, то там уж заведомо есть одна ненулевая константа. Это одно поле. 07:40 Speaker A Подразумевается, что оно всегда содержит эти два элемента. Значит, если мы возьмём уравнение 1 равно нулю, получаем пустое множество. 07:56 Speaker A Давайте это будет более интересное свойство, которое обычно, э, это назову один два, это ээ то, что все учат в школе. Пусть S и T — две системы, просто два подмножества в А. А давайте заметим, что если мы возьмём объединение S и T, 08:21 Speaker A вот в этот момент уже полезно, когда вы начинаете изучать алгебраическую геометрию, начинать какие-то такие формулы просто проговаривать, и тогда они становятся сразу понятными. Мы хотим найти решение множества точек, в которых все функции из S зануляются и все функции из T 08:38 Speaker A зануляются. Или или или или или нет для любого нет одновременно значение для любого многочлена для любого из системы уравнений, поэтому вы системы уравнений добавляете ещё уравнения — это становится ограничительным. Но что значит, что на точке все элементы из S 08:58 Speaker A зануляются и все элементы из T зануляются? Это значит, что все элементы из S зануляются и все элементы из T зануляются, то есть на самом деле это просто пересечение. Значит, чуть более общён. На самом деле я сказал, что совершенно 09:15 Speaker A необязательно, вообще говоря, система уравнений конечная. Вот мы сейчас обсудим через 2 секунды. Ну, 20 минут. А на самом деле вы можете взять любую систему подмножеств А, где а пробегает любое множество лямбда. И по тем же самым соображениям, если вы 09:34 Speaker A попробуете посмотреть, взять объединение всех этих множеств уравнений, то V от объединения S альфа есть пересечение V от S альфа. 09:47 Speaker A Вот такое простое наблюдение. Ну, четвёртое свойство чуть может быть чуть-чуть более сложное. Значит, давайте возьмём S и T — здесь уже две системы уравнений. И построим новую систему. Значит, а, определим такую систему S ут. 10:14 Speaker A Это будет множество, ну, S — это множество многочленов, и T — это множество многочленов. Давайте возьмём произведение всех P и Q, где P пробегает S, а Q пробегает T. 10:31 Speaker A Ну, самый простой пример. Если у вас есть просто два многочлена, то P умножить на Q — это один многочлен PQ. А если вы взяли систему из многочленов, умножено на другую, значит, вы в своей системе к... 10:49 Speaker A уравнение. И теперь я пробегаю вот так вот всё по пар, ну, хорошо, давайте поймём, что что же это за множество такое решение. 10:57 Speaker A Вот я утверждаю, что в одну сторону есть очевидное включение. Очевидное включение выглядит также. А посмотрим на V от S у T. Я утверждаю, что оно содержит V от S и содержит V отт. 11:23 Speaker A Ну почему? Но каждое уравнение здесь из S t - это какое-то уравнение из S умножить на что угодно. Если вы взяли, если в какой-то точке P зануляется, то P на что угодно тоже зануляется. Поэтому вы получаете, что V отS лежит здесь. 11:39 Speaker A По тем же соображениям из симметрии V отт тоже лежит здесь. Значит, что мы получаем в конечном итоге? Мы включаем, что эта штука содержит объединение множество решений S и множество решений T. 11:57 Speaker A Оказывается, выполнено обратное включение. докажем, что, да, я всегда уже там даже не один десяток лет объясняю что в математике есть разные способы, ну, как бы фундаментальные методы. И вот фундаментальный метод, мы хотим доказать, что два множества равны. 12:22 Speaker A Поэтому не надо ни в коем случае доказывать, что они равны. Надо сказать, что одно содержится в другом, а другое содержится в первом. Вот мы хотим доказать равенство, поэтому докажем, что на самом деле V от ST вот этой системы 12:34 Speaker A оно содержится в объединении V от S и V. Теперь немедленно вступает ещё один фундаментальный принцип математики. Если мы хотим доказать, что вот это содержится вот в этом, давайте докажем, что дополнение к вот этому содержится в дополнении к вот этому. Так 12:56 Speaker A называется метод противника. Хорошо. Пусть какая-то точка А не лежит в объединении V от S и V. 13:10 Speaker A Значит, что это означает? А не является решением системы уравнений S. Во-первых. Но, в частности, hт, не является решением системы уравнения S, поэтому существует P из S такое, что P от не равняется ну. 13:33 Speaker A Что значит, что А не лежит в V отт? а не лежит в V отт означает, что существует такой многочлен Q из системы уравненийТ такой, что Q от А не равняется нулю. 13:51 Speaker A Но тогда многочлен PQ по нашему определению лежит в системе уравнений S нат и PQ от А равняется P от А на Q от А и равняется нулю. Потому что если вы перемножили два ненулевых элемента поля, то вы получите не ноль. Ну что это 14:13 Speaker A значит? Это значит, что А не лежит в V в ответственности. То есть мы нашли такую функцию из этой системы, которой а не является решением. 14:24 Speaker A Ну прекрасно, ровно это означает, что у нас выполнено обратно ключи. Следствие а V от ST на самом деле равняется объединению VS V. 14:42 Speaker A Ну теперь, собственно, осталось заметить вот что. Осталось заметить, что условия вот это как бы наше четвёртое свойство. 14:54 Speaker A Наблюдение заключается в том, что свойства 1 2 3 и 4 задают теперь топологию на множестве каских. Значит, традиционно, как определяется топология на топологическом пространстве? Значит, вам нужно x множество и система от множеств u в X, которые называются открытыми, которые 15:20 Speaker A удовлетворяют первое, а, пустое множество открыто. Ну, как бы в системе и пустое множество, давайте тау лежит в тау. Всё множество лежит в тау. 15:41 Speaker A любые объединения у альфа лежит в тау, если у альфа лежит та и конечные пересечения у V лежит в тау, если U лежит тау и V лежит. Ну вот в топологии принято топологию вводить через открытое множество. Ну что такое 16:08 Speaker A замктые множество? Это дополнение к открытому. вот этот набор аксиом ровно переписывает определение простора. Хорошо. Значит, э теперь мы можем уже сказать, что как афинное, а что такое афинное пространство. 16:25 Speaker A Значит, мы скажем, что по определению, а, ну, значит, топология зарисковано пока что она ковентой, а, где замкнутые множество имеет вид V от S по всем S пробегающим K от X1 X. 17:05 Speaker A Ну, это ещё как бы пока что это какая-то топология, никакой алгебры не возникло. И давайте сделаем некоторое простое наблюдение. 17:15 Speaker A Наблюдение. Ну вот пусть у вас есть система уравнений. Вообще, когда вы решаете систему уравнений конечно ну, как бы решать бесконечное число уравнений сложно. Люди всё-таки обычно решают конечное число уравнений. Но а на данную секунду можно сделать такое глупое наблюдение. Вот все все в школе 17:39 Speaker A это знают, что если у вас есть система уравнения и вы туда добавите, например, сумму двух уравнений системы, то множество решения не изменится, правильно? 17:50 Speaker A То есть я утверждаю, что если P1 PK лежат в нашей системе, и если Q1 Q - это любые многочлены, то если вы к S добавите одно уравнение сумма PТК QТ, то ничего нового вы не получите. 18:16 Speaker A Но это это уравнение выражается через уравнение, которое уже есть в системе, то V от вот этого множица V. 18:27 Speaker A То есть, в частности, имея любое подножество S, мы смело можем сказать, что V от S совпадает с V от такое S в скобочках, где S в скобочках идеал в а пождённый множеством S. 18:54 Speaker A Я напомню, что идеал это в кольце - это такое подмножество, которое замкнуто относительно сложения. 18:59 Speaker A Ну там содержит ноль вычитание подгруппоносительно умножения на любой элемент кольйца. Как бы вот так вот ровно вы порождаете собственный. Ну как немедное средствие можно вывести вот что. что в определении топологии Зариского на самом деле достаточно по некоторым соображениям чуть более 19:24 Speaker A правильно иметь дело с идеалами. Значит, а отныне V от S означает V от идеала урождённого S. 19:42 Speaker A И топология задаётся всеми множествами V от, где I пробегает множество идеалов. Хорошо. Ну, а значит, давайте заметим такую простую вещь. Ну, вот у нас есть какое-то странное определение замкнутых подмножеств в этой самой топологии. То есть мы сегодня немножко поговорим про 20:20 Speaker A то, как эта топология устроена. Но, во-первых, давайте вот что сделаем. Мы пока что по идеалу получили подмножество в KN. И давайте вот отныне я это пространство вместе с топологией буду называть an, иногда с индексом K, но скоро мы, ну, как бы индекс K всё время 20:48 Speaker A писать плохо. Значит, а - это уже топологичное пространство, а немножко а немножко точек. А давайте провернём, собственно, обратную операцию. Пусть x - это какое-то произвольное подмножество в ам не обязательно замкнутое произвольно. 21:10 Speaker A А давайте рассмотрим множество всех многочленов по определению I от X. Будет множеством всех многочленов P, таких, что P ограниченное на X, соответственно, равняется нулю. То есть, иначе говоря, многочлены все, которые зануляются в данном на данном подно. Ну такое вот как бы наблюдение. 21:38 Speaker A Соответственно, у нас теперь есть две операции. Одна по идеалу стёт подмножеству, другая по подножству строит идеал. Наш ближайший вопрос, на который мы хотим ответить, это как они связаны. Связаны нашей операции. 