**2026-10-30 — Transcript & Summary | SozAI** Source: https://sozai.app/transcript/2026-10-30/ Запис онлайн-заняття з фізики: розбір домашніх задач на рівновагу, моменти сил, блоки з натягом нитки та механічні коливання й хвилі. ## Key Takeaways - Правило моментів сил дає розв'язок багатьох задач на рівновагу без розрахунку сил реакції опори - Прискорення зв'язаних тіл через нерозтяжну нитку рівні за модулем, а натяг знаходиться з рівнянь руху - Механічні коливання описуються диференціальним рівнянням, а механічна хвиля є коливанням, що поширюється в просторі ## What the video covers - Розбір домашнього завдання: сила Архімеда прикладена до центра мас витісненої рідини, а сила тяжіння до центра мас тіла - Задача про занурену паличку: через правило моментів отримано квадратне рівняння для безрозмірної частки зануреної довжини, корінь 2/3 - Аналіз задачі про блоки: чому прискорення тіл однакові за модулем і як визначається натяг нитки - Пояснення кінематики зв'язаних тіл і рівноприскореного руху з нульової початкової швидкості - Розгляд помилок учнів у задачах і логіка їх виправлення - Перехід до теми механічних коливань: означення, амплітуда, фаза - Вивід диференціального рівняння гармонічних коливань і зв'язок з прискоренням та omega^2 - Коливання рідини в U-подібній трубці та енергетичний розгляд - Нитяний (математичний) маятник і наближення малих кутів (перша чудова границя) - Затухаючі коливання, вимушені коливання, резонанс і механічні хвилі, перенесення енергії ## Chapters 1. 00:00 Початок запису та розбір домашнього завдання 2. 00:40 Сила Архімеда та задача про занурену паличку 3. 04:00 Задача про блоки і натяг нитки 4. 22:00 Механічні коливання: означення та амплітуда 5. 45:00 Диференціальне рівняння коливань і коливання в трубці 6. 88:00 Математичний маятник і затухаючі коливання 7. 123:20 Вимушені коливання, резонанс і механічні хвилі Answers ## Questions about this video Чому сила Архімеда прикладається до центра мас витісненої рідини? За поясненням викладача, сила Архімеда завжди прикладена до центра мас витісненої рідини, а не до самого тіла. Саме це важливо для розрахунку стійкості суден. Яке рівняння отримано в задачі про занурену паличку і який розв'язок? Правило моментів після скорочень дає квадратне рівняння x² - 2x + 8/9 = 0, де x - відношення зануреної довжини до всієї. Корені 4/3 і 2/3, але допустимий лише 2/3. Чому прискорення тіл у задачі з блоками рівні за модулем? Викладач пояснює, що нитка нерозтяжна, а тертя в блоці не враховується. Тому при однаковому переміщенні тіл їхні прискорення за модулем однакові. ## Full Transcript — Download SRT & Markdown 00:03 Speaker A Так, пішов запис. Наша з вами чергова зустріч. Ми починаємо знову ж таки з розбору домашнього завдання. 00:13 Speaker A В залежності від того, наскільки в цьому є потреба. Значить, з того ж так. Нікіта, слухаю вас. 00:22 Speaker A Потреба є. Шосте завдання, тільки одне питання. Там, в принципі, задача вирішується. Ну, не складно, але треба подумати. Куди прикладена сила Архімеда? 00:32 Speaker A Е-е, сила Архімеда прикладається до центра мас витісненої рідини. Ага. В даному випадку зрозуміло, що це буде до середини тієї частини палички, яка занурена в рідину. 00:46 Speaker A Завжди воно прикладається. Завжди центр мас витісненої рідини. Дякую. Зрозумів. І це важливо, коли розраховується стійкість суден, щоб вони не перевертались і так далі. 01:01 Speaker A Е, тобто сила тяжіння прикладається до центра мас судна, а сила Архімеда до центра мас витісненої рідини. 01:12 Speaker A Е-е, так. Е, добре. Значить, це стосовно оцієї шостої задачі. Ну, ви там бачили, я, е, задачі взяв, е, такий спосіб, щоб, ну, зараз я їх перенесу, е, для цього самого. 01:33 Speaker A Зараз момент. Так. Е-е, так. Перенесу ті задачі, які були на Давайте, щоб ми дійсно час даремно не витрачали. Ті задачі, які були помічені ЗНО, там у когось якісь проблеми були чи не були? Там, здається, перших п'ять задач, по-моєму, ЗНО чи чотири, 01:58 Speaker A е, чи перші чотири задачі. Мені здається, там нічого особливо розбирати. Далі, п'ята задача, знову ж таки, правило сил, ну, правило моментів. 02:14 Speaker A Задача номер п'ять. Так, є необхідність розбирати, говоріть, тому що в даному випадку це від вас залежить. 02:24 Speaker A Ні, немає. Так, шоста задача. Шоста задача. Частина палички занурена в рідину. О, там було запитання, я на нього відповів. А розв'язок треба чи не треба зараз робити? Чи самостійно в цьому розбираєтесь? 02:46 Speaker A Ну, там же воно знаходиться в рівновазі. Ну, просто за двома умовами рівноваги. Ну, відносно деякої точки. В даному випадку ми можемо взяти нерухому, до якої вона підвішена, і просто відносно неї рахувати моменти сил. 02:59 Speaker A Звичайно, там сил не треба, правило, тому що там є точка опори і вона силу реакції дасть ту, яку треба. Значить, тут треба достатньо правила моментів, тобто фактично на одну формулу. Тобто правильно записати моменти сил. 03:14 Speaker A І там що вийде? Вийде, коли ви, ну, якщо ваша невідома буде там K чи, як ви її позначите? Це відношення, ну, довжини зануреної частини до загальної довжини. 03:29 Speaker A Е, зрозуміло, що це число повинно бути більше нуля, менше одиниці. Так? А коли ви задачу розберете, ну, правильно запишете рівняння моментів, то після скорочень там кут взагалі не грає ролі. 03:43 Speaker A Е-е, після скорочень перерізу палички, довжини палички, прискорення вільного падіння ви отримаєте е квадратне рівняння відносно оцього безрозмірного параметра е K чи, наприклад, е. І в цьому е квадратному рівнянні буде ее квадратним рівнянням. Ну, я зараз його можу вам навіть записати, що 04:12 Speaker A це буде за рівняння. Рівняння буде мати такий вигляд. Зараз я запущу презентацію. Значить, рівняння матиме вигляд такий: якщо ось наша паличка, ось рідина, значить, тут у мене вона закріплена. 04:45 Speaker A Якщо повна довжина палички у мене L, і якщо оця занурена в рідину частина D, то x = D / L. Ну і зрозуміло, що х менше одиниці. Ну, теоретично х менше або дорівнює одиниці. А так от для цієї величини я отримаю зрештою 05:06 Speaker A квадратне рівняння x² мінус зараз я його ж тут, де воно в мене, -2x. А тут у вас залишиться так: плюс ρ1 /2 має бути теж безрозмірна величина. Тут е ніде розмірностей немає. І все це дорівнює нулю. Ну, ρ1 / ρ2 - це 8/9. Ви 05:29 Speaker A отримаєте x² - 2x + 8/9. Так от, дорівнює нулю. Ну і якщо ви це рівняння розв'яжете так, як е-е, ну, квадратне, зрозуміло, очевидно, то ви отримаєте, що x буде дорівнювати а-а буде дорівнювати так, е, тут плюс-мінус корінь квадратний із е-е 05:54 Speaker A 4/9. Або це буде 1 ± 1/3. І зрозуміло, що у вас два корені. 1 + 1/3 - це 4/3. Ми його не беремо до уваги, е, тому що область допустимих значень x від нуля до одиниці. І у вас залишається єдиний 06:12 Speaker A корінь x = 2/3. Це і буде правильний розв'язок цієї задачі. От фактично ваше завдання, ну, ви можете по-своєму, по-всякому розв'язувати, але, як на мене, то такий компактний розв'язок передбачає, що ви шукаєте саме оцю величину, яка є 06:34 Speaker A безрозмірною, і відносно неї е розв'язуєте рівняння. Рівняння єдине - це рівність моментів. Сила тяжіння обертає паличку за годинниковою стрілкою, а сила Архімеда, виштовхувальна, обертає проти годинникової стрілки. Е, сила Архімеда менша за величиною, але у неї більше плече, тому що сила Архімеда 06:54 Speaker A прикладена ось, на моєму рисунку, десь до цієї точки. А давайте їх синім позначу. А сила тяжіння прикладена відповідно ось до середини палички, до цієї точки. 07:10 Speaker A Тобто відповідно плече сили Архімеда буде більше. Е, так. Ну і знову ж таки плечі. Плечі сил е, ну, вони формально виражаються через кут, але далі цей кут скоротиться. Так як лінії дії сил є паралельними, то плечі, 07:40 Speaker A ось плече D1, це ось плече D2. Е, зрозуміло, що відношення D1 до D2 буде таке саме, як відношення, ну, ось оцієї довжини до цієї довжини. Ну, навпаки, D2 до D1. Так, значить, ну, цю задачу і так обговорили, 08:01 Speaker A пояснили. Тепер задача, в якій були помилки. Е, задача, в якій були помилки, - це задача номер, зараз, зараз скажу. Це задача номер сім. 08:19 Speaker A А значить, там у двох чи трьох людей однакова помилка. Зараз, зараз я цю задачу перетягну, і ми її розберемо, що тут не так. 08:42 Speaker A Так, зараз. Так, секунду. То ж воно правильно вставилось. Ну, е, так, так, так. Ось вона. 09:16 Speaker A Рисунок нормально видно, я думаю. Нормально. Запитується: е, знайти натяг, е, знайти натяг нитки у пристрої, 09:30 Speaker A е-е, значить, зображеному на рисунку. Маси тіл відповідно дорівнюють 200 г та 600 г. Значить, це у мене 200. Е-е, так. 09:39 Speaker A От. Давайте я тут напишу 200 г, це 600 г. Е-е, вагою блоків нітки знехтувати. 09:48 Speaker A Значить, е, в чому була помилка? Я зараз, е, ну, я тут словом, ті, хто зробив ці помилки, вони бачили там при моїх коментарях. 10:00 Speaker A Е, в чому суть помилки? Е, суть помилки ось у чому. Ну, давайте, по-перше, розв'язок, як робиться, а потім помилка. 10:12 Speaker A Значить, сила натягу нитки прикладена до тіла М1. І ця сила прикладена до цього блока. 