22:03 Speaker A Ну давайте потренируемся немножко. Значит, во-первых, такой вот пример канонический, который всегда дают, значит, топология зарискована А1. Давайте всё-таки, ну, там для простоты давайте я напишу пока на C. 22:21 Speaker A Значит, что что это такая за топология? Ну, замкнутые, значит, какие вообще она задана идеалами. Значит, идеалы в, ну, на самом деле, в любом кольце многочленов от одной переменной. Ну, давайте X. Значит, это то, что называется область главных идеалов. 22:41 Speaker A Будет идеал порождён одним многочленом. Они все главные. То есть любой идеал и имеет вид p в скобочках. Иначе говоря, множество всех многочленов вида P умножить на Q, Q пробегает с Ну, поэтому, в общем-то, как мы знаем, V от этого самого i достаточно вычислять 23:12 Speaker A на P. Это вот рассуждение, которое мы здесь проводили, это просто множество точек А таких, что P от А равня. Что мы можем сказать про множество решений? 23:26 Speaker A многочлена от одной переменной. На самом деле любого оно конечно, да, совершенно верно. Ну там как бы здесь поле уже неважно, но мы все в любом случае знаем, что оно конечно, поэтому, в частности, топология на А1 устроена так. Значит, замкнутое 23:50 Speaker A множество это либо конечное, либо всё А1. Ну, как всё пространство всегда замкнуто, либо просто конечное подносно. 24:07 Speaker A Но это такая не очень интересная, с одной стороны, топология, но с другой стороны значит немедленно можно заметить, что эта топология уже удовлетворяет, не удовлетворяет некоторым свойствам, к которым все привыкли, а именно все привыкли, что топологические пространства, как многие считают хорошие, они 24:30 Speaker A удовлетворяют хаусдорфовой отделимости. Но с моей точки зрения хорошие пространство не удовлетворяют по взрослой отдемости, а именно давайте заметим, что две точки, если к неконечна, нельзя отделить парой. 25:04 Speaker A открытых окрестностей. Ну, иначе говоря, это не Да. А значит, тем не менее мы скоро выясним, что эта топология отделяет удовлетворяет некоторому другому свойству отделимости, но заметим вот что по поводу идеалов, которые задают некоторые множества. Ну вот давайте, во-первых, 25:38 Speaker A значит заметим, что здесь, что я не сказал, что важно, это тем не менее любое конечное подмножество, любой набор чисел может быть решением уравнения. 25:49 Speaker A соответствующего. Правильно? Если вы возьмёте любое конечное подмножество вашего поля, вы можете найти многочлен, который зануряется только в этих точках. 25:58 Speaker A Называется произведение линии. Хорошо. Однако тут выполнена такая же замечательная вещь. Ну вот давайте посмотрим на решение уравнения x². 26:10 Speaker A Уравнение x² имеет единственное решение, а именно ноль. Но с другой стороны, уравнение x тоже имеет единственное решение, а именно ноль. 26:27 Speaker A Ну и легко заметить, что вообще, если вы возьмёте множество всех многочленов, которые зануляются в точке ноль, то вы получите, что вы получите идеал порождённый x или, иначе говоря, множество всех многочленов без свободного члена. 26:43 Speaker A То есть, что показывает этот пример? Этот пример показывает, что если мы стартуем с идеалом опреждённого x², смотрим на его множество нулей, а потом берём все элементы, которые на нём зануляются, то мы получаем некоторый другой идеал. 27:01 Speaker A А, и вообще, а, есть другое наблюдение, что если вы в общем случае заменим какой-то элемент системы уравнений на его степень в это, то есть, то множество решений не меняется, не измене. 27:34 Speaker A Ну, это такое фундаментальное наблюдение, что если какое число в степени равно нулю, ээ, то оно само равно нулю. Да. 27:43 Speaker A Множество решений уравнений pвен в N равняется нулю. Это то же самое, что множество решений уравнений p ра. 27:49 Speaker A Вот следующий шаг в алгебраческой геометрии. Наивная алгебраческая геометрия скажет, что множество решения x к и множество решения x - это одно и то же. Довольно скоро мы поймём, что это две, вообще говоря, большие разницы. 28:05 Speaker A Значит, давайте я вам, может быть, на секунду продемонстрирую, почему это две большие разницы. Это две большие разницы по следующей причине. 28:14 Speaker A Давайте возьмём плоскость с координатами X и Y. И давайте возьмём такую систему уравнений. Значит, рассмотрим V от x² - y дополнительно запишем туда уравнение y - c, где c константа. 28:39 Speaker A Значит, первое уравнение. Первое уравнение вамдаёт вашу любимый параду. А что вам говорит второе уравнение? 28:51 Speaker A Второе уравнение говорит, что Y постоянно количество решений такой системы уравнения равно двойке или нет? 29:09 Speaker A Ну вот начинается, да? Вот вам промыли мозги и сказали, что не всегда. А я говорю, что на самом деле всегда, потому что действительно, если C не равняется нулю, то у вас есть два различных решения. Но это как-то не очень с точки 29:24 Speaker A зрения здравого смысла, может быть, ну, не очень хорошо, потому что, ну, как бы два решения и два, мы начинаем двигать это прямую. И действительно, если c равняется нулю, то здесь происходит момент касания, и решение как бы становится одно, но на самом деле мы 29:41 Speaker A хотим помнить, что в этот момент случилось некоторое касание. Вот ровно поэтому давайте заметим, что если c равня 0, то система превращается V от x² - y за y это то же самое, что v от зап. 30:00 Speaker A Ну и вот как-то мы не хотим выкидывать этот x к на самом деле, забегая вперёд, ровно потому, что мы хотим помнить, что в этот момент наша прямая не пересекла просто другую кривую, а имела в этой точке то самое касание, о котором мы 30:15 Speaker A говорим. То есть она будет помнить о том, что два решения слиплись в одно. Но это так немножко забегает вперёд. 30:22 Speaker A Хорошо. То есть мы хотим как-то связать наши V в V и. Ну давайте смотреть, что вообще происходит. 30:32 Speaker A Значит, есть некоторые простые свойства. Давайте их выпишем, а потом обсудим всё остальное. А вот V и И. 30:50 Speaker A Ну во-первых а сейчас я буду немножко путаться, потому что будет и иногда обозначать и дело. Но давайте я пока под подножку буду писать. 31:01 Speaker A Если S содержится в Т, то множество решения системы T является под множеством множества системы уравнения S. Если вы добавили уравнение, то у вас множество решения может только уменьшиться. 31:17 Speaker A Vт содержится в V в отвес. Значит, это если это подмножество, если множество X содержится, значит, вот это в кольце А, это втивном пространстве. Если X содержится в множестве Y, то множество функций, которые зануляются на y, ну, они уж гарантированно зануляются на 31:45 Speaker A иксе. Многочлены, которые зануляются на большем множестве, точно зануляются на меньшем. Поэтому i от y содержится в i от x. 31:58 Speaker A Хорошо, давайте попробуем поприменять одно к другому. Значит, давайте стартуем с множества, пусть x под множество в k в Ну тогда мы можем рассмотреть множество функции, которые на иксе зануляются и от, а потом посмотреть на все точки, на которых эти функции зануляются в своей 32:22 Speaker A очей здесь такое написано. Ну, я утверждаю, что данное множество, которое здесь написано, есть замыкание икса в топологии завес. 32:42 Speaker A То есть, в частности, если X замкнуто, замкнутое подножество, то а V от X =в X. 33:06 Speaker A Ну что в каком-то смысле нам нужно проверить? Нам нужно проверить, как можно определить замыкание. 33:16 Speaker A Замыкание можно определить как наименьшее замкнутое подмножество, которое содержит данных. Это один из способ определить. Давайте подумаем так. 33:26 Speaker A А как можно построить замыкание? пересе пересечение всех замкнутых подно. Совершенно верно. Можно пересечь все замкнутые подножства, которые содержат. 33:38 Speaker A Но давайте ещё одну такое наблюдение в сторону заметим, что, вообще говоря, любое любое множество V от S, где S какое-то, можно задать следующим образом. Это то, что мы мы обсудили. Но это множество решений всех уравнений с S. Это значит, 33:59 Speaker A что мы должны взять решение первого уравнения, второго уравнения, третьего уравнения, всех остальных и все эти множества пересечь просто-напросто. 34:07 Speaker A И это есть просто пересечение V от P по всем P пробегающим S. Замечательно. А что, в частности вот здесь вот написано? Вот давайте посмотрим, что такое V от и от X. 34:29 Speaker A Это множество, это пересечение во всем P из I от X V от P, то есть это множество решений всех уравнений P, которые зануляются на X. 34:56 Speaker A Но, в частности, как бы, если давайте заметим, что если X - это множество решений какой-то системы уравнения, то что мы гарантированно знаем? Мы знаем, что S содержится, гарантированно содержится в множестве. Наша система уравнений содержится в множестве всех уравнений, 35:19 Speaker A которые зануляются в нашем множестве. Мы решили систему уравнения S. И если какое-то ещё уравнение, если мы возьмём все уравнения, которые зануляются на множестве решений, то наши уж там точно зануляются. 35:32 Speaker A S содержится здесь в i от x. Ну, замечательно. Если мы здесь пересекли все уравнения отсюда, то как минимум это множество содержится в пересечении по всем P из, потому что наша система, которая какой-то какая-то система, которая задаёт X, все эти уравнения лежат здесь. 36:01 Speaker A Но, в частности, это P, которое пробегает S уже V от P, а это наш X, как мы обсудили. 36:13 Speaker A То есть, что мы получили? Мы получили, что, вообще говоря, если X замкнуто, то наше множество бежит здесь. Ну, а если X не замкнуто, я вам предлагаю посмотреть на вот эту формулу и в качестве упражнения убедиться, что действительно это замыкание. 36:35 Speaker A Когда я говорю упражнение, то, что нужно сделать самостоятельно. Значит, альтернативное упражнение проверить, что действительно V от и от X равняется замыканием икса. 36:55 Speaker A Таким образом, ну, во-первых, это замкнутое подножество, которое содержит X, поэтому оно гарантированно содержит X чертой. Ну вот я предлагаю вас вам убедиться, что если точка А не лежит в замыкании, то точка А не лежит в от. 37:28 Speaker A Если вы это перепишете словами, значит, словами это означает, что значит, что а не лежит. Это значит, что найдётся какая-то функция, которая зануляется на x чертой, такая, что она не зануляется на а. Вот если вы это распишите, то вы сможете это проведеть. Хорошо. 37:44 Speaker A Значит, что пока пока что что мы имеем по факту? Мы имеем композиция, которую мы говорили. 37:56 Speaker A А именно, если X замкнуто, то V от X равняется и То есть у нас есть два таких отображения, я напомню, идеала в А. Значит, из идеалов мы с помощью V идём отсюда. Здесь у нас замкнутое множество. 38:29 Speaker A И композиция в одну сторону есть тождественное отображение. Если вы возьмёте сначала идеал, потом V, вы получите то же самое. 38:39 Speaker A Значит вопрос. А что теперь, если мы пойдём в обратную сторону? Что если мы возьмём идеал множество всех решений уравнения значит g, где g в а идёт. 39:06 Speaker A То есть мы смотрим на все функции, которые зануляются на множестве решений какую-то системы радо. 39:16 Speaker A Ну вот наблюдение, которое мы уже видели. Значит, наблюдение. Если P из А такой, что P в какой-то степени N лежит в G, а N плохо - это у нас как бы размерность N большое, где N большое больше нуля, то 39:39 Speaker A P лежит в и от V. Ну, опять же, если какая-то какая-то что здесь написано? Если многочлен в какой-то степени зануляется на данном множестве, то и сам многочлен зануляется на данном множестве. Вот эта история про то, как мы пытались задать множество 40:06 Speaker A решений уравнения x² и выяснили, что на этом множестве решений есть, вообще говоря, уравнение x, которые тоже зануляется. 40:17 Speaker A Такая история. А я напомню, что значит если кто-то забыл или не знает, если вообще у вас имеется G в любом кольце идеал, то множество элементов P из А таких, что P в степени N, прижив G до некоторого N большого называется 40:47 Speaker A означает ется такой √ g это то, что называется нерадикал. То есть множество таких элементов тоже образует идеал. Называется нели радикалом. Мы, наверное, это сейчас просто просто радикалка. 41:06 Speaker A Просто радикал, да. Просто радикал. А, да, на не радикал это из нуля, да, извините. Да. Значит, а старая привычка. 41:17 Speaker A Радикал из нуля. Действительно, это в некотором кольце это не радикал. Что? В некотором кольце это мили радикал. 41:25 Speaker A Что? В некотором кольце это не радикал. Не радикал - это радикал из нулевого идеала. Да. 41:31 Speaker A А - это идеалность или Y? Это G. Это G. G. Это G, да. Для если возьмёте любой любой идеал, то множество элементов, которые в какой-то степени в него падают, тоже образуют идеал. 41:46 Speaker A Хорошо. Ну вот. Собственно, теорема, которую мы хотим сегодня доказать, это то, что называется теорема гильдов нах. 42:02 Speaker A Гласит, в частности, следующее. Она гласит, что множество уравнений, которые зануляются на идеале G, что ничего другого не бывает. Точности совпадают с радикалом G. В частности следствие имеется биекция. 42:22 Speaker A Можно вопрос? А мы уже положили полиалгебаческий запуск? Нет. Подходи алгебаический захват. Ну, мы мы всё положим, и он раз тут вопрос вопрос немножко в том, сейчас мы увидим, где всё, что где происходит всё, что А значит, действительно в таком виде как бы пока 42:51 Speaker A не очень понятно, но типа скоро будет. Значит, следствие имеется между множествами радикальных идеалов, то есть идеалы G такие, что они совпадают своим радикалом. Я напоминаю, что идеал всегда содержится в своём радикале, но не всегда совпадает. и значит множеством замкнутых под 43:30 Speaker A А, и доказательство на самом деле теоремы Гильберта о нулях начинается со следующего действительного наблюдения. 43:36 Speaker A Ну вот, давайте, давайте будем немножко аккуратными, да, давайте сейчас я скажу, что поле алгебраически замнуто временно, потом мы обсудим, что происходит для дне замкнутого поля. Значит, если поле алгебраически замкнуто, то теорема Гильберта нуля в каком-то виде значит вы 44:06 Speaker A говорит вот что оно говорит, что первое, если и это собственный идеал в кольце многочлена, то его множество решений не пусто. 44:33 Speaker A То есть, в частности, вот давайте заметим, что x к пяны идеал в RX, но его множество решений как бы пусто. 44:46 Speaker A То есть это уже немножко противоречит первому. по это контрпример за А второе, значит все максимальные идеалы, значит, я напомню, что идеал называется максимальным, либо если он максимальный по включению, не совпадает со всем полем, либо что эквивалентны фактор по 45:15 Speaker A нему есть поле. Все максимальные идеалы имеют вид, давайте я это так назову, ма, то есть множество таких P, таких что P от А равняется нулю или эквивалентно идеал порождённый X1 - A1, X2 - A2 и так далее. XN - A, 45:53 Speaker A ну, где А из, да, совершенно верно, где А пробегает все А из Kn, то есть, в частности, имеется биекция между точками KN и максимальными делами. 46:06 Speaker A Кажется, что если мы так пишем, то А не из КН, а просто из К. 46:10 Speaker A Что просить? Не, у тебя А - это типа компонента. А просто, да? Нет, а - это не одна, это точка из пространства, набор числ, да? 46:19 Speaker A Да. То есть все многочлены, которые занимаются вообще как бы, ну вот если вы вдумаетесь, если вы там изучали, я не знаю, дифференциальную геометрию или там какие-нибуд гладкие функции, что угодно, вы можете вообще рассмотреть множество функций там гладких. Угу. 46:35 Speaker A То есть среди этих функций вы можете посмотреть на все функции, которые зануляются в данной точке. Ну вот эти эти функции образуют идеал. Неважно, какого там класса функции вы рассматриваете, они образуют идеал. И он максимальный просто по той причине, что 46:51 Speaker A если вы отфакторизуете по тем, которые зануляются, всё, что у вас останется - это константа. Оказывается, там нужно быть немножко аккуратным, потому что в такой общности бывают ещё другие максимальные идеалы. Но вот в геометрии такого не бывает в алгебраической. Значит, все максимальные 47:06 Speaker A идеалы. Вообще в любой геометрической науке подобного рода идеалы максимальные. Ну вот я утверждаю, что если алгебра замкнуты поле, то все идеалы, значит, имеют ровно все максимальные идеалы имеют ровно такой вид. Давайте я быстро выведу утверждение из вот этой теоремы. Из вот этой теоремы 47:28 Speaker A я выведу утверждение про то, что называется обычно, по-моему, сильная теорема Гильбета о нулях. Там есть какая-то бессмысленная номенклатура. 47:34 Speaker A Одна из них слабая, другая сильная. Вот. А потом уже на второй части мы аккуратно докажем вот это. Ну и обсудим вообще, что происходит, и построим, может быть, немножко более общее социологическое пространство. Значит, давайте вывод. 47:48 Speaker A Вывод это называется красивым образом Трюк Рубиновича. Значит, в частности, да, давайте вот что заметим что первое из один из из два следует один. 48:11 Speaker A Ну, действительно, если G - собственный идеал, то полеми ЦОР вы можете посмотреть на все идеалы, которые его содержат, но не тривиальные. 48:26 Speaker A там выбрать максимальный элемент, то G содержится в каком-то максимальном идеале, но M имеет обязательно вид ма, откуда следует, что G содержится в MA. 48:43 Speaker A А что это означает? MA - это множество функций, которые зануляются в точке А. Но вы ищете решение системы уравнений среди уравнений, которые зануляются в точке А. 48:57 Speaker A В частности, множество решений уравнений G обязательно содержит множество решений уравнений MA. А решение уравнения MA, но если кодезия - это решение вот этой системы уравнения. Первая задаёт вам первую координату, вторую, третью и так далее. Это множество состоит просто из 49:13 Speaker A точки H. Поэтому если поверить в два, то один - это простое следствие. Следствие из того, что любой собственный идеал содержится максимально. 49:26 Speaker A То есть это ремотативной алгебры, которую хорошо вы изучили, если вы не знаете. Хорошо, давайте теперь из один выведем теорему Гиберта. 49:40 Speaker A То есть один теорема Гиберта, что называется трюк. А хорошо. Значит, а что мы знаем из единицы? 50:05 Speaker A Из единицы мы знаем, что если множество решений какой-то системы S пусто, то идеал, порождённый S, совпадает со всем кольцом. 50:24 Speaker A Но это значит, что вы добавили единицу в качестве уравнения. Вы из своих уравнений можете выразить один 1 = 0. 