10:23 Speaker A Тобто відповідно е-е, сила невідома, сила, яку мені треба знайти, вона ось діє в цьому напрямку. Вона так само діє в цьому напрямку, і вона діє в цьому напрямку. 10:35 Speaker A Таким чином, прискорення е блока першого. Ну, по-перше, е, я починав аналіз цієї задачі. Ось із чого. Припустимо, спочатку, що система знаходиться в стані рівноваги. 10:49 Speaker A В цьому випадку сила натягу нитки Т повинна дорівнювати 2 Н, для того щоб в рівновазі знаходилось тіло М1. 11:05 Speaker A От припустимо, що М1 в стані рівноваги, тоді сила натягу нитки буде дорівнювати 2 Н. Е, але якщо сила натягу нитки буде дорівнювати 2 Н, тоді 2 + 2 = 4 прикладено до тіла М2. 11:22 Speaker A І це означає, що е, значить, тіло М2 е буде не в рівновазі, тому що сила тяжіння, яка до нього діє, - це 6 Н. Чотири його не врівноважать. І це означає, що блок рухомий повинен опускатись. Відповідно, тіло М1 має підніматись вгору. Тому от 11:44 Speaker A із такого якісного аналізу я отримаю, що тіло М1 має прискорення, спрямоване вгору: А1 спрямоване вгору, а тіло 2 має прискорення А2, спрямоване вниз. 12:12 Speaker A Тепер зрозуміло, що ці прискорення створюються певними силами. Тобто M1 \* A1 буде дорівнювати сила натягу нитки Т - M1g. 12:25 Speaker A І прискорення другого тіла, значить, M2 A2 - прискорення буде дорівнювати M2g - 2T. Е, тепер, значить, е, тепер у мене виникає питання наступне. 12:51 Speaker A От там, де у вас виникала помилка, чи дорівнюють одне одному прискорення А1 і А2? 12:58 Speaker A От рівні вони одне одному чи ні? По модулю. Ну, у нас же тертя немає. Ну, мають бути рівні. 13:07 Speaker A Так. Так, а хто інакше думає? Тут тертя... Взагалі е ролі не грає. Ну, якби воно було, це просто б ще у вас були б дисипативні сили. Але е, для ну, в тому, що стосується прискорень, тут тертя взагалі ні до чого. Тут ми повинні 13:29 Speaker A говорити про кінематику руху зв'язаних тіл. От в початковий момент часу швидкість дорівнює нулю. Тепер, якщо тіло М1 підніметься на деяку висоту Δy1, ну, яка там буде дорівнювати, скажемо, H, 13:50 Speaker A Е, на яку висоту опуститься тіло М2? H2. Абсолютно точно. Дельта Y2 опуститься на ви на висоту H2. 14:06 Speaker A Але тепер що звідси випливає? Коли ми говоримо про рух, тіла починають рухатись стану спокою і рухаються рівно прискорено. Значить, у вас координата y1 міняється по закону. 14:23 Speaker A Е, ну, е, скажемо так, е, давайте я пишу модулі y1, щоб не не мати справи з від'ємними числами, ее, від'ємними значеннями. Вона буде мінятись по закону а1t² на 2, а модуль координати y2 буде мінятись по закону, ну, відносно 14:40 Speaker A початкового розташування цього тіла по закону а2т² на 2. Тобто, якщо відношення координат буде дорівнювати 1/2, то і відношення прискорень буде дорівнювати 1/2. Тобто, значить а1 дорівнює 2а2. 15:04 Speaker A прискорення легшого тіла вдвічі більше, ніж прискорення оцього тіла важкого. Якби було інакше, у мене щось би порушилось. Ну чому так? Е нитка ее піднялась на h, пройшла отут через блок і потім оця довжина h пополам розділилась на е оцю ліву частину нитки 15:26 Speaker A і праву частину нитки. Тому відповідно рухомий блок опустився на половину висоти. Значить, і от якщо ми це з вами помітили, то далі ми ділимо от ці рівняння, одне рівняння на інше. Отримаємо M1 / M2 і А1 / А2. Це буде двійка. І все це буде 15:52 Speaker A дорівнювати T -М1g, а тут M2g - 2Т. Ну, а далі уже елементарна система рівнянь. Ви хрест-нахрест це перемножаєте, е, і в результаті там, е, дуже простих таких нескладних перетворень, е, ви отримуєте, що, ее, Т буде дорівнювати, так, це буде 16:19 Speaker A 3м1м2g поділи 4Мm1 + m2. І після підстановки чисел ви отримаєте, що це буде 18/7 Ньютона. Ну або це приблизно 2,57. 16:45 Speaker A Були відповіді, здається, 2 Ньютони. І там джерелом помилки було саме те, що прискорення поклали рівними. 16:53 Speaker A Зрозуміло? Так. Так. От. Хто помилився, зверніть на це увагу. Значить, що стосується інших задач, ну, тут питання таке. Е, мені прийшло, ну, точніше на момент, коли я їх перевіряв ці завдання, сьогодні у мене було п'ять домашніх робіт. Е-е, 17:14 Speaker A значить, в частині робіт зроблені всі всі задачі. Або все правильно, або помилка в цій задачі. От я її розібрав. 17:25 Speaker A В інших роботах перші п'ять задач зроблені правильно, решта не розглядалась. Ну, якщо ніхто не наполягає, щоб я розбирав там, ну, шосту прокоментували, сьому розібрали. Восьма проста задача. Ну, достатньо. Там система наче громізка, але задача проста. Одне тіло тягне два і при цьому 17:46 Speaker A і себе розганяє. Тобто сила тяжіння прикладена до першого тіла, до найважчого тіла, того, що звисає, надає однакового прискорення всім трьом тілам. 17:55 Speaker A Ну і звідси можна знайти прискорення, а знаючи прискорення, знайти силу натягу там вказаної нитки. 18:02 Speaker A А тоді, ее детальніше ми про це далі не говоримо. І на цьому от розмову про домашнє завдання я завершую. 18:12 Speaker A Я на цьому її завершую, якщо ніхто не наполягає на іншому. Так зберегли. І тоді я переходжу до нашої наступної теми. 18:31 Speaker A Тут, хлопці, я вам говорив, е, що, ну, я вагався, я вагався, як далі рухатись. Тобто тут єсть два варіанти, е, навіть три. Значить, один варіант, це вважати, що ми механіку закінчили і далі розглядати, далі розглядати, ну, молекулярну фізику, термодинаміку, 19:04 Speaker A переходити до неї. А два питання з механіки, а саме м е коли механічні коливання і хвилі і елементи спеціальної теорії відносності. 19:17 Speaker A їх розглянути у відповідних темах, відповідних розділах, відповідно до програми зовнішнього незалежного оцінювання, так як воно там згруповано. 19:30 Speaker A Інший варіант полягає в тому, щоби якусь із цих тем все-таки розглядати разом з механікою, так як це робиться в шкільній програмі, тому що в шкільній програмі немає окремого блоку коливання і хвилі, а розглядаються механічні коливання і хвилі і потім електричні коливання і 19:46 Speaker A хвилі. Що стосується блока з теорії відносності, то він дійсно іде, знову ж таки в разом після, ну, в кінці там курсу частини от теми з меха, ну, механіки. 20:01 Speaker A Я от сьогодні думав, як краще поступити. Я вирішив поступити так. Ми з вами сьогодні е будемо говорити про механічні коливання і механічні хвилі. 20:13 Speaker A Е, коли буде час говорити про електричні, у нас будуть елементи повтора. Але вважається, ну, у всякому разі, я таке недавно прочитав, е, що, ее, аудиторія добре сприймає матеріал, коли він відсотків на 70 знайомий і тільки відсотків 30 там 20:33 Speaker A нового. То я думаю, от тема коливання і хвилі буде нормальна, якщо ми от спочатку розглянемо механічні, а потім в належний час після того, як уже там багато про електрику поговоримо, тобто у вже навесні будемо говорити про коливання електричні. І у нас ще раз 20:57 Speaker A будуть подібні формули, подібні співвідношення. Я думаю, так буде все. Ну, спробую зробити так. Раніше я так не робив. Ну, мені здається, так буде корисніше. 21:11 Speaker A Що стосується ось теми, присвяченої спеціа елементам спеціальної теорії відносності, там зовсім небагато матеріалу в шкільній програмі. 21:23 Speaker A Е, ну і подивимось, як. Ее я думаю, що буде краще, якщо все-таки її розглядати там в серед блока тем, присвячених, ну, давайте говорити новій фізиці або тій фізиці, яка народилась у XX столітті. Ее там буде і елементи спеціальної теорії відносності, елементи 21:46 Speaker A квантової теорії, е, ну, елементи там фізики, ядра. Ее, от в цих останніх темах можна теорію відносності розглянути, можна їх винести туди, але ну подивимось. Думаю, що я зроблю так. 22:03 Speaker A Е, тому сьогоднішня наша тема - це механічні коливання і хвилі. Почнемо із деякого е загального означення. 22:29 Speaker A Значить, уявимо собі, що у вас єсть деяка механічна вимірювана величина. Ну, нехай це буде координата тіла х і нехай ця коорди, але не обов'язково координата х. Е, значить, нехай ця величина ее міняється в часі по такому закону, що у вас виконується х в момент 22:53 Speaker A часу tється з х момент часу t + t велике. Тоді, ну, давайте побудуємо якийсь можливий графік такого, е, процесу. 23:21 Speaker A Ну, давайте уявимо собі щось, наприклад, ось таке. Або я можу уявити собі щось ось таке. 23:49 Speaker A Е важливо що у мене значення величини повторюється через т велике секунд в даному випадку і так далі. 24:12 Speaker A Ну, Т я 2Т 3ТТ 2Т, тобто я інтервали позначаю. От якщо ми маємо такий фізичний процес, то ми кажемо, що ми спостерігаємо деяке коливання. 24:28 Speaker A При цьому величина Т буде називатись періодом коливань, а значить відповідно величина одиниця на т, яку ми позначаємо літерою ню грецькою або іноді ее іноді f е-е ну якщо ви зустрінете F, то щоб вас не лякало. Отаке ось е-е значить цю 24:57 Speaker A величину ми називаємо е-е частотою і вимірюємо її в герцах. Частота коливань. Ну і е-е давайте поки що е на цьому е-е от про це означення. 25:21 Speaker A Тобто ми бачимо, що коли ми говоримо про коливальний рух, ми використовуємо деякі характеристики цього коливального руху, а які, ее, збігаються за назвою з, ее, рухом тіла рівномірним рухом по колу. Е чому так? 25:42 Speaker A Ну, тому що у випадку, коли тіло рухається по колу, то ми, звичайно, спостерігаємо деякі коливання. От уявимо собі ось XY тіло обертається по коловій траєкторії. 