50:32 Speaker A Хорошо? Значит, пусть действительно с чего мы начинали. Пусть p такой многочлен такой, что P ограниченный на V от G тождественно равен нулю. То есть P зануляется во всех точках G. 50:50 Speaker A Я хочу проверить, что P в какой-то степени лежит в нашем идеале, что если я возведу моё уравнение в какой-то степени, я смогу его выразить через мои уравнения, которые у меня уже есть. Это утверждение теоремы Гильберта. 51:03 Speaker A Почему? Ну, потому что мы знаем очевидное включение, что радикал лежит здесь. Мы хотим проверить обратное, что то, что отсюда лежит в радикаль. 51:11 Speaker A А давайте напишем новую смешную систему уравнений. Добавим. А именно трюк заключается в том, что надо добавить ещё одну переменную. 51:19 Speaker A Давайте назовём её y и рассмотрим новую систему уравнений. Рассмотрим систему уравнений Sштрих, которые включает в себя все уравнения из S, но это уравнение на первые N переменных. 51:36 Speaker A Но у меня будет ещё одна переменная Y. И я туда добавлю одно новое уравнение. 51:41 Speaker A Уравнение будет такое: 1 ми Y на P. Какие бывают решения у такой системы уравнений? 51:54 Speaker A Ну, как минимум, первые координаты должны удовлетворять уравнением из G. Значит, у нас G было, да? 52:02 Speaker A То есть первые координаты полностью задаются уравнением с G. Там Y никак не входит. Но что происходит с многочленном P, если наши уравнения зануляются на первых координатах уравнение G? Он тоже зануляется, да? 52:21 Speaker A Поэтому никоим образом значение Y мы выбрать не можем. У нас получается 1 ми 0. 52:28 Speaker A Может решение такой системы пусто? Давайте я вам это для убедительности продемонстрирую. То есть у меня было уравнение x², а я к нему добавил уравнение 1 - yx. 52:47 Speaker A Ну, если вот это зануляется, то вот это произведение тоже занулится. Мы предполагаем, что уравнение x зануляется везде, где зануляется x². 52:59 Speaker A Это тоже трюк из школы, который заключается в том, что вы всегда можете уравнение заменить на неравенство следующим образом. домножите его на какую-то новую переменную. 53:08 Speaker A Добавьте конста. То есть вот решить уравнение 1 - yp можно тогда и только тогда, когда p не равно нулю. 53:19 Speaker A Но уравнениние с G говорят, что если первые координаты, если у вас удовлетворяют уравнением G, то здесь будет обязательно. 53:31 Speaker A Ну, в этом заключается собственный трюк. Значит, что теперь мы делаем? Мы говорим: "Ага, значит, у такой системы нет решений". 53:42 Speaker A Значит, если у такой системы нет решений, g 1 - yp нет движений, это значит, что идеал порождённый g п - yp совпадает со всем концом X1 XY, ну, в частности, содержит единицу. Что это значит? Это значит, что существуют 54:21 Speaker A такие многочлены U1 от переменных X и Y и так далее. Q, а, K, давайте Q0. 54:36 Speaker A Q0 и QK от X1 Xn Y и какие-то элементы P1 PK из нашего идеала G, то есть наши уравнения такие, что, ну, единица равняется 1 - YP у 0 плюс А Q1 на P1 плюс и так далее плюс Q 55:11 Speaker A на PK. Сейчас только, наверное, P0 больше говорю в начале. Да. Да. А то у вас Пшек K что? 55:27 Speaker A Нет, просто P нет, это P это наше уравнение дополнительное. А, всё хорошо. Да, хорошо. 55:32 Speaker A Да. Вот, вот, вот, вот, вот. Это лежит здесь. Вот. Ну, а теперь как бы трюк заключается вот в чём. Положим y в этом соотношении равно 1 по Что мы получим? Мы получим 1 равняется в этой сходке всё умрёт. 56:00 Speaker A Q1 от X1 Xn 1 по P1 плюс и так далее плюс у K1 Xn P на P в K. 56:25 Speaker A Значит, это соотношение где? Но если хотите, это соотношение в поле рациональных функций от переменных x1 и так далее y. Вы всегда можете посмотреть отношение многочленов от ваших примеров. 56:42 Speaker A Ну, замечательно. Значит, выполнено такое соотношение. Что стоит в знаменателях у этого соотношения? В знаменателях стоят только степени многочленов. 56:54 Speaker A Ну, давайте приведём, уберём этот знаменатель. Чтобы убирать знаменатель, надо домножить на большую степень p. 57:00 Speaker A Домножим это на p в n, где n строго больше нуля. Положите соотношение p втой равняется, ну, а здесь уже какой-то q1 с волной на p1 плюс и так далее плюс уктат на p1 с волной. Ну, где соответствующие куиты - 57:19 Speaker A это там, где вы убили знаменатель умножения на большую степень p, а многочленные p1 и так далее pк не зависели от переменной y никоим образом, поэтому они остались такие же, какие бы. 57:40 Speaker A Ну всё, значит, мы получили, что так как правая часть лежит в нашем идеале G, то какая-то степень P лежит в нашем идеале G, а значит P против. 57:54 Speaker A Ну вот по старой доброй традиции я предлагаю всем до 15 минут это переварить, и мы встретимся, соответственно, через 10 минут. 58:05 Speaker A И продолжим. Значит, это некоторое в этом моменте вот здесь вот это выглядит немножко магии, но надо себя за 10 минут убедить в том, почему это работает. 58:15 Speaker A Хорошо. Вот я вы попытайтесь себя убедить, а потом это обсудим и обсудим, собственно теоремы. 58:22 Speaker A Значит, хорошо. Вот теперь начнётся как бы уже относительно серьёзная квативная алгебра. Ну такая ещё для размеро серьёзная. 58:31 Speaker A Значит, я напомню, что мы хотим доказать. Мы хотим доказать, что все максимальные идеалы, что если в k1 xn максимальный идеал. 59:04 Speaker A то M имеет вид где а из ковенты, то есть множество функции, которое замеряется какой-то точке А. Хорошо, давайте будем доказывать более общее утверждение. 59:21 Speaker A Докажем, что на самом деле, ну, вот это у нас кольцо А. Значит, что такое максимальный идеал? 59:33 Speaker A Максимальный идеал означает, что а фактор по рука - это поле. Это одно из определений более правильное максимального идеала, если хотите. 59:45 Speaker A Ну, замечательно. Идеал вообще у нас как бы кольцо - это векторное пространство над k. Идеал тоже векторное пространство над k. Поэтому, вообще говоря, всегда поле вложено в наше большое. 60:00 Speaker A Но вы можете рассмотреть любую многочку, которая является константой, и посмотреть его просто по модулю вот этого максимального идеала. 60:10 Speaker A В частности, константы отображаются сюда. Это поле, это поле, значит, это инъективное отображение, потому что один приходит в один. 60:18 Speaker A А докажем, что K большое на K - это алгебраическое расширение. То есть, что это означает? Это означает, что любой элемент, э, сейчас будет сложно с элементами, а k удовлетворяет уравнению, ну, p А = 0, где p многочлен, это уже не те многочлены, которые мы 60:53 Speaker A говорится геометрии, это просто многочлен да? Вот. А, ну, в частности, следствие, если k равняется K с чертой, если оно алгебраческо замкнутая, то алгебраической замкнуто ровно вам говорит, что алгебраические расширения они, ээ, те тривиальные. Если k равняется K с 61:15 Speaker A чертой, то отсюда следует, что K большо равняется K. Вот здесь происходит такой ментальный трюк, который заключается вот в чём. Ну, давайте посмотрим на ваше поле K. 61:27 Speaker A Константы. Константы лежат в множестве многочленов от X1 и так далее X. Дальше, что вы делаете? Вы берёте и смотрите на это кольцо по модулю максимального идеала. У вас есть рефрективное отображение в KX1 и так далее Xn по модулю M большое. А 61:49 Speaker A если K алгебрачески замкнутое, мы сказали, что это вот наше поле K, которое является алгебраческим расширением, в частности, является полем совпадает в этом случае с полем K. Но что мы тогда можем сказать про идеал X, про идеал M? Но мы знаем, что при этом 62:05 Speaker A отображении X ит функция, координатная функция, которая сопоставляет в любой точке её итую координату, переходит в какой-то элемент А ит здесь. 62:19 Speaker A Ну, я знаю ещё один элемент, который переходит в аита. Постоянный многочлен аита тоже переходит в аита. 62:29 Speaker A Поэтому, что мы заключаем? Мы заключаем, что x ми ат переходит в ноль. То есть, в частности, наш максимальный идеал содержит идеал x1 - а1 и так далее xn - an. 62:47 Speaker A Но вот этот идеал максимальный, а если один максимальный идеал содержит другой, то они совпадают. 62:56 Speaker A Поэтому здесь имеется разражение сейчас. А что мы из него выявились? Мы вывели из того, что если поле алгебраически замкнутое и если мы знаем, что фактор по максимальному идеалу есть алгебраическое расширение K, то любой максимальный идеал имеет вид идеал точки. 63:21 Speaker A Угу. То есть это утверждение, которое мы изначально хотели, мы будем доказывать чуть более общее утверждение, да? А то, что идёт точки максимально, мы уже даём показатели в какой-то момент или мы просто говорим, что так понятно, но это идеал функции, которые замеряются 63:35 Speaker A в точке. Ладно, о'кей. Хорошо. Любая функция по модулю, функции, которая занимается, замеляется в точке, спадается с константами - это поле. То есть как это это уже понятно. 63:47 Speaker A Хорошо. Значит, теперь мы будем доказывать э вот эту самую страшную вещь. А значит, что мы знаем? 63:57 Speaker A Мы знаем две вещи, но мы знаем, что, во-первых, значит, если k - это наше вот это самое поле, кольцо многоэффер x1 xn по модулю какого-то максимального идеала, то, во-первых, k лежит k первое, во-вторых, k поле Да. 64:26 Speaker A И третье, что важно, K как, ну, если хотите, как K алгебра, то есть как бы как комутативное кольцо, которое содержит K. 64:41 Speaker A Значит, вообще алгебра - это означает А алгебра - это кольцо, в которое отображается там А, как алгебра, конечно прождено. 64:57 Speaker A Что означает конечно прождено? Конечно прождено означает, что у вас есть сюрктивное отображение. Значит, это такой комментарий. 65:06 Speaker A B можно представить в виде А от Y1 YM фактор по какому-то идеалу и или что эквивалентно существует отображение субъективное из а от Y1 Yn B. Ну, а алгебра означает, что а отображается сюда, а отображается сюда или эквивалентно любой элемент B 65:40 Speaker A имеет вид какой-то многочлен P от B1 и так далее BM, где где P - это элемент конца многочленов над А, а B и лежат B. 66:07 Speaker A Конец комментария. То есть иначе говоря, любой элемент B можно взять так, можно там набрать конечное число элементов, их перемножать и складывать с коэффициентами из А. 66:22 Speaker A Это то, что называется конечно прождён алфа. Иначе говоря, это фактор кольца многочленов поде. Ну вот линейный базис означает, что вы можете брать только линейные комбинации элементов, а конечная порождённость алгебры означает, что вы можете перемножать элементы сколько угодно, складывать, но любой элемент получается 66:41 Speaker A таким образом из фиксированного набора. Почему K, конечно, порождённо как маленькая K? Точно написано там буквально сулективный физ. Не нужна никая точная последованость. Вот они порождающие. Вот да. Кольцо многочленов по определению, конечно, порождено на том. В любой многочлен есть комбинация произведений 67:09 Speaker A ваших XY. Поэтому фактор любой конечно пророждённой алгебры от того, что вы наложили какие-то соотношения, конечно прождённость никогда не меняется. То есть по определению просто нашего K большого он, конечно, порождён как K. 67:23 Speaker A Теперь мы хотим доказать, что в таком случае любой элемент k большого, то, что написано здесь, э, удовлетворяет какому-то уравнению с коэффициентами в команде. 67:39 Speaker A Хорошо, давайте я вам расскажу, а чтобы все, как сказать, никто не ушёл обиженным. Давайте я вам расскажу такое абсолютно школьное доказательство, но в случае, когда поле, а в случае, когда поле K маленькое, несчётное, ну, то есть надо знать, что такое 68:05 Speaker A счётное, несчётное, а больше ничего не надо знать. Значит доказательство воду, да? Так, сейчас. А что мы доказываем? 68:16 Speaker A Мы доказываем, что поле K является большое является алгебраческим решением поля команды. Хошо ещё. Ну, в частности, значит, если вы хотите только на данный момент, никто вас не заставляет думать, что всё над комплексными числами, это значит, что любой элемент здесь 68:33 Speaker A удотворяет уравнению с комплексными коэффициентами, но значит он является самым комплексным числом. У алгебрачески замкнутого поля ничего такого не бывает. 68:43 Speaker A алгебрические решения все. Вот. Значит, если вы хотите произвольные поля, то это будет конечное решение поля K. Почему? Оно конечно пождено. Каждый элемент алгебраичен, значит, это конечное решение для обязательности парабельно. 69:01 Speaker A Хорошо. Значит, доказательство бонусное. Пусть мощность поля K, например, комплексные числа больше, чем мощность Z. 69:20 Speaker A А какова размерность поля K большого над полем K маленькое? Счёт максимум. Совершенно верно. Размерность кольца многочленов над полем K счётно, потому что вы можете перечислить все мономы. 69:40 Speaker A Многочлены порождаются мономами как векторное пространство. Ну а если вы возьмёте векторное пространство, от факторизуетесь по векторному пространству, то размерность не ником образом не может взрасти. 69:52 Speaker A Поэтому эта размерность не более, чем счёт. Ну там как-то надо писать альф. Но давайте так написать. 70:04 Speaker A Пусть элемент Z из k большого не албра маленьким, то есть не удовлетворяет ни одному уравнению P от Z рав 0, где P пробегает все многочлены от одной пере Ну, в частности, z - а, где а любой элемент в k, ну, тоже не 70:43 Speaker A алгебратически, да? Если z - а удовлетворяет уравнение, то z тоже удовлетворяет уравнение. Это называется замена в многочислении переменно. 70:59 Speaker A Но если z - а не удовлетворяет уравнению, то 1 - z - a тоже не удовлетворяет уравнение. 71:09 Speaker A Если один на число удовлетворять какому- поминальному уравнению, там можно сделать такой великий трюк, коэффициенты переставить местами, да, домножить всё на достаточно большую степень числа, убить знаменателя и тогда только этот. 71:23 Speaker A Ну тогда вот это множество, давайте заметим, что да. И, кстати, самое главное, даже можно так сказать, забудьте про не уравнению, просто z - а не равняется нулю. Ну, потому что иначе Z совпадало бы с элементом А. 71:43 Speaker A Ну, сколько у нас таких соотношений? Точнее, не от соотношений, отра. Ну, столько же, сколько элементов в поле. 71:52 Speaker A А это больше, чем счётное число. А мы сказали, что у нас размерность не больше, чем счётная. Поэтому это, ну, в зависимости от того, верите вы там в континую гипотезу или нет, оно как минимум континуальное. 72:07 Speaker A Достаточно то, что просто базис больше, чем счёт же. Да. Ну, контин гипотезу утверждаешь между континуальным и счётным либо существует, либо не существует. Ну, как бы главное, что оно больше, чем счётное. 72:19 Speaker A Вот. Ну, значит, что что? Значит, есть конечная по определению базиса конечная линейная комбинация, которая равна нулю. 72:28 Speaker A Отсюда следует, что существует B из K. И что сумма B на Z - A и от единицы до равняется K большое. 72:50 Speaker A Но домножите на произведение z - а получите уравнение до Z. Доказательство. Ну вот такое детское доказательство. Вот оно э из него можно вытащить большое доказательство, но, в принципе, примерно той же наукой, которой мы сейчас займёмся. Значит, а как мы будем 73:20 Speaker A доказывать вот это наше прекрасное безобразие? А нам не надо как-то аккуратно проверить, что вот если мы раскроем все скобки, то у нас не получится даже на нулевом после мы придём к общему знаменате. 73:32 Speaker A У вас все знаменатели не равны нулю, потому что я сказал Z - A = Ну для всех Z. Вы просто в поле работаете, поэтому вы в поле давно жили на знаменателе. 73:46 Speaker A Вот. Хорошо, давайте чуть более серьёзную вещь обсудим. Значит, здесь начинается интересный кватитивный алгебра. А пусть а пусть b А алгебра, то есть а и bситивная. 74:11 Speaker A Определение B из B называется C на это некоторый аналог из комутативной алгебры истории про алгебраические элементы прилушерении полей. Если а существует многочлен, а, ну вот по-английски это называется молик, я не знаю, как это называется по-русски, это приведённый называют себя. X в п а1 74:49 Speaker A Xn - пер п и так далее п. Ну, в общем, со старшим один. с коэффициентами в а такой, что p отb равня. То есть, когда вы изучаете решение полей, вы можете брать любой многочлен и всегда можете поделить на 75:10 Speaker A старший коэффициент, и вы получите как бы многочлен со старшим коэффициентом один. Если вы работаете в общем случае, то значит у вас, соответственно, над над просто каким-то кольцом вы уже не можете поделить на любой элемент. 75:24 Speaker A Поэтому вы требуете, чтобы старший коэффициент был один. Хорошо. А утверждение, которое мы хотим сейчас доказать, это то, что предложение, а элементы B целые на А образуют в V под кольцо. 76:07 Speaker A Ну, что значит образует под кольцо? Это значит, что на самом деле достаточно проверить следующее. Значит, достаточно проверить, что если B1 и B2 целые на а, то B1 + B2 и B1 x B2 целы на 2. 76:38 Speaker A Это такая коммутативная алгебрость, с которой начинается относительно современной алгебрический серия чисел. А, ну так абстрактно. B удовлетворяет какому-то, ну, уравнению со оставшимся членом один. P2 удовлетворяет как бы как найти уравнение, например, с целыми коэффициентами? Вы хотите, вы знаете, что B1 удовлетворяет 77:02 Speaker A уравнение с целыми коэффициентами. B2 уравнение с целыми коэффициентами со старшим членом один. Почему вдруг сумма или произведение тоже? 77:10 Speaker A Ну вот так вот а априори непонятно. Э есть такой приземлённый способ это доказать, но давайте чуть более интересный способ просмотрим, который как раз полезен. 77:24 Speaker A А доказательство будет через критерии. Критерий. А B из B C А тогда и только тогда, когда существует конечно порождённый под модуль. 77:50 Speaker A Сейчас я скажу через секунду. M, значит, а под модуль M в B такое, что B умножить B умножение на B сохраняет а и B M не равняется нулю, то есть B не зануляет все элементы Дальше. 78:23 Speaker A А сейчас мы что-то докажем. Я всё-таки кай пример дам, потому что он мне просто подвель. 78:29 Speaker A А что значит подмодуль? Ну подмодуль просто вот мы взяли какой-то конечно порождённый. Это значит, что мы взяли внутри B какой-то конечный набор элементов, рассматриваем их линейные комбинации с коэффициентами, конечное число. И дальше мы требуем, чтобы умножение, тем не менее, мы 78:46 Speaker A вспоминаем, что у нас есть это всё элементы кольца B. У нас в кальце B есть умножение, и умножение сохраняет этот модуль. 78:55 Speaker A Ну вот как бы пока не очень понятно. Давайте докажем этот критерий. Ну доказательство в одну сторону. 79:13 Speaker A Давайте докажем это сначала. Если на А, ну давайте в качестве модуля рассмотрим подмодуль, натянутый на а 1 b и так далее B в степени N - 1. Значит, я предполагаю, что B удовлетворяет вот такому уравнению степени N. 79:47 Speaker A Ну, что значит, что это подмодуль? Что это за подмодуль? То есть этот подмодуль это просто множество всех комбинаций А ит у B в степени I, где i пробегает от нуля до N - 1. Почему он, конечно, порождённый? Я скажу, что конечно 80:06 Speaker A порождённые, это мы задали фиксированный набор элементов, берём линейную комбинацию по определению конечно порождённых по построению. 80:13 Speaker A А почему он сохраняется? умножением на B. Ну, смотрите, у вас как бы каждый базисный элемент переходит в следующий, а куда переходит последний? B в степени N -1 приходит B в степени N. Но B в степени N с помощью вот этого 80:28 Speaker A прекрасного уравнения можно выразить через предыдущие степени. Поэтому умножение на B сохраняет этот подмок. И осталось самое главное последнее. Почему умножение на B вообще не отправляет всё в ноль? Не зануляет. 80:43 Speaker A Ну, потому что единичка есть, да? 1 у B, иначе B равно 0 и доказывать нечего. 80:50 Speaker A То есть один один всегда переходит не в ноль. Замечательно. Это как бы в одну сторону. 80:58 Speaker A Давайте теперь в обратную сторону проверим. Это очень короче. Значит, а пусть есть такой подвод. Пусть N порождён элементами, ну, давайте их как-то назовём X1 и так далее X N. 81:24 Speaker A Значит, что мы знаем? Мы знаем, что в кольце B, значит, где эти где лежат иксыты? Иксытые лежат в большом кольце B. 81:35 Speaker A Что делает умножение на B? Умножение на B этот модуль переводит в себя. Ну давайте подействуем с помощью B на X1. 81:47 Speaker A Что мы должны получить? Мы должны получить элементы модуля M. Но элементы модуля M - это линейная комбинация из XY. То есть мы можем написать B на X1 равняется A11X1 + A1 2X2 + и так далее + A1n Xn. Я 82:08 Speaker A не говорю, что единственным образом, я говорю, что каким-то образом мы можем это расписать. В этом как бы линейная лагер отличается от комутативной о том, что если у вас у вас не обязательно есть базис, но порождающий, мы говорим, что 82:19 Speaker A можно так записать и так далее. B XN равняется A N1 X1 + и так далее плюn Xn. 82:35 Speaker A Замечательно. Мы вернулись детства. Линейная алгебра решения системы уравнения. Что здесь написано? Здесь написана следующая вещь. Здесь написано, что X1 и так далее Xn транспонированно умножить на такую матрицу равняется нулю. 83:05 Speaker A Какая у нас матрица? Матрица имеет такой лику. А11 - B, А22 - B и так далее ANN - B. 83:25 Speaker A А теперь самое сложное - это понять, где строка, где столбец. А21 и так далее. А1. Ну, я думаю, что вы допишете дальше матрицу, да, что если умножить это на x1 и так далее xn, то мы получим ноль. 83:46 Speaker A Единственное, правда, у нас тут нет никакой линейной алгебры, то есть мы, в общем-то, казалось бы, ничего сказать не можем, но я утверждаю вот что. что в любом кольце не над полем, а в любом кольце выполнено вот что у нас. Определитель 84:07 Speaker A этой матрицы, давайте эту матрицу назовём а умножить на xт равняется нулю для любого x, ну, для любого вот для этих наших иксов. 84:25 Speaker A Ну, смотрите, вот в линии это такое странное утверждение. Пусть x1 и так далее xn является решением системы линейных уравнений. А чему вас учили на линейной алгебре? 84:39 Speaker A Ну, я не знаю, чему вас учили, но то, чему учу я вас - это то, что тогда определитель матрицы умножить на каждый коэффициент решения равен нулю. Если матрица не выраждена, то определитель не равен нулю. Отсюда следует, что ненулевой определитель умножить на 84:55 Speaker A каждый элемент равен нулю. Значит, у неёжденной матрицы есть одно только решение с тем уравнений ноль. 85:03 Speaker A Если матрица вырождена, то это утверждение бредовое. Оно говорит, что 0 умножить на все коэффициенты решения равно нулю и не даёт вам никакой информации, потому что вы занимаетесь линейной алгебра. А нам это даёт огромную информацию. 85:19 Speaker A По какой причине? Ну давайте, ну, во-первых, давайте поверим в это утверждение. Давайте я его оставлю героически в качестве задачи. Я включу это в задачи на какое из этого следствие для нас, как расписывается определитель вот этой матрицы? 85:38 Speaker A Многочлен от B. Совершенно верно. Многочлен от B. А относительно B какой у него старший коэффициент? 85:45 Speaker A Плюс мину1. Ну там и -1 в степени -1 в степени что-то, да? То есть, в частности, что мы получили? Мы получили, что для любого, что если мы возьмём вот этот определитель а, который есть какой-то многочлен от B, ну, давайте 85:59 Speaker A напишем -1 в степени N на многочленна от B, тогда старший коэффициент у этого многочлена, в частности, да? И вот эта замечательная вещь, она полностью зануляет, полностью вот эта штука зануляет наш модуль Ну вот я утверждаю, что отсюда следует, 86:28 Speaker A что P от B на самом деле равно нулю. Угу. Э, сейчас, может быть, я хочу чуть больше потре Давайте я чуть больше потребую. Давайте я, может быть, да, давайте я чуть больше потребую. 86:56 Speaker A Давайте я потребую, чтобы для любого сейчас нужно мне это или нет? Секунду. Почему не хочу пото, чтобы вам жалко? А, значит, давайте я всё-таки потребую, чтобы я чуть больше потребую, да? Давайте я потребую не то, чтобы B на m не ра не 87:46 Speaker A равнялся нулю. Давайте я для простоты потребую чтобы никакой ни нулевой многочлен P от B, если P от B не равен нулю, то P от B на M не равен нулю. То есть я как бы требовал, чтобы только 1б его не 88:06 Speaker A занулял. Давайте я потребую, чтобы никакой не нулевой многочлен от B его не занулял. Ну опять же из того, что когда мы доказывали в одну сторону, так как здесь была единица, то отсюда следует, что если многочлен не равен нулю, то умножить на единицу он 88:24 Speaker A тоже не равен нулю. То есть я потребую, чтобы B сохранял модуль. Отсюда следует, что любой многочлен сохраняет модуль при умножении. Давайте я потребую вот это. 88:32 Speaker A для любого многочного. Сейчас, а зачем это требование нужно? Потому что теперь что мы получили? Мы получили вот эту матрицу. Её определитель есть многочлен от B. Для любого X итого этот многочлен на X ит равен нулю. Но если он зануляет все 88:53 Speaker A образующие нашего модуля, то он зануляет любой измериент из нашего модуля. А мы потребовали, чтобы никакой не нулевой многочлен от B не занулял целикон наш моду. Значит, что мы от этого, что из этого следует? А из этого следует, что P 89:07 Speaker A от B равен, Ну всё, мы получили наш многочлен. Этот многочлен имеет старший коэффициент один уже. В частности B алгебраичен на два А. 89:24 Speaker A Вот такая смешная как бы почти линей следствие. И вот эти вещи как-то можно, ну, не как-то их можно пересказать, просто мне это не нравится через результанты и прочие вещи. Вот. Но в качестве следствия мы немедленно получаем, что если 89:53 Speaker A B1 и B2 целые над А, то B1B2 и B1 + B2 целые на Ну что нам нужно? Нам нужно предъявить, конечно, прождённый модуль. 90:20 Speaker A Ну пусть а B1 такое, что B1 в степени N плюс и так далее плюс ANP = 0. И пусть B2 такой, что B2 в степени M плюс и так далее плюс CM = 0. 90:43 Speaker A Давайте в качестве моего модуля большое я возьму модуль порождённый один, ну, порождённый всеми биномами B1 в степени I, B2 в степени G, где, соответственно, I равняется от 0 до N - 1, G равня от 0 до N -1. 91:06 Speaker A Он, конечно, порождённый, потому что он порождён таких биномов конечное число. ограничили степень, и он сохраняется умножением на B1B2, потому что как только вы перевалите через степень B1, вы используете уравнение, чтобы переписать. Когда вы перевалите через уравня через степень 91:25 Speaker A B2, вы используете уравнение, чтобы переписать меньше. Ну, по тем же соображениям несложно проверить, что любой многочлен, если вы подействуете так, как оно содержит единичку, то оно целиком модуль не убьёт. Всё, получаем, что множество таких элементов на самом деле замкнуто относительно 91:44 Speaker A сложения. Оно, очевидно, замкнуто относительно минуса. Оно, очевидно, тоже более-менее замкнуто относительно умножения на а. Потому что вы можете там коэффициенты доказать, в частности все целые элементы образуют подо. 91:59 Speaker A Другое следствие, давайте я его тоже включу в упражнение. Если а ABC и B целая над А и C цела над B, то C цела на А Bце на 2 означает, что любой Любой элемент B удовлетворяет является целым на А. Любой элемент C является 92:39 Speaker A целым. То, что когда вы изучаете там теорию полей, если поле алгебраично над этим, башня алгебраичных рашений является алгебраичным. 92:49 Speaker A Ну как бы план довольно несложный. Если c элемент C маленькое лежит в C, то C маленькое решение. 93:04 Speaker A Я тебе так напишу. C в степени N + B1 C в степени N - 1 п и так далее п BN равня. 93:15 Speaker A Ну теперь каждый из Bток тоже цел. И что вам нужно сделать? Вам нужно построить а подмодуль C, который сохраняется умножением на C. 93:27 Speaker A Ну вот как бы вы по каждому из этих BТХ можете построить свой подмодуль и там их поперемножать. 93:35 Speaker A То есть постройте под Теперь давайте вспомним, чем мы вообще занимались. Значит, главное, чему учат в таких школьных школьных. Почему учат в школе? 94:01 Speaker A Давайте посмотрим на Z над Q. Пусть у вас есть рациональное число, значит, какие элементы Q целые на Z. 94:27 Speaker A У вас вы хотите уравнения с целыми коэффициентами. x в степени n + а1x плюс и так далее плюс an равняется уровень. 94:42 Speaker A Теорема рациональных многочлена. Какая теорема? Рациональных колях многочлена. У нас должно быть q, видимо, один или -1, что такое. Значит, у нас есть простое. А что значит, что q1 или -1? 94:56 Speaker A Про дробь что мы можем сказать, если Ну она просто число целое. Совершенно верно да? 95:01 Speaker A То есть у вас есть решение такое уравнение, как рационально, то это целое число, да? 95:05 Speaker A Да. Ну и вообще в общем случае, если а это называется кольцо. Факториальное кольцо, да? Хорошо. 95:29 Speaker A Если это факториальное кольцо, да, факториальное, то есть, иначе говоря, если у вас есть единственность разложения на множители простые, то ровно по тем же соображениям, а если вы посмотрите на поле частных, конечно, поле частно, то целые элементы. 96:03 Speaker A Вообще в таком случае это называется целым замыканием. Вот множество элементов B целых на от А называется целым замыканием. А это только элементы А. 96:20 Speaker A А к чему я хочу это применять? Я это буду применять не к целым числам. Какое ещё мы знаем факториальное кольца? 96:28 Speaker A многочленных многочленных многочлены многочлены с каких переменных ну можем даже от двух но давайте от одной будем применять от одной значит теперь мы готовы доказывать доказывать нашу теорему кто-нибудь помнил что мы доказываем переводить. А, но мы её свели к такому утверждения. На 97:01 Speaker A самом деле мы свели к утверждению, что если K, а что если у вас есть решение полей и K конечно порождённое как K алгебра, то K алгебраично на K, то есть удовлетворяет какой-то. Хорошо, как, конечно, прождено, пусть оно прождено элементами X1 и так далее Xn, 97:43 Speaker A да? То есть любой элемент отсюда можно выразить как поминальную комбинацию вот этих вещей. Давайте применять математическую индукцию. 97:55 Speaker A Если оно порождено нулём образующим, то что мы можем сказать про k большое? Это маленькое, да, но оно уж точно алгебраиче отва. 98:09 Speaker A Теперь давайте посмотрим. Пусть индукционный переход, пусть у нас хотя бы одна образующая. Тут вступает принцип математической дихотомии. Значит, посмотрим на первое образующую. Она либо алгебраичная над маленьким полем, либо не алгебраична над маленьким полем. 98:28 Speaker A Если X1 алгебраично на K маленьким, то что мы знаем? Мы знаем, что у нас K лежит KX1, которое алгебраическое расширение, а здесь K. И K над KX маленьким прождено меньшим числом элементов. 98:51 Speaker A Тогда по предположению индукции K большое алгебраично над этим. Это алгебраично над этим. Значит, K большой алгебрач над вот этим. Вам не нужно знать ничего про поля, потому что можно считать, что это просто кольца и целые элементы. 99:05 Speaker A Для расширения полей это следует просто вот из того из той задачи, которую я обещаю включить в домашнее задание. 99:12 Speaker A Пристопчик транзитивность алгебраичности. Если K алгебреation, если элемент алгебреation над этим, а это алгебреation над этим, то, в частности, оно алгебреation. То есть если X1 алгебреation над K, мы закончили, потому что K большое, порождено элементами X2 и так далее Xn- 99:27 Speaker A это меньшее число образующих. Хорошо если X1 не алгебраично на K, что значит неалгебраично? Это значит, что по определению, что вы можете взять и посмотреть. Вообще у вас в k большом лежит совершенно честное кольцо многочленов kx1. 99:58 Speaker A Никакой, если вы будете вычислять все многочлены на x1, вы никогда ноль не получите. Они все разные, поэтому отображение из кольца многочленов от одной переменной в к большоективно. 100:10 Speaker A Поэтому здесь лежит вот это вот эта замечательная вещь. Ну, на самом деле, там ещё лежит в промежутке кольцо рациональных функций, поле рациональных функций, то есть все частные. И здесь лежит уже k большое. 100:30 Speaker A Хорошо. Значит, что мы теперь в свою очередь знаем? Мы знаем, что вот K большое над полем K от X1 порождено X2 и так далее Xr по предположению индукции, что это значит, дате чуть-чуть чуть-чуть алгебраично. алгебраично, да? 101:05 Speaker A Да, алгебраично. Алгебраично. А по старой традиции, когда все умирают, я начинаю рассказывать сшные истории. 101:17 Speaker A Значит, я когда-то давно был на конференции ээ в университете Майами, где происходила довольно забавная вещь. 101:27 Speaker A Значит, университет Майами, насаящий американский университет, зарабатывает, поэтому конференция происходила в часть некоторый комнаты, которую отделили такой переносной загородкой. И в нашей части комнаты ээ филский лауриат Максим Концевич рассказывал о том, как бы он доказал эвозики, как бы он опроверг позакбиа в одном 101:55 Speaker A докладе. Вот. А за Загородкой, э, был некоторый как это называется, наставник или коуч, который там приехали люди, заплатили большие деньги, чтобы он с ними поговорил, они стали успешными. И вот Маршим рассказывает, значит, как он бы доказал о проверке пользуана, а за 102:19 Speaker A загородкой, значит, большой наставник кричит: "Вы тебе должны сказать: "Вы лучшие". Человек говорит: "Вы лучшие". Он говорит: "Нет, вы должны сказать громче, мы лучшие". Ну и они так громче и громче говорят: "Да, ну до сих пор гипотеза недоказания проверки, да, но люди, 102:33 Speaker A возможно, стали лучше". Что мы знаем про про это расширение? Оно упреждено меньшим числом элементом, как положение индукции. Оно алгебраично, правильно? Алгебраично. 102:45 Speaker A Мы говорим порождено, мы имеем в виду как кольцо. Ну, оно порождено как кольцо над даже многочленными вот этими, потому что любой элемент. Поэтому оно, в частности, да, когда и ну мы и здесь говорим, что оно прождено как качество, но на самом 102:59 Speaker A деле как поле тоже нет. Ну если оно прождено как поле, то нет. Если оно прождено как поле, то нет. 103:08 Speaker A Ну вы как бы трансцедентно можете порождать, да? Поэтому нет, оно, конечно, порождено как кольцо в этом и смысл. Хорошо. Значит, в частности, отсюда что мы отсюда что следует? Следует, что X2 и так далее Xnгебраичная на K X1. 103:31 Speaker A Сейчас вопрос ещё раз. Ну, пойду показать, что K алгебраично над чем? K большое алгебраично над KX1 над полем рациональных функций от от вот этой самой первой первой периметр. Угу. 103:45 Speaker A Что? Что эти элементы алгебраичны над не над кольцом, они алгебраичные, да? Они алгебраичные над полем. 103:53 Speaker A Но мы выясняли, что это означает, что они удовлетворяют просто каким-то многочленам, где коэффициенты - это рациональные функции. 104:02 Speaker A Но если они удовлетворяют многочленам, которые коэффициенты рациональной функции, мы всегда можем так замечательно привести знаменатели, а именно мы можем взять и каждый из этих элементов домножить. 104:15 Speaker A на какой-нибудь один очень большой многочен отсюда, чтобы они стали уже удовлетворять уравнением тоже со старшим коэффициентом один, но у которых все коэффициенты, в свою очередь уже являются настоящими многочленками. 104:30 Speaker A Значит, я вам предлагаю самостоятельно это обдумать, но вот просто в качестве идиотского примера, давайте для чисел я просто напишу. То есть у вас есть решение уравнений какое-нибудь там такое плюс одна. Сейчас я страшно опозорсь. Ну давайте 1/4. То я говорю, что в таком 104:49 Speaker A случае 6x 6x удовлетворяет уже какому-то довольно вменяемому уравнению. Но надо вот это всё домножить на 6 ква, да? 105:03 Speaker A Тогда 6x удовлетворяет какому уравнению? Ну, домножите вот это на 6², и у вас все знаменатели утся. 105:14 Speaker A Там будет x² п 12. Давайте вот так вот. Вот. Давайте 2x. Видите, дискуссия началась. 105:24 Speaker A Нет, это я просто считать не умею. Ну вот один мой знакомый занимался тем, что он вфе отвечал на письма ферматистов, которые терема оказывал. 105:37 Speaker A И вот он объяснял, что единственный способ с ними их побороть - это найти арифметическую ошиб со мной такое не проходит. 105:45 Speaker A Вот, значит, следствие, что существует такой многочлен D от одной переменной X1 такой, что DX2 и так далее. DXN уже алгебраично над кольцом многочленов K от X1 уже над кольцом. То есть они удовлетворяют. Вы домножили x2 на какой-то многочлен, фиксированный от x1, 106:19 Speaker A и они удовлетворяют приведённым уравнением с коэффициентами многочленный отсюда. То есть они уже целые получается. Это назы они являются целы. Ой, да, простите, целые, да, спасибо. Целые над вот этим. 106:34 Speaker A А теперь начинается такой смешной момент. Ну, в частности, что мы можем сказать? А давайте возьмём какой-то многочлен, рассмотрим P от X1, многочлен отсюда K от X1. 107:04 Speaker A Но это, вообще говоря, элемент нашего большого поля. Часть можно взять у него обратной. Значит, посмотрим на обратный. Единица P от XX1. 107:17 Speaker A Он лежит где? Но он лежит вот в нашем K. Что такое? Многоча. Произвольный. Нет, произвольный. Окей. Рассмотрим произвольный многоч. Он лежит в к большом, а значит в которой есть что? в которой есть K порождённы X1 и так далее X. 107:45 Speaker A А, но у нас есть тут замечательное такое подполье, не подполье, а под, э, под алгебраждённая x1, ну, давайте я так это напишу dx2 и так далее dx. 108:01 Speaker A И они, вообще, говорят, все алгебраичеты уже в свою очередь. Ну, что вообще вот здесь написано? Здесь написано, что единица над px1 - это какая-то комбинация степеней x1 и так далее xn. 108:16 Speaker A Значит, что я вам теперь говорю? Давайте вспомним, что вот эти все элементы алгебраичны над kx1. 108:23 Speaker A Но тогда, если мы возьмём D в какой-то очень большой степени и домножим на единицу на P от X1, то вот это всё выражение станет комбинацией X1 и D на X2 и так далее d на Xn. То есть она уже будет лежать 108:42 Speaker A здесь. Это такой же трюк, как со знаменателями. домножили на достаточную степень до большого и уже получили элемент который теперь уже алгебраичен над kx1, да x1. 109:02 Speaker A Ну, вообще говоря, наш d - это тоже многочлен от x1. То есть мы написали, что здесь мы написали здесь некоторуюциональную функцию от одной переменной, кстати. 109:17 Speaker A Но мы только что объясняли, обсуждали, что кольцо многочв от одной переменной fx3. Поэтому если вот мы когда один на экспедит записываем через эти образующие да там, ну, это будет какой-то многочленный, там X2 Xn будет знаменателе. Как оно будет? 109:33 Speaker A Нет, оно, конечно, прождено то, что вы как раз мы с вами обсуждали. Оно прождено как алгебра, то есть единица на P от X1 всегда можно написать, например, как X1 + X2X3, да? То есть сверху квадратные скобки. 109:49 Speaker A Совершенно верно. В данном случае я напишу здесь d². Тогда здесь будет написано d от 2 d на x на x3. А здесь в смысле? Да, хорошо. Ну да, хорошо. Ну, чтобы не путать многочлены с Да. Хорошо. 110:09 Speaker A Значит, что теперь мы знаем? Мы знаем, что мы получили элемент поля частных кольца многочленов. по сути кольце забор над кольцом многочен, который цел над кольцом многочн. Но мы обсуждали, что целые элементы - это же просто многочлен. Видимо, цела невелич. 110:27 Speaker A У вас должность выделась вы всегда будете заменять алгебраческими национа. Хорошо. Спасибо. А, ну, в частности, отсюда следует, что d в степени n большое на p от x1. Давайте я прямо напишу, что это много от x лежит в kx. 110:53 Speaker A Ну, смотрите, это фиксированный многочлен. Для любого многочлена мы знаем, что мы можем взять степень нашего фиксированного такой, чтобы эта степень на него делилась. 111:06 Speaker A Такое бывает. похоже только если нулевой. А только если нулевой. Нет, ну если да, нулевой. 111:18 Speaker A Ну так хорошо. Ну это как-то неинтересно, да? У вас в любом кольце многочленов есть бесконечное число неприводимых. 111:26 Speaker A У степеней D прозложение входит только конечное число непреводимо. Поэтому давайте заметим, что это абсурд, потому что мы можем здесь пробежаться по всем неприводимым. Даже над конечным полем число неприводимых многоченно бесконечно. Это аргумент простые числа. 111:44 Speaker A Мы пришли к противоречию, потому что мы выяснили, что любой многочен делит какой-то степени D. Такого не бывает. 111:50 Speaker A Значит, предположение, что X1 не алгорище над K абсурдно, значит, X1 алгорище над K. И мы пришли сюда и кондукция. 111:58 Speaker A Сейчас А не зависит от B, да? N зависит от P. Это неважно. Если вы будете уводить один и тот же многочленной в степени, простые выделители не изменятся. 112:08 Speaker A Как мы достали то, что эта дробь лежит в многочленах от x1? Потому что это элемент рациональных функций от x1. И одновременно он является целым над многочление x1, потому что вот все элементы вот здесь целые. 112:24 Speaker A Угу. Потому что мы выяснили, что d отx2 и так далее d отn целые уже над Угу. 112:30 Speaker A на целые над kx1 вот здесь вот. Да. Угу. Спасибо. Ну да, в общем, мы как-то шли недостаточно, может быть, быстро, чем я хотел бы, но куда-то дошли. 112:46 Speaker A Давайте я скажу два слова по поводу того что собственно, дать, ну, как бы такое заключение. 112:58 Speaker A Значит, следующий шаг. Пока чего мы добились? Вообще говоря, мы добились вот чего. Пусть Пусть край любой поль тогда, а для любого максимального идеала консервного член переменных, э, фактор а по n конечное расширение. 113:32 Speaker A Ну, потому что это конечно порождённо алгебраическая конечное решение k А ну пример R отx фактор по x² + 1 замножи на c это конечное решение f то есть в частности у вас вообще как бы решения они так будут довольно интересно 114:00 Speaker A устроены если полевочески замкнутая, но тем не менее они будут соответствовать каким-то конечным расширению. Значит, как следствие, если замкнута, то имеется биекция между точками K и максимальный идеал. 114:34 Speaker A В Давайте заметим следующее, что точка А лежит в множестве V от. Ну что это значит? Это значит, что все элементы отсюда зануляются на А. 114:55 Speaker A Но это то же самое относительно этой векции, что и содержится в максимальном идеале MA. 115:04 Speaker A Это пересказывание, потому что а однозначно соответствует максимальному идеалу. И если хотите, это множество функций, которые зануляются на множестве. 115:17 Speaker A Поэтому забавное наблюдение заключается вот в чём, что, по крайней мере, если поле алгебраически замкнутое, то мы можем всё это переписать нескольким другим странным способом. 115:33 Speaker A Новоелогическое пространство. Точки это максимальные идеалы. Давайте назовём это предварительно спек от слова максимально. Топология это множество вида V от, где это множество таких максимальных идеалов M в а таких, что и содержится в Амери. 116:22 Speaker A Ну, по крайней мере, если к алгебраически замкнута, то мы каким-то шиворт на выворот образом избавились от точек и переписали всё в терминах идеала кольца. 116:37 Speaker A Ну вот в следующий раз мы уже начнём, как бы всё-таки я постараюсь пойти таким коварным путём, который я предполагал. 116:46 Speaker A Значит, на самом деле такая более современная алгеская геометрия начинается с того момента. Во-первых, мы заменим а не на кольцо многочленов, а вообще на любое кольцо. Во-вторых, мы вместо максимальных идеалов будем рассматривать множество всех простых идеалов. Определение топологии будет 117:05 Speaker A абсолютно такое же. И это даст нам некоторые топологические пространства. Значит, эти топологические пространства являются базовыми вещами, из которых склеиваются уже более сложные вещи. А с одной стороны, с другой стороны, как бы довольно долго, прямо вот в такой общности, может быть, нам эти 117:30 Speaker A пространства не понадобятся. Поэтому мы будем идти двумя путями одновременно, и это будет таким спасением. Значит, если вы хотите, вы можете одно ухо затыкать, когда мы будем говорить про произвольное кольцо и всё прочее, и слушать только одним ухом. А больше, ну, как бы 117:47 Speaker A параллельно каждый раз мы будем говорить: "А если а - это алгебра многочленных фактор по идеалу, то выполнено вот это, вот это, вот это". 117:56 Speaker A Если вы уже видели прокибногочленов и так далее, то вы можете затыкать там тоже или другое ухо, когда я говорю про алгебру многочленов и так далее, и слушать про тот момент, когда я говорю: "А вот если а - это произвольное кольцо, 118:08 Speaker A то выполнено это это ред". Но вот до какого-то момента я очень надеюсь, это такой эксперимент, что мы так далеко в принципе уйдём. 118:18 Speaker A Вот если, конечно, в какой-то момент вся аудитория с заткнутым левым ухом исчезнет, то, наверное, придётся переключаться. А если заткнутым правым ухом исчезнет, то придётся переключаться в другую сторону. 118:31 Speaker A А значит, наш план на следующий раз будет, собственно, такой. Ну вот мы определили какие-то топологические пространства. Просто на самом деле мы обсуждали множество решений системы линейных управлений. Значит, междуологическими пространством, естественно, рассматривают некоторые хорошие непрерывные отображения. 118:49 Speaker A То есть в следующий раз мы, во-первых, поговорим про морфизмы. Ну, второе, всё-таки мы аккуратно определим, что такое спектр кольца. 119:02 Speaker A А, и третье, мы, значит, мы обсудим некоторые топологические свойства. А, и потихоньку пойдём в направление пучка функции. 119:21 Speaker A Чок. Всё, если нет вопросов. А у меня вопрос есть. Есть. А мы те ему доказали? 119:33 Speaker A Я доказал. Доказали. Да, то есть есть такой хороший, ещё к счастью живой замечательный математик Акампа, который как-то читал курс лекций, где рассказывал про некоторое комменторное описание некоторых сложных сложных так называемых мологий флоера. 120:00 Speaker A И он как-то уже там к концу третьей лекции кто-то не выдержал из людей, которые неплохо разбирается мологих флора, которые с тяжёлой наукой, говорит: "Норберт, это гипотеза, это теорема, но мы же всё рассказывают рассказывают рассказывают". Вот так смотрит, говорит: 120:16 Speaker A "This is true". Могу опять говорит: "Нет, это всё-таки как бы доказанное утждение, это там предположим конструкцию накручивает, накручивает, но говорит: "This is true." Это удаля. Здесь есть тк. Topics: алгебраическая геометрия коммутативная алгебра многочлены аффинное пространство множество решений идеалы язык схем гомологии алгебраически замкнутое поле курс МЦМУ МИАН --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/algebraic-geometry-lecture-1-fonarev/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/