25:58 Speaker A А і якщо обертання здійснюється з кутовою швидкістю омега, то де ее то повний оберт робиться за період t, який дорівнює 2пі по омега. 26:15 Speaker A А, і в цьому випадку координата міняється по закону дорівнює, ну, давайте я радіус позначу а не R, а а значить х міняється по закону = аси омегат. Я вважаю, що тіло стартувало ось з цієї початкової точки в момент часу t = 0. Ну, а y буде 26:40 Speaker A мінятись, відповідно по закону y буде дорівнювати а синус омегат. Е, як бачимо, ну, я можу переписати ці формули у формі аcos 2πТ пот велике, а це а синус е 2 піт по велике. Е, як бачимо, ми е-е маємо якраз 27:07 Speaker A той випадок, про який я казав. вт + t велике дорівнює вт. Причому це справедливо не тільки для tт = 0, t = t і так далі. Це справедливо для будь-якого ікса, для будь-якого моменту часу, вибачте. 27:25 Speaker A Е, отже, ее, рух по колу е це єсть періодичний рух. І в цьому цей рух по колу породжує у мене, ну, дві скалярні фізичні величини: координату х і координату Y, проекції е-е матеріальної точки на вісь іксів і вісь 27:44 Speaker A ігреків. І ці дві проекції змінюються по періодичному закону, закону косинуса і закону синуса відповідно. Тому немає нічого дивного в тому, що термінологія, яка характеризує обертальний рух, перетинається з термінологію і позначеннями, які характеризують рух коливальний. 28:05 Speaker A А тепер тепер звернемо увагу на те, що в моїй задачі оцій, ну, в цьому прикладі з обертальним рухом, а сих і y міняються по цілком визначеному закону. Давайте ми зосередимо свою увагу на іксі, а про y, ну, забудемо. Е, нас буде цікавити х 28:31 Speaker A міняється по закону. а ее косинус е омегат. От таке коливання, яке відбувається по закону косинуса або по закону синуса, ми називаємо гармонічним коливанням. 28:46 Speaker A Ее з причин, які стануть, е, зрозумілі, або, можливо, вам уже зрозумілі, або які стануть зрозумілі в процесі сьогоднішнього нашого заняття, е, ну, трохи стануть зрозумілішими. Е-е, гармонічні коливання посідають особливе місце в теорії коливань, в фізичних процесах, м-м і на вивченні ее 29:07 Speaker A гармонічних коливань. Ну, по-перше, ми зосереджуємо увагу, коли е-е вивчаємо коливання як такі. Е, і по-друге, ну, якщо далі ви будете вивчати фізику, то будете знати, що там через подібного роду функції описують, ну, різноманітні процеси і так далі. Тобто гармонічні 29:27 Speaker A коливання посідають, скажемо, особливе місце. Е, і тому ми зосереджуємо нашу увагу на вивченні саме гармонічних коливань. Е, чому особливе місце? Ну, тому що єсть певні фізичні причини для цього. 29:42 Speaker A Так, чи єсть до цього запитання? От до того, що я зараз вам говорю? Поки нема. 29:49 Speaker A Нема. А-а, так. Е-е, ну, е-е, в моєму, е-е, записі для гармонічного коливання не вистачає ще однії одного доданку, е-е, який я зараз запишу. Я тоді не скажу, як називається, яка буква. Е-е, і тут от має бути ще доданок фі0. 30:12 Speaker A От якщо я введу цей ще доданок отам під косинус, він вимірюється в радіанах фі0 ця величина. Тоді обираючи фіноль, я тут можу отримати синус, мінус, синус, ну, все, що завгодно, тобто будь-яку отаку гармонічну функцію. 30:28 Speaker A От ее цей вигляд, це загальний, тепер найбільш загальний вигляд для гармонічного коливання. І в цьому записі, а - це амплітуда коливання. 30:38 Speaker A Амплітуда - це відповідно найбільше значення величини, що найбільше відхилення величини або найбільше зміщення величини, що коливається від деякого рівноважного там чи середнього значення. 30:55 Speaker A Ее далі, ее омега. Омега тепер буде називатись, ее, дивіться, звідки воно у нас виникло. Воно у нас виникла із кутової швидкості, е-е, але, ее, тепер вона має інший с, ее, зміст. Я забув, що у мене єсть y. Я зосереджений тільки на 31:13 Speaker A іксі. Е, і тоді оця величина омега буде називатись циклічною частотою. Зрозумілий зв'язок циклічної частоти із звичайною частотою омега дорівнює 2 пію. 31:34 Speaker A З точки зору одиниці вимірювання, ну, тут так. Ню вимірюється в герцах. Герц - це оберна одиниця поділити на секунду. 31:43 Speaker A Ее омега в радіанах за секунду 2 піді, ну, так як циклічна частота. Я так як кутова швидкість. Але враховуючи те, що радіан безрозмірний, то, ну, це якби майже одне і те саме. 31:59 Speaker A Тепер, е, зрозумілий також вираз омега через період, тобто омега = 2 пі / t. Я цю формулу уже писав для кутової швидкості. Е, тепер величина в дужці, е, це єсть фі вт. От все це разом, що стоїть під косинусом. І оця величина 32:21 Speaker A називається миттєва фаза. Тобто фазою гармонічного коливання називають аргумент косинуса або синуса. Ну, в якому вигляді ви обрали для себе записувати х? Ну, я буду записувати у вигляді косинус. 32:44 Speaker A Фаза - це те, що стоїть під знаком там в дужках те, що є аргументом косинуса. Що ви визначає значення косинуса? 32:55 Speaker A Ми бачимо, що фаза для гармонічного коливання лінійно змінюється в часі. Вона пропорці має доданок омегат - це лінійна функція t. Е, і ми бачимо, що тут єсть величина фінолі, яка називається початковою фазою. Значить, початкова фаза, ну, залежить від того, в 33:15 Speaker A який момент ми запускаємо годинник, секундомір, спостерігаючи коливання. Я далі для того, щоби менше було бук і простіші записи, буду вважати, що початкова фаза фі0 дорівнює 0. 33:33 Speaker A Буду от розглядати такий самий коливальний рук. Тепер далі я хочу провести аналіз того, як у мене буде змінюватись - це координата. Тепер мене цікавить, як буде мінятись швидкість і яким буде прискорення. 33:59 Speaker A Тепер хлопці, дівчата. Так, дівчата ж у нас хтось есть, правильно? Тут, е-е, скажіть, будь ласка, ее як ми будемо е-е як ми як ви хочете, щоби я пояснював е закономірності, виводив швидкість і прискорення. Зробити це за допомогою геометричної побудови, 34:23 Speaker A е, і аналіза руху по колу, не залучаючи сюди ее поняття похідної. чи менше малювати і отримати вираз для швидкості і прискорення просто шляхом диференціювання, чи зробити і так, і так? 34:42 Speaker A Ну, і так, і так. А, і так, і так. От правильно. Значить, якщо можна більше, то давайте більше. 34:47 Speaker A Добре. Ну, правильний підхід. Ее, значить, давайте тоді розпочнемо ось з чого. Я розпочну із геометричного пояснення, яке можна навести, е-е, ну, в аудиторії незнайомій з поняттям похідної і, ну, елементами от диференціального числення. 35:09 Speaker A А розглянемо знову ж таки, але вважаємо, що аудиторія знайома з, е, геометрія і немає проблем з синусами, косинусами і векторами. 35:25 Speaker A Ну, то, тобто десь так дев'ятий, правильно клас. Ну, трошки в мене рисунок. Зараз я акуратніше зроблю. 35:39 Speaker A Значить, знову ж таки, повертаємось, е, до того, що, ее, гармонічне коливання ікса виникає тоді, коли ми розглядаємо рух проекції деякої матеріальної точки, а, яка обертається з постійною кутовою швидкістю омега, е-е, ну, навколо початку координат, е, і, е-е, Радіус, 36:07 Speaker A значить ну радіус траєкторії дорівнює А. Давайте я тепер, е, тут ось у мене х це та величина, яка міняється в часі по закону вт. Значить, я отримав, що, ну, я синім писав, давайте буду далі синім писати. Вт дорівнює, якщо це у мене 36:31 Speaker A довжина а, то а косинус омегат. В початковий момент часу тіло знаходилось ось тут. Тепер Тепер давайте подивимось, куди у мене спрямований вектор швидкості. 36:45 Speaker A Вектор швидкості спрямований ее по дотичній до кола. Ну я погано тут у мене коло нарисоване, но я хочу, щоб тут правильно кути були вказані. 37:01 Speaker A Значить, е, що неправильно? Ну, я тут як січну його намалював, а тут має бути все-таки дотичне, тобто має бути якось отак от. 37:16 Speaker A А, і це у мене єсть вектор швидкості. Вектор швидкості V. Е, чому буде дорівнювати тепер Vx? 37:28 Speaker A Для того, щоб знайти Vx, ми повинні зробити ось що. Ось у мене кут фі, миттєва фаза. 37:37 Speaker A А-а тепер е, для того, щоб знайти Vx, Vx - це ось ця проекція. Ось вона. 37:46 Speaker A Або ось Vx. Це ось Vx. Е, як буде визначатись Vx? Де у мене тут кут фі? 38:01 Speaker A Ось кут фі. Значить, для Vx я можу написати ось що. Vx ее буде дорівнювати Vxт буде дорівнювати чому? 38:19 Speaker A амплітуда швидкості V, тобто, ну, просто модуль V помножити на синус омегат, тобто на фазу, і із знаком мінус, тому що спрямовано в протилежному напрямку. 38:36 Speaker A Зрозуміло це чи ні? Воно зрозуміло, але у нас кут фі може змінюватися і там навіть прискорення не буде сталим. 38:53 Speaker A Не буде, звичайно. У вас фі міняється. Фі = омегат. Тому я тут і зразу і написав не косинус фі, а написав косинус омегат. На тут синус омегат. Для кожного моменту часу от швидкість буде такою. Я просто показую, що вона теж міняється по 39:10 Speaker A гармонічному закону. Е, але у неї інша фаза. Е, фаза для швидкості на ее 90° на пільша. От, е, у мене вектор цей повернутий на кут фі, а вектор швидкості от я продовжую отак от. 39:26 Speaker A І потім його сюди от подивитись. Його ще треба довернути на 90°. Ще на піна. 39:32 Speaker A Я міг би написати отут от vх = V на косинус омегат + пі на/ 2. Ну, а далі от косинус омегат + пі/ на 2 дасть мені косинус альфа, косинус бета, косинус пі/ 2 0 і мінус синус омегат пом си пі / 2 39:52 Speaker A одиниця. Тобто якраз оцей мінус си омегат. Тобто зрозуміло, як вих я шукаю. Я знаю, що єсть оця швидкість V амплітудна і орієнтація вектора в часі міняється, тому V міняється. Звичайно, я тут формулу для Vx можу написати ще ось як. Я пригадаю, що величина V 40:20 Speaker A дорівнює радіус траєкторії. Я її позначив буквою А. І цю величину на треба помножити на омега, на кутову швидкість. Ну, пам'ятаєте, V = омега R. 40:36 Speaker A Це зв'язок між кутовою швидкістю і швидкістю лінійною. Тому оцю формулу для Vx я перепишу отак от. 40:46 Speaker A Мінус омега синус омегат. І тепер я зроблю те ж саме для прискорення. Вектор прискорення спрямований в напрямку протилежному до радіус вектора. 41:03 Speaker A Ось так. Для того, щоб знайти прискорення ах, я повинен спроектувати цей вектор на горизонтальну вісь. І знову ж таки у мене кут фі, ось він тепер. 41:17 Speaker A Тобто я для прискорення тепер маю, що прискорення буде дорівнювати ах саме проекція прискорення вт дорівнювати е знак мінус ее амплітуда прискорення. Амплітуда - це доцентрове прискорення, це омега² r омега² помножи на радіус. 41:42 Speaker A І тут у вас залишається косинус омегат. Чому косинус омегат? Тому що омегат - це фі. Отут скрізь оці ось омегат - це фіттєве значення фази. 41:54 Speaker A Ось я отримав зв'язок між ее координатою, швидкістю і прискоренням, які характеризують е-е гармонічне коливання. 42:09 Speaker A Розумієте, якщо х міняється по певному закону, то і швидкість повинна мінятись по однозначно заданому закону. Закон х відт визна визначає закон зміни V вт. Як міняється швидкість в часі? Це однозначно визначає прискорги. 42:29 Speaker A І тому, якщо я вивів цей зв'язок для певної ситуації, то завжди, коли х буде мінятись по закону а косинус омегат, швидкість тобто ну, швидкість в даному випадку, як ми і звичайно розуміємо, миттєва швидкість дельтах поді дельтат буде мінятись ось 42:50 Speaker A по такому закону, а прискорення буде виражатись ось цією формулою. Тепер давайте я ті ж самі формули отримаю просто за допомогою похідних, так як це робиться, ну, так, як це, звичайно, робиться, коли ми з ними познайомились. І так, координата 43:11 Speaker A тіла, нехай міняється по закону вт = аси омегат. Тоді швидкість V вт - це єсть Ш'три похідна від і похідна від ікса буде дорівнювати похідна від косинуса, це мінус синус і похідна внутрішньої функції омега. Тобто буде мінус омегаа 43:33 Speaker A синус омегат. Зрозуміло, чому так? Да. Так. Всі пам'ятають правило диференціювання складних функцій. функції від функції у вас косинус, а вкладена функція внутрішня це омегат. Тобто похідна зовнішньої функції косинуса - це мінус синус, а похідна внутрішньої функції ее - це 44:01 Speaker A омега. В результаті отримуємо - омегаа сину омегат. Ну і так само прискорення а це єсть похідна від швидкості. І це буде дорівнювати, знову ж похідна синуса - це косинус. І від внутрішньої функції омега я отримаю міну омега квадра а косинус 44:19 Speaker A омегат. Як бачите, ми отримали ті ж самі формули. Ми могли їх отримати просто аналізуючи рух по колу і зосередивши свою увагу не на амп ну не на швидкості і прискоренні, як абсолютні знач значення їх, а зосередивши нашу увагу 44:38 Speaker A саме на проекціях цих величин на вісь горизонтальну. Тобто мене цікавить проекція радіус вектора координата, проекція швидкості е Vx похідна від ікса і ее прискорення ах. 44:56 Speaker A Ну давайте я тут а правильно ж напишу ах і тут Vx. Отримали. Отримали от знову ж таки ті ж самі формули. І тепер я звертаю вашу увагу на зв'язок між прискоренням і координатою. 45:19 Speaker A Дивіться, в прискоренні есть множник міну омега квадрат, а отут у вас есть ее оцей ось добуток. І це єсть нещо інше, як вт. 45:31 Speaker A Отже, ми отримуємо, що прискорення ах дорівнює - омега квах, де і прискорення міняється в часі, і координата міняється в часі. Тобто це зв'язок між двома функціями. Це не є зв'язок між між величинами, е, тобто між числами. Е, а, е-е, залежить від часу і 45:58 Speaker A х залежить від часу. Давайте я це підкреслю. Ахт = - о²хт. Ее виявляється, що якщо система здійснює гармонічні коливання, ну, тіло здійснює гармонічні коливання, координата його міняється по гармонічному закону, то між прискоренням і координатою от існує такий зв'язок. 46:25 Speaker A І от це рівняння визначає, можна справедливо протилежне твердження. Це рівняння визначає умову, коли виникають гармонічні коливання. Якщо прискорення, з яким рухається величина, пропорційне, прямо пропорційне координаті з протилежним знаком. 46:47 Speaker A Тепер Тепер давайте подумаємо, коли може виникати така ситуація. Прискорення ах це есть це єсть ось що це єсть сила, що діє на тіло повернути на масу. 47:11 Speaker A Е, очевидно, коли тіло здійснює коливання, то існує якась сила, яка повертає його в стан рівноваги. тіло відхиляється від х = 0 і виникає сила, яка його повертає назад. 47:27 Speaker A Е-е сила виходить, от якщо я порівняю ці два співвідношення, ее то я отримаю ось що. Е-е, що F на m повинна дорівнювати - Оме² або сила F повинна дорівнювати - Оме² помножити на масу і помножити на або - 47:55 Speaker A kx. Де у вас виникає ситуація, де сила дорівнює - kx? А закон Гука. Закон Гука. Абсолютно точно. Тому фактично першим прикладом коливальної системи, от рух по колу для мене був допоміжний приклад. Я показав, що з точки зору кінематики, саме з точки 48:19 Speaker A зору кінематики, я можу пояснити зв'язки між, е, звідки береться гармонічне коливання по-перше і по-друге встановити зв'язки між ее координатою швидкістю прискоренням, ее за допомогою, ну, не аналогії, а просто показуючи, як міняється проекція. координати швидкості, радіус вектора швидкості і 48:39 Speaker A прискорення на одну з осей при рівномірному обертанні по колу. Ее я знайшов зв'язок між прискоренням і координатою. 48:48 Speaker A І далі я уже переходжу до ситуації з динамікою такого руху. Я з'ясовую, яка сила може змусити тіло здійснювати гармонічні коливання. Ми вже не говоримо про оберетальний рух. Ми говоримо просто про одну координату, яка міняється. Ми бачимо, що така такою силою буде 49:07 Speaker A виступати сила пружності, яка, ну, описується законом гука. Звичайно, приклад рисують так. Розглянемо, ее, горизонтальну поверхню. 49:21 Speaker A На ній встановлений візок. Візок має масу, а, і він з'єднаний з вертикальною стіною, пружинкою, з коефіцієнтом пружності K. 49:32 Speaker A трошки складна конструкція, але вона, ну, простіше намалювати вантаж, підвішений на пружину. І, ее, значить, якщо так, якщо б я хотів цей експеримент продемонструвати, я б, звичайно, взяв би вантаж підвішений напруженні, але там трошки треба деякі викладки зробити. Ми їх зробимо як 49:54 Speaker A задачу. А от аналізувати краще от на такому прикладі. Чому? Тому що, якщо у вас пружина не розтягнута, якщо х = 0, то сили немає. 50:06 Speaker A Тут у мене нуль. Тепер, якщо я відхиляю, монтаж від'їжджає від візок від'їжджає від ікса, якщо він зміщується на величину х, е, е-е, ее, так, якщо він має зміщення х, то в цьому випадку виникає сила, яка повертає його в стан рівноваги. І ця сила f 50:40 Speaker A буде дорівнювати - kx, де мінус істотний в даному випадку це в мене а тут, ну, зрозуміло. Значить, сила f = -kx. Знак мінус показує, що сила спрямована в напрямку протилежному до знака зміщення х. І якщо зміщення відхилення від рівноваги додатнє, то 51:02 Speaker A сила від'ємна, вона повертає тіло в стан рівноваги. Е, якщо пружинка стиснеться, е, сила буде штовхати тіло знову ж вперед до стану рівноваги. Ну, тоді х буде від'ємним. 51:14 Speaker A Ее, отже, ми, е, побачили, де виникає от саме такий зв'язок. І, до речі, ми зразу з вами побачили зв'язок між ее масою, коефіцієнтом пружності і періодом коливання. Для цього, подивіться, я сказав, що f повинно дорівнювати омега квадрат помножи, 51:38 Speaker A а з іншого боку е і помножити нах. F = - kx коефіцієнт пружності. Оці два підкреслених ну ці омега² mвин дорівнювати k. k - це одне те ж саме. Ее тому що f - це у мене сила пружності. І що це означає? Це 52:00 Speaker A означає, що я далі можу написати таке: е оме² \* m = k, або звідси випливає, що омега дорівнює корінь квадратний k по. 52:16 Speaker A Або якщо я тепер згадаю, що омега - це єсть 2 пі подіт, то період коливань тіла на пружинці це буде 2пі корінь квадрат нам на k. 52:32 Speaker A Зрозуміло, звідки взялась формула? В принципі, так. В принципі, так. Ее можна зробити інакше. Е, можна скласти оце ось рівняння, починаючи із закона Гука, от з цього місця. Можна сказати, що прискорення ах буде дорівнювати - k / m \* x. - k нах 53:01 Speaker A сила пружності поділити m - це прискорення. Тоді ми отримуємо рівняння виду ax + k / mx = 0. Причому, що це за рівняння? Це рівняння для функції. 53:15 Speaker A Тепер я пригадую, що а - це єсть друга похідна ікса. Це єсть x2' + k / mx = 0. 53:25 Speaker A І оте, що ми отримали, називається диференціальним рівнянням. Це те, чого ее в школі не вчать. І правильно, тому що це все-таки, ну, е на кожному рівні освіти свій набір понять. Е це одне з найпростіших диференціальних рівнянь. Ее звичайне диференціальне рівняння лінійне 53:43 Speaker A другого порядку із сталими коефіцієнтами однорідне. Стали сталі коефіцієнти. Це означає, що отут множники не залежать від часу. Однорідне отут у вас нуль. Е-е лінійність означає, що у вас немає x², немає похідних в квадраті і так далі. Е, і, е, легко. І що це? Що означає це 54:02 Speaker A рівняння? Де шукати розв'язок? Розв'язок - це функція вт. Тобто це рівняння на пошук саме функції, не числа, а функції. 54:12 Speaker A Флорним рівняння єсть функція його розв'язком. Ну і далі легко переконатись, що функція вигляду загального вт = а косинус омегат п ф0 буде розв'язком цього рівняння. Де число а довільна константа, фін0 довільна константа, а омега повинна задовольняти ось саме цю властивість. Омега квадрат 54:38 Speaker A повинно дорівнювати k на m. Ви можете легко в цьому переконатись. Підставте оц в це рівняння. 54:45 Speaker A Тут без змін, а тут треба взяти другу похідну. Перша похідна дасть вам множник омега і знак мінус. Друга похідна синус перетворений назад в косинус і ще один буде множник омега. В результаті ви отримаєте от рівняння такого вигляду. 55:00 Speaker A Коли винесете аси омегат + фі0 за дужку, то у вас залишиться так: - омега² + k/ m е і помножити на аси омегат + φ0. Ось це те, що у вас залишиться. І це буде дорівнювати нулю. 55:17 Speaker A І це має виконуватись для будь-якого моменту часу t. Оскільки косинус дорівнює нулю тільки в певних точках, то цей множник не дорівнює нулю. Амплітуда нульова нас не цікавить. І звідси однозначно випливає, що частота повинна дорівнювати k поділи квадрат циклічної частоти повинен 55:38 Speaker A дорівнювати k / n. Ну, отак от можна пояснити, якщо використовувати апарат похідних. Я спробував в своєму поясненні цього, знову ж таки, уникнути. Ее, ну, у всякому разі показати альтернативне пояснення, яке не вимагає похідних. 55:57 Speaker A І от воно, знову ж таки, до чого зводилось. Ми знайшли зв'язок між прискоренням і координатою. Е-е, сказали, що, е-е, прискорення - це сила поділити на масу. Е-е, записали сила на масу дорівнює - оме²х і згадали, що такий зв'язок виконується, коли ми маємо 56:19 Speaker A справу з рухом. Е-е, ну, такий зв'язок ми маємо маємо тоді, коли сила - це сила пружності. Тобто, коли х - це відхилення, це зміщення ее тіла на пружинці від стану рівноваги. Це видовження пружин. Так, Нікіта, слухаю. 56:37 Speaker A А ми кутове прискорення не враховуємо, тобто, ну, без нього, правильно? А, а де у нас тут? Ні, у нас тут стоп кутового прискорення у нас тут взагалі нема. 56:45 Speaker A Ми говоримо зараз про одномірний рух. Вона, у мене немає ніяких кутових. Е, я вже забув про обертання. 56:53 Speaker A Обертання мені було необхідне тільки для аналізу кінематики. Тобто, коли я кажу кінематика - це зв'язок між між координатою і швидкістю прискорення. 57:03 Speaker A без сил. Я от я закінчив говорити про рух по колу в той момент, коли я сказав, що коли тіло рухається так, що його координата міняється по закону а косинус омегат, то це означає, що швидкість цього тіла міняється, ну проекція швидкості 57:23 Speaker A міняється по закону - омегаа сину омегат, а прискорення міняється по такому закону. І після цього я забув про рух по колу. Я кажу далі, я розглядаю одновимірний рух періодичний, де х міняється по такому закону, швидкість по такому, прискорення по такому. 57:39 Speaker A Зрозуміло, да? Так. Кутового прискорення у мене тут не було в цьому обертальному русі. Це було було було ж обертання з постійною кутовою швидкістю. І ця швидкість перетворилась тепер мені в циклічну частоту. 57:56 Speaker A В мене там було тільки прискорення доцентровала. І от його проекція народила е-е оцю ось величину ах. 58:05 Speaker A Е-е так. Е-е значить е ми отримали таким е-е чином з вами зв'язок між ее е-е ми встановили чому дорівнює ее період частота колива. Ерне буде запитання: а чому дорівнює амплітуда колива? 58:26 Speaker A Ну от якщо ми говоримо про те, чому дорівнює амплітуда, амплітуда може бути довільною. І величина амплітуди залежить або від початкового відхилення, якщо ми ті от розтягнули пружинку і і після цього відпустили її. Або ми можемо говорити, ми можемо просто надати 58:44 Speaker A імпульсу тіло, примусити його рухатись певною швидкістю. Тоді, маючи кінетичну енергію, це тіло розтягне пружинку, зупиниться, ну і далі все те ж саме. Іншими словами, або ми надаємо потенціальної енергії, розтягуючи пружинку, або ми надаємо кінетичної, штовхаючи ванта тіла, або і 59:05 Speaker A того іншого. Ее амплітуда в будь-якому випадку буде залежати від чого? Від повної механічної енергії. 59:16 Speaker A От давайте подивимось, чому дорівнює повна механічна енергія тіла, яке от коливається от в нашій ситуації на пружинці ее ну от цього віз. Ее ну пружинка має коефіцієнт пружності K і відповідно масу тіло має масу N. 59:40 Speaker A Енергія потенціальна дорівнює kх² по 2. І ця величина буде дорівнювати K помножити на амплітуду Авадрах² косинус квадрат омегат. Ну, фіноль я, значить, знову ж таки вважаю рівнем нулю. 60:07 Speaker A І все це поділити на 2. Чому дорівнює кінетична енергія? Є кінетична. M V², ну, Vx² поділити на Ну, в мене немає іншої швидкості, тому можу писати просто V. Vx міняється по закону синуса і там мінус омега було. Коли я це піднесу до 60:28 Speaker A квадрата, то я отримаю таке: омега квадрат а квадра синус квадрат омегат на 2. І масу я загубив, звичайно. 60:45 Speaker A Тепер Тепер я пригадую, що у мене величина тут от десь десь десь отут було омега квадрат помножи m це єсть нещо інше, як k коефіцієнт пружності пружинки. 61:01 Speaker A Тому оцю ось величину m омега² ее я можу виразити через коефіцієнт пружності пружинки через k. 61:09 Speaker A Ну і тепер, що ми отримаємо для повної енергії? Енергія дорівнює потенціальне плюс є кінетичне. 61:17 Speaker A А-а, дорівнює ее значить 1/2 я виношу за е дужку. Е, далі я виношу K а². 61:30 Speaker A І в дужках у мене залишається косинус квадрат омегат плюс синус квадрат омегат. Ну, а це, очевидно, дорівнює одиниці. 61:41 Speaker A Таким чином, повна енергія дорівнює потенціальній енергії максимально розтягнутої пружини. Пружини, коли вона розтягнута до величини, що дорівнює амплітуді коливання. 61:56 Speaker A Звідси я можу сказати, чому дорівнює амплітуда. Амплітуда коливання буде дорівнювати корню квадратно 2 / k. 62:08 Speaker A Тобто амплітуду ми визначаємо тоді, коли надаємо енергії коливальній системі. Так, немає до цього питань? 62:25 Speaker A Немає. Ні, немає. Немає. А тепер подивіться, як ще можна з іншої точки зору подивитись на оці формули, які я записав. 62:40 Speaker A Е-е, давайте, ее, запишемо їх так. Ми маємо ми маємо потенціальну енергію, яка описується ось такою формулою. Ось вона. 63:02 Speaker A І ось маємо кінетичну енергію. Тепер я не буду от у мене там заздалегідь уже було раніше встановлено, коли я розглядав зв'язок між між координатою, прискоренням, було встановлено, що K = Mмега квадрат. 63:21 Speaker A Тимчасово про це забуду. Я буду розглядати ситуацію, коли х міняється по закону асинус омегат. Швидкість відповідно по закону міну омега а сину омегат. 63:40 Speaker A Тоді повна енергія запишеться у вигляді такому 1/2. А, і тут у вас залишається так. 63:50 Speaker A Дивимось, а квадрат я винесу за дужку, а в дужках у вас залишиться е косинус квадрат омегат. 64:05 Speaker A А тут у вас буде так: плюс омега квадрат помножити на масу і помножити на sin квадрат омегат. 64:16 Speaker A От уявимо собі, що ми з вами знаємо, ну, чи припустили, що тіло рухається по закону косинуса з деякою частотою омегах. 64:26 Speaker A Тепер ми розглядаємо коливання на пружинці. Ми записали повну енергію. Оце ось потенціальна енергія, ну, точніше доданок, який утворився після винесення а² на а2 за дужку. Е, оцей ось доданок відповідає потенціальній енергії, а цей відповідає кінетичній. 64:45 Speaker A і той, і та, і та частина змінюється. Але якщо я дивлюсь на ситуацію виникнення коливань з точки зору закону збереження енергії, то оця величина повинна сума по повна механічна енергія повинна зберігатись. У мене немає дисипації, тому це має бути константа. 65:04 Speaker A Для того, щоб це була була константа, мені необхідно, щоб оця ось вираз в дужках був константа, не залежав від часу. 65:14 Speaker A Тобто оця дужка не повинна змінюватись в часі, а вона має два доданки, кожен із яких міняється в часі. В якому випадку ця дужка не буде залишатись константою? 65:26 Speaker A Тоді і тільки тоді, коли k = омега². Отже, зв'язок між частотою k і m я можу отримати і аналізуючи повну енергію такої системи. 65:39 Speaker A Знову ж таки, з цього випливає, ну, звичайно, формулу так запишують. K поділити, тобто я можу вивести е період коливань або розглядаючи зв'язок між силами, ну, силою і зміщенням, е, або розглядаючи зв'язок між потенціальною і кінетичною енергією. 66:04 Speaker A Так, у нас до перерви єсть 10 хвилин. Я от хочу цю розповідь, ну, закріпити. Я хочу, щоб ми з вами розглянули, а задачу, ее, де, ну, деяку задачу, де виникають гармонічні коливання. 66:25 Speaker A Задачу не складну, але скоріш за все вам незнайому, але зразу кажу, нічого складного. Значить, задача така. 66:38 Speaker A Е, так. Значить, уявимо собі, що ми маємо довгу трубку, яку отак от акуратно зігнули в формі латинської літери. 66:59 Speaker A Переріз трубки скрізь вважаємо однаковим. Переріз трубки дорівнює S. S переріз. А після цього в цю трубку ми наливаємо певний об'єм рідини. 67:26 Speaker A Значить, об'єм рідини буде дорівнювати V. І спочатку отак от залишаю це в стані рівноваги. 67:44 Speaker A Зрозуміло, що це сполучені посудини, тобто рівень отак от у нас становиться постійним. А тепер я роблю так. 67:55 Speaker A Я беру і, ну, наприклад, подую, збільшу тиск. в одному з колін. Тут у мене відкриті ж трубка зверху. Так що рідина в одному коліні опуститься вниз, а в іншому на таку саму величину підніметься вгору. 68:16 Speaker A Що буде відбуватись далі? Після цього я цей збільшений тиск, ну, приберу. Я там акуратно подув трубочку і даб, знову ж таки, вирівняв тиск в лівому правому коліні зовнішній. Що далі буде? 68:30 Speaker A коливатися. Вона буде коливатися абсолютно правильно. От я хочу з'ясувати, з якою частотою вона буде коливатися. 68:42 Speaker A Е, есть ідеї, як ми це робимо? Ну, у нас же ж можли можливо коли ми подули, вона у нас опустилася на деяке, ну, дельта H, а в іншому воно піднялося на дельта H. Тобто, якщо ми задамо деякі координати, то це виходить, 68:58 Speaker A що якось через роботу його задати. Ні, не через роботу енергію потенціально. Значить, можна через енергію, е, можна через, ее, силу. А робота, так, е-е, до речі, до речі, до речі, до речі, а можливо, можливо і через роботу. 69:23 Speaker A Можливо і через роботу. Давайте попробуємо. Я так не робив через роботу, але давайте спробуємо. Значить, ну, по-перше, нам треба обрати координату, яка змінюється. Давайте ця координата буде Я її, ну, х будемо чи Y позначати, чи H можемо позначити. 69:42 Speaker A Y y y. Значить, давайте візьмемо вертикальну координату Y і за координату системи будемо приймати висоту стовпа в правому коліні. От в початковий момент часу вона досягає якогось максимального значення h. 70:03 Speaker A Тепер, ну, давайте подивимось, яку роботу треба виконати, щоби, е, створити оцю нерівноважну ситуацію, щоби тут вода опустилась, рідина, а тут піднялась на висоту h. 70:19 Speaker A Значить очевидно ми коли ее зміщуємо рідину, ми прикладаємо от сюди деяку силу F. Ну, ця сила F буде дорівнювати надлишковий тиск помножити на площу перерізу. 70:33 Speaker A Значить, і ця сила F вона буде чим більша зміщення Y, чим на чим більша оця різниця висот, тим більше силу F треба прикладати. Тобто сила F буде дорівнювати буде дорівнювати такому. 70:54 Speaker A Значить, у нас повинна бути густина рідини. помножити на G на прискорення вільного падіння і на різницю рівнів в лівому і в правому коліні. А різниця рівнів це буде 2y. 71:09 Speaker A Тобто чому 2y? Тому що ось е тут y вгору, а тут -y вниз. І тому ее перепад висот у вас 2уy. 71:20 Speaker A Значить, таким чином, е сила міняється ось по такому закону. Я можу це намалювати. Ось у мене е-е значить y. 71:30 Speaker A Ось у мене сила. Е і ось е аж поки Y досягне h. Значить робота - це площа оцієї фігури. 71:42 Speaker A Е значить роботу А я можу знайти е у такий спосіб. Значить, робота А буде дорівнювати сила помножити на h f максимальне помножити на h і поділити на 2. Ну, де ось ось в мене f максималь. 72:05 Speaker A Значить, F максимальне буде дорівнювати ρ G \* 2H. Ну, DH - це максимальний відхилення. 72:20 Speaker A Значить, ну, і таким чином, е, таким чином я отримую, що робота, яку треба виконати, роботу ми правильно порахували, тільки ми трошки в бік пішли від розв'язку задач, але, ну, давайте, роботу треба виконати, то нехай робо зараз випливе. Підставляю сюди силу F. 2 72:41 Speaker A скорочується. робота буде дорівнювати ее робота буде дорівнювати е-е так е рож я сказав на 2h - це тиск а тут же ж S має бути е площа сила отут ще площу перерізу забув казати це ж тиск і ще на площу перерізу 73:04 Speaker A аа значить у мене робота тоді дорівнює відповідно е G H H H S. Ну, знайшов, знайшов, яку треба виконати роботу. 73:24 Speaker A Е-е, тепер, а, тепер раз я знайшов, яку роботу треба виконати, щоб створити висоту рівнів, ее, значить, щоб підняти на висоту h, то я відповідно маю і вираз для потенціальної енергії для довільного ігрека. Тут я тільки h написав, тут, 73:46 Speaker A звичайно, h². Ніхто не помітив? Помилка. Дивіться, f максимальне. підставляю цю формулу. 2 скорочується роже е h на h² і тут ще s е тепер для довільного y у такий самий спосіб я отримую що потенціальна буде дорівнювати ро gк. 74:13 Speaker A Прекрасно. Тепер мені потрібна кінетична енергія. Кінетична енергія буде дорівнювати маса всієї рідини помножити на швидкість її руху в квадраті поділити на 2. 74:37 Speaker A Е, маса рідини, е, це єсть її, е, об'єм, е, помножити на її густину, е vy² полити. 74:51 Speaker A Ну, і тепер сума оцих двох доданків, потенціальна енергія і кінетична, е, сума повинна дорівнювати константі. Е- я отримаю таке, е-е, потенціальна енергія g S² плюс ρ на об'єм поділити 2 на Vy² дорівнює постійна величина, повна енергія її. 75:24 Speaker A Тепер тепер що це за за співвідношення? Ну, знову ж таки, це рівняння на визначення ігрека і Vy. 75:33 Speaker A Причому величина V - це єсть похідна ігрека. Vy - це єсть y'. То ми прийшли до диференціаного рівня диференціального рівняння чи що? 75:43 Speaker A Ну, звичайно, ми знову прийдемо. Ми нікуди від цього не дінемось. Ми просто знаємо властивості певного типу рівнянь і весь час от будемо все зводити або до рівняння зв'язок прискорення і координато друга похідна і невідома функція або зв'язок між 76:02 Speaker A швидкістю і координатою, точніше між їх квадратами. От як ми бачимо в даному випадку коефіцієнт помножити на квадрат координати плюс коефіцієнт помножити на квадрат швидкості є величина постійна. 76:16 Speaker A От знову ж таки, якщо виконується така ситуація, то у нас виникають гармонічні коливання. Покажемо це без, ну, без доведення, а просто демонстрацію. Значить, нехай у мене y, ну, ще раз я повторюю те, що ми вже робили. Я бачу, тут пора перерву. Я 76:35 Speaker A от закінчу цей приклад і підемо на перерву. Значить, нехай y = е-е ну, деяка амплітуда коливань у мене. М. А була робота. 76:49 Speaker A Давайте я напишу тут. Ну, підкреслюю, що це була робота джоу. Просто, щоб було зрозуміло, що у мене а скрізь амплітуда і ее щоб не плутали поняття. Значить, нехай y буде, ну, y макси давайте Y max ма тоді напишу. Е чи 77:07 Speaker A там H. А-а, нехай Y міняється по закону. h посинус ее омегат. Тоді швидкість vy це буде похідна y'три. 77:20 Speaker A Це буде - омега h sin омегаt. Підставлю в нашу формулу. Отримаю gs y² h² cos² омегат. 77:40 Speaker A плюс ров на 2 омега квадра h² си ква омегат і все це дорівнює константа дорівнює. 77:54 Speaker A Для того, щоб це була константа, ее мені необхідно, щоби оце все звелось до такого множник е помножити на суму косинус квадрат плюс синус квадрат. Це означає, що оцей множник повинен дорівнювати цьому множнику. 78:12 Speaker A Інакше у вас не буде отут константи, інакше у вас отут буде залежність від часу. А у нас консервативна система, у нас повна енергія зберігається. Вона переходить із потенціальної в кінетичну і навпаки. 78:28 Speaker A Е-е порівняю, прирівняю оці два множники при косинусі і синусі. Ну і що я з них побачу? Я побачу ρGSh² = V на 2 омега² H² h² скорочується ее ρ скорочується. Цікаво е і у вас залишається таке. 78:58 Speaker A Омега в квадраті дорівнює 2 GS поді або звідси період коливань дорівнює 2 корінь квадратний V поділи 2gs. 79:20 Speaker A Можете взяти розумний переріз трубки, розумний об'єм. Ну, давайте нехай переріст трубки S буде дорівнювати 1 см. Значить, ну, така товстенька трубка і значить 1 см. 79:43 Speaker A І тоді тоді S це буде, значить, 10 мінуче 10 міче квадрат. Давайте візьму об'єм. Візьму об'єм. 79:57 Speaker A Ну, так, щоб там нормально воно помістилось, давайте сантиметра. Якщо от літра взяти об'єм, то мені потрібна буде трубка довжиною, е, 100, ну, двохметрова буде достатньо довга труба. Нехай об'єм у мене буде дорівнювати 2 л. 80:20 Speaker A Тобто труба достатньо довга. Там треба буде більше 2 м трубу. Значить, 2 л - це у мене скільки? Це 2 на 10 у мінус якому ступені? Мінустретьму ступені метра³. 80:41 Speaker A Е, отримаю період коливань 2 пі кок V 2\* 10 в мі. Е, тут у мене залишається 2. Е, тут у мене буде 10. 80:55 Speaker A Тут буде 10 в міче. Значить, 2 і 2 скоротиться. Ух ти! І вийшло корені. І вийде 2 пі. Тобто період коливань буде у вас порядка 6 секунд в такій системі. 81:09 Speaker A Ну, можете собі уявити розміри, значить, якої довжини повинна бути труба, щоб в трубі отакого перерізу помістилось 2 л рідини. Це значить 2 на 10 в мічему. 81:25 Speaker A Ее, ну да, я багато, мабуть, взяв. Що виходить? 20 м. Нормально. Вийшло 20 м. Я я хотів підібрати не два підібрати 2 м, вийшло 20. Ну, зато корінь добре взявся. 81:48 Speaker A Е, тобто зрозуміло, що це така здоровенна система. Так, треба там з четвертого поверху ці трубки звісити. Тоді ми зможемо такий експеримент провести. 82:02 Speaker A Наче наче так зараз ще наче так. Е 10 мінучей і літра - це 10. Ну правильно. Все, все, все вірно. Все вірно, да? Трошки перестарався. Цифра минуло реалістична, як в цьому, як в досліді Паскаля. Така велика труба. 82:22 Speaker A Добре, значить, зрозуміла ця задача. А ви хотіли запропонувати інший спосіб? Інший? Ну, давайте зараз інший спосіб, потім перерву. 82:34 Speaker A Значить, інший с інший спосіб був заснований суто на динаміці цього руху. Я зараз спробую рисунок нижче опустити. 82:46 Speaker A Так, я не розв'язував. Це це спосіб е це стандартний підхід до розв'язку такої задачі, але ее просто саме цю задачу я так не розв'язував. Я цей метод хочу зарезервувати для наступної наступного питання. Ну зараз ми розв'яжемо іншим способом. 83:06 Speaker A Значить, інший спосіб такий. Відхилили систему, відхилили її ось на цю величину там y. Тепер, яка сила штовхає систему назад? 83:25 Speaker A Це є сила тиску оцього стовпа рідини. Тобто сила F, яка тепер повертає систему назад, це є сила оцього тиску гідростатичного. 83:36 Speaker A І сила F, ну, сила F звертальна, сила, яка повер повертальна сила, сила, яка повертає систему в стан рівноваги. Вона буде дорівнювати, по-перше, вона спрямована вниз, а y вгору. І вона буде дорівнювати мінус, тому що в іншому напрямку повертає в стан рівноваги. Далі 83:55 Speaker A висота оцього стовпа. Ну, по-перше, ро, по-друге, g, по подалі на 2y і далі на площу поперечного перерізу S. 84:06 Speaker A Або перепишемо це у вигляді такому -2ро gже s sy. Ее так зрозуміло, чому така сила. 84:19 Speaker A Законення, правильно? Ну, це сила, це сила тиску оцього стовпа. От для того, значить, у мене, коли я вивів систему із стану рівноваги, тобто перевів її ось в цей стан, ось так от, тут рідини немає. 84:36 Speaker A А отут рідина надлишкова есть. Тоді з якою силою оцей стовп давить на рідину, щоб повернути її назад? 84:46 Speaker A Ну, це вага оцього стовпа рідини. От я її записав. Густина, ну, на прискор, значить ее е-е, значить, на прискорення і далі на об'єм. Е, 2y на S - це об'єм оцього стовпчика. 85:03 Speaker A І от це все разом давить і створює прискорення для рідини. А яка маса рідини? Значить, маса рідини у мене буде маса буде ро помножи V. І тоді прискорення А, з якою буде рухатись рідина, це буде сила поділити на масу. І 85:26 Speaker A це буде мінус 2ро GSY. поділити на масу на ро на V. Роз скорочується і я отримаю а дорівнює мінус 2G S поділи V і помножити на Y. Причому А е це ж у мене друга похідна Y. 85:53 Speaker A І тепер пригадую, що саме таке рівняння е я отримував для ну що саме це єсть рівняння гармонічних коливань. Тобто, якщо а - це друга похідна ігрека, тобто це прискорення ігрека, тоді оцей ось множник це єсть омега квадрат. 86:11 Speaker A Ну і звідси зразу випливає, що, ну, я те ж саме отримав. Омега² = 2gs поділи V. Ну і звідси період колива, тобто розв'язок, звичайно, той же самий. 86:25 Speaker A Звертаю вашу увагу, от вам завжди треба знайти координату і прискорення. Прискорення - це швидкість, з якою міняється швидкість зміни цієї координати. Координата y чи h чи альфа чи координата міняється в часі. 86:47 Speaker A Раз вона міняється в часі, вона має швидкість. Швидкість не постійна. Швидкість може мінятись в часі. Значить, єсть прискорення. Так от, ви завжди шукаєте зв'язок між координатою і прискоренням. Якщо ви побачите, що прискорення дорівнює координата помножити на коефіцієнт і отут знак 87:03 Speaker A мінус, е, то це означає, що у вас в системі виникають гармонічні коливання. Причому оцей множник це єсть квадрат циклічної частоти. Це єсть омега². 87:15 Speaker A Тобто ви далі можете написати, що це те ж саме. От я зразу здогадуюсь, що це а = - омега². 87:24 Speaker A Тобто оце ось є циклічна частота. Так, е-е, уже 10-12 хвилин перепрацювали. Значить, давайте зробимо зараз е-е 10тихвилинну перерву. Ви подумаєте над запитаннями. Значить, 1842 зустрічаємось, тому що у нас далі ще нетянин маятник. Ну і там ще багато всього 88:00 Speaker A роботи. Продовжуємо нашу розмову про гармонічні коливання. Значить, ми розібрали з вами ситуацію, коли виникають гармонічні коливання. 88:19 Speaker A Ее, ну, на прикладі коливань зараз, ну, детально розібрали, на прикладі коливань тіла на пружинці. 88:30 Speaker A Ее, ну, і тепер я дивлюсь просто, що у нас із часом. Е-е, наступне обов'язкове питання, яке ми повинні з вами розглянути - це питання про нетяний маятник. 88:41 Speaker A А так, я запускаю далі, значить, цю презентацію дошку. А що ми, ее, маємо на увазі, коли говоримо про нетяний маятник? 89:04 Speaker A Ми, е, маємо на увазі, що ми розглядаємо деяке тіло маленьке, яке має достатню масу, е, підвішено на неро, ну, нерозтяжній, е, невагомій ниці. 89:21 Speaker A Якщо таке тіло відхилити в бік, то сила натягу нитки і плюс сила тяжіння створять повертальну силу, яка буде повертати тіло в стан рівноваги. Воно набуде деякої кінетичної енергії, проскочить стан рівноваги і відійде в протилежний бік. Таким чином, в такій 89:41 Speaker A системі виникнуть коливання. Якщо ми нетяний маятник розглядаємо от саме в тому наближенні, ту абстракцію, про яку я от говорив, е, нитка не розтягується, вона невагома, а, ее тіло, підвішене на нитці, можна розглядати як матеріальну точку. Тобто вся маса зосереджена в ее цьому тілі. Е, 90:08 Speaker A тоді такий таку систему ми називаємо математичним маятником. Тобто, ну, маятник - це реальний виріб, а математичний маятник - його модель. 90:18 Speaker A Е, довжину нитки ми позначимо буквою L. Тепер, ее, давайте ее спробуємо з'ясувати, по якому закону будуть відбуватися оці ось коливання натяного має. 90:34 Speaker A І спробуємо знайти, чому буде дорівнювати період цих коливи. Так, що ми оберемо за координату в даному випадку? 90:46 Speaker A Коорсу саме чого? А, типу. Ну да, да. Що у нас буде? Зарахову поверхню зверху. 90:53 Speaker A Е, що щос зараз до якої прикріплено? Ні-ні-ні, це ж не координата. Прикріплено. Це те, за що Ні, ось задати е-е а задати вісь. Вісь навколо оцю ось. 91:07 Speaker A Так, тобто ви хочете сказати, що тіло коливається і змінюється оцей ось кут фі правильно? 91:14 Speaker A Угу. М Ну давайте я його позначу так. У мене фі була фаза. Е-е, в даному випадку я не хочу, щоб був конфлікт позначень. Тому я позначу цей кутний фі. Я його позначу, наприклад, літерою тета. Тета, альфа, бета, але не 91:31 Speaker A фі, тому що фі у мене весь час фаз. А давайте подивимось, якої потенціальної енергії набуває маятник, якщо він, ну, не тяний маятник, якщо він відхиляється від положення рівноваги на кут фі, на кут тета. Тета, якщо я буду говорити фі, 91:52 Speaker A поправляйте мене. Очевидно, що потенціальна енергія визначається оцією висотою H, тобто є потенціальна е дорівнює mg е mgh. 92:15 Speaker A Ее, а величина H може бути знайдена як різниця довжини нитки - L cos. Е-е, зрозуміло, чому так. Правильно. 92:30 Speaker A Оцей прямий кут, значить, ее оцей ось катет L косинус Тет. Цей вираз я можу переписати у вигляді такому. MGL. 92:44 Speaker A А далі у мене залишається одиниц мінус косинус тета. Пам'ятаєте, що це буде? Це буде 2 си квадрат тета на 2. 92:55 Speaker A Тобто у мене залишається так: 2mgl синус в квадраті на тта на 2. Пам'ятаєте, чому це так? Да. 93:12 Speaker A Одиниці. Ну, косинус подвоєного кута. Я оцю формулу використовую. Cos 2 альфа дорівнює, ну, або косинус квадрат альфа - синус квадрат альфа, або це дорівнює 1 - 2 си квадрат альфа. 93:31 Speaker A Формулу для косинуса подвоєного аргумента. Ее значить ее записав. Ну і тут у мене виникає перша трудність. 93:45 Speaker A Вона пов'язана з тим, що якщо ви пам'ятаєте попередні дві задачі, там потенціальна енергія пропорційна квадрату координати kх² на 2. Якийсь коефіцієнт на висоту підйом піднімання оця ось рідини від стану рівноваги в трубці. 94:04 Speaker A y квадра. Ну і знову ж таки там, ну пропорційно цьому y квадрат. А у мене тепер пропорційність іде не від тета, а тета - це і єсть моя координата. Це та величина, яка міняється в часі по закону, як я сподіваюсь, синус або 94:22 Speaker A косинус. А тут у мене потенціальна енергія пропорційна не тета ввадраті, а синус квадрат тета на 2. 94:31 Speaker A От насправді це говорить про те, що якщо коливання будуть відбуватись з великою амплітудою, то вони не будуть гармонічними. 94:40 Speaker A Тобто у вас вони не будуть описуватись законом синуса або косинуса. Але якщо припустити, що коливання малі, малі коливання назива це означає малі, це означає, що у вас оцей кут тета е набагато менше одиниці. 95:04 Speaker A От для цієї ситуації справедливо, що синус тета поділи 2 буде приблизно дорівнювати тета поділи на 2. 95:20 Speaker A Е-е, якщо вам математику трошки так, ну, скажемо, не надто спрощено читали, пояснювали, то у вас була перша чудова границя. Ее синус альфа поділити альфа прямує до одиниці. Ее отака ось так от синус альфа поділити альфа прямує до одиниці, якщо альфа прямує до нуля. Було 95:42 Speaker A таке чи не було? Було. Було. Ну от це означає, що якщо альфа дуже мале, то синус альфа приблизно дорівнює альфа. 95:53 Speaker A От в цьому зміст оці цього наближення малого кута. Значить, от якщо я приймаю тепер гіпотезу про малість коливань, тоді я отримую, що потенціальна енергія буде дорівнювати замість синус квадрат пишу просто тета на 2². І у мене тоді буде так. Тета ² поділити на 4 96:15 Speaker A 2\* 4 1/2 у мене залишається mg Lта поділити 2. О, у мене уже потенціальна енергія квадратична потета. Е, з кінетичною, ну, все буде більш-менш нормально. Кінетична енергія є кінетична дорівнює mv² на 2. 96:43 Speaker A Тепер, що таке швидкість V? Швидкість V - це єсть ее кутова швидкість. А кутова швидкість е знову ж таки конфлікт позначення, не хочу писати омега маленьке. Е кутова швидкість - це похідна координати поча похідна тета по часу. Оце ось кутова швидкість дельта 97:04 Speaker A ТЕ. Ну, давайте так. Е, тташ'т - це єсть дельтата е поділити дельтат. І, е, це все треба помножити на L, на радіус траекторі. 97:22 Speaker A Я перепрошую, зараз відповім. Один момент. А так, тобто швидкість V - це єсть ТА'т пом L. Зрозуміло чому чи ні? 97:54 Speaker A Ну, можна отак от е намалювати. Ось уявимо собі е од ее значить розташування. Ну от нехай цей кут от дельтат. 98:05 Speaker A Так, зараз я поясню. Ай зараз. Ну-фу-фу-фух. Секунду. Значить, ее, раз от тіло проходить кут дельта тета, повертається на кут дельта тета. Довжина L. Значить, довжина оцієї дуги, яка яку тіло проходить за цей час, довжина цієї дуги це L помножити на дельтат. 98:41 Speaker A Тепер довжина цієї дуги поділити на дельтат - це буде швидкість. Ну, а дельтата на дельтат - це т прямує, дельтат прямує до нуля - це похідна тета. Значить, у вас Lташ'т. 98:57 Speaker A Так от, ми отримуємо, що швидкість от виражається так, через похідну тета. І це означає, що є кінетичне буде дорівнювати, дивимось, що в мене буде. 99:09 Speaker A Маса L квадра поділити на 2 і на ТТ штрих квадраті. І от тепер ми знову ж таки маємо квадратич кінетична енергія - це квадратична функція похідної, а потенціальна енергія - це квадратична функція функції квадратична функція від тета. А це квадратична від теташтрих. І 99:35 Speaker A оце ситуація, коли виникають гармонічні коливання. Знову, знову ж таки, я пишу, що ее сума цих величин е має дорівнювати константі. Я е шукаю розв'язок у вигляді тета дорівнює е там, скажемо, тета максимальне на, ну, амплітуда на косинус омегат. 99:58 Speaker A Тта' = - омега е ттаксимальне е синус омегат. Тепер я підношу до квадрата ці дві величини і пишу, що сума квадратів дорівнює константа. Значить, у мене буде так. mgl 2 ее тета максимальне в квадраті косинус квадрат омегат е плюс 100:26 Speaker A ml² на 2 а е омега квадрат тета максимальне в квадраті синус квадрат омегат дорівнює константа Ее тепер, ее для того, щоб це була константа, я повинен забезпечити Зараз я трошки тут суми буде погано там записано. Ось так. 101:15 Speaker A Так, есть. А для того, щоб це була константа, у вас множники при ее косинус квадраті і синус квадраті повинні дорівнювати один одному. Е, тоді у вас відповідно можна їх буде винести за дужку і у вас буде косинус квадрат плюс 101:31 Speaker A синус квадрат. Ви отримаєте одиницю. Це означає, що mglт тета максимальне в квадраті на 2 дорівнює ml² на 2 омега² тета максимальне квадраті. 101:51 Speaker A А скорочую і отримую таке: G = L омега². Або звідси випливає, що омега дорівнює корінь квадратний із G поді або звідси випливає, що період коливань дорівнює 2пі корінь L на G. 102:20 Speaker A Ось ми отримали з вами період коливань тіного майна. Ми бачимо, що цей період не залежить від маси, а він залежить від адекватності моделі. 102:34 Speaker A Е, по-перше, тобто маса має бути зосереджена в одній точці, тобто розмір оцього тіла під нужка підвішеного наниці має бути набагато менший, е, ніж довжина нитки. 102:47 Speaker A Маса має бути набагато більшою, ніж маса нитки. У нас треба знехтувати опором повітря і наявністю всяких дисипативних сил. 102:57 Speaker A А і треба прийняти умову про малість коливань. Тоді такі коливання будуть, кажуть, ізохронними, тобто такими, період яких не залежить від амплітуди. 103:11 Speaker A Ну, те ж саме було і з ізохрон властивість ізохронності так само мають і коливання тіла на пружинці. 103:23 Speaker A Тепер е тепер тепер що буде, якщо амплітуда коливань наростатиме? Ну, якщо амплітуда коливань тіла на пружинці наростатиме, у вас е буде будуть відхилення від закона. 103:37 Speaker A Якщо у нас будуть наростати амплітуда коливань, буде братись більшою, для нетяного маятника буде несправедливим наближення синус тета на 2 те на 2 = тета на 2. Е, в результаті коливання стануть те, що називається ангармонічними. З'явиться ангармонізм. 103:58 Speaker A Це проявлятиметься в двох речах. Значить, по-перше, закон, по якому будуть відбуватись коливання, не буде законом косинуса. 104:08 Speaker A По-друге, період коливань буде залежати від амплітуди і він буде зростати із зростанням амплітуди. Ну, у всякому разі, для нетяного маятника. 104:22 Speaker A Ну, і мабуть мабуть оце ось два основних наслідки. Значить, порушення умови малості колива. Так. Чи єсть до цього запитання? 104:40 Speaker A Нема. Немає. А значить, е, ну, раніше я завжди говорив, що із цих, е, цього пояснення, ну, по-перше, треба зрозуміти логіку, звідки виникають гармонічні коливання. 104:54 Speaker A Тобто вони виникають в ситуації, коли повертальна сила прямо пропорційна відхиленню від стану рівноваги, е, прямо пропорційна зміщенню хе або інакше в тих ситуаціях, коли е потенціальна енергія квадратична по зміщенню kx² на 2, е, а кінетична енергія квадратична по ее похідній змі 105:23 Speaker A міщення по швидкості mx'²\* 2 mv² на 2. От якщо виникають ці ситуації і повна енергія при цьому зберігається, е тоді оця ось координата чи змінна х чи тета там чи y у вас буде змінюватись по закону синуса або 105:40 Speaker A косинуса. Е-е далі е далі. Ну у нас єсть де декілька речей. У нас 50 хвилин так залишається. 105:57 Speaker A Давайте я вам зараз сформулюю одну задачу. Я, щоб не забути, я її в домашнє завдання включу. 106:05 Speaker A Ее е задача така. От уявіть собі, що у вас ее на пружинці з коефіцієнтом пружності K підвішено тіло маси m, причому на нього діє сила тяжіння. І в стані рівноваги отут діє сила пружності, а тут сила тяжіння. 106:25 Speaker A F тяжіння. Якщо я, тобто в стані рівноваги пружина розтягнута. Тепер, якщо я це тіло підштовхну, ну, або розтягну пружинку, або пі навпаки підніму тіло, е, то, ее, е тіло буде здійснювати гармонічні коливання навколо стана рівноваги. 106:46 Speaker A Причому період коливань такит буде дорівнювати 2 пі корін m на k. Тобто формула не зміниться. Зміниться, що зміниться тільки стан рівноваги, відносно якого відбувається коливання. 106:58 Speaker A Е, в візок на пружинці, там пружинка нерозягнута і це початок координат, це нуль. А тепер у мене за відхилення х треба брати знову ж таки відхилення від стану рівноваги, тобто тоді, коли пружинка видовжена, коли вона компенсує силу тяжіння. 107:16 Speaker A Відхилення, зміщення від цього стану рівноваги х буде змінюватись по закону косинуса з періодом ось таким. Спробуйте це ее дома ее показати. 107:30 Speaker A Ну, нічого там складного, трошки алгебра без вищої математики. Е, так, зрозуміла умова цієї задачі, ну задачі завдання. 107:45 Speaker A Та так, ви її зразу, якщо закиньте цей в класрум. Ну, я закину, я, значить, підготую же ж все завдання і включу і цю задачу туди. Просто, е, у неї трошки незвична умова. Я то її коментую от тут. 108:03 Speaker A Ее я я це до чого? До того, що коли ми говоримо про коливання тіла на пружинці, то у нас е пояснення і в підручниках, ви подивіться там в шкільних, е, мова, як правило, іде про візок, який їздить біля 108:16 Speaker A стіни. Чому? Щоб була тільки одна сила, сила пружності. А коли реальна фізична ситуація, яка ілюструє цю формулу, це тіло підвішене на пружинці. Тут дві сили: постійна сила тяжіння і змінна сила пружності. Сила тяжіння постійна, сила пружності то більша, то менша. І 108:32 Speaker A тіло здійснює гармонічні коливання. От саме по такому закону. Ну, в принципі, це треба показувати. 108:39 Speaker A Значить, те, що період при цьому, ну, виражається тією самою формулою, яка була б, якби силотіня не було зовсім. 108:48 Speaker A Так. Так, тепер тепер я хочу під цим трошки підвести риску. Е, чому? Тому що, ну, я бачу, що час все одно не ну мало на цю тему. Я хочу її сьогодні так чи інакше завершити. Значить, наступні питання, які завжди там виникають в темі 109:13 Speaker A коливання це ну, перше - це затухаючі коливання, друге - це, ее, значить, вимушені коливання і резонанс. 109:26 Speaker A І наступне питання - це автоколивання. Е, тут, е-е, за виключенням резонанса формул особливих не буде. 109:38 Speaker A Значить перше перше, затухаюче коливання. Затуха, причиною затухання коливань завжди виступає зменшення запасаної механічної енергії. 109:51 Speaker A Тобто причиною затухання є дія дисепативних сил. Е, дисепативні сили от в цих системах єсть завжди. Е, ну, насамперед це сила опору повітря. 110:06 Speaker A Ну, далі пружинка, коли деформується, ну, знову ж таки, закон Гука все-таки там, ну, він точний, але, уявіть собі, пружинка дуже часто деформується, вона гріється від цих деформацій, тобто в ній єсть якесь внутрішнє там міжмолекулярне тертя, не знаю, і в результаті ее 110:25 Speaker A енергія втрачається. От наявність дисерпативних сил приводить до того, що зменшується запаси на потенціальна енергія, запаси на повна енергія, а амплітуда коливань, як пам'ятаєте, вона пропорційна корню квадратному із повної енергії. Це означає, що амплітуда буде згасати, буде, значить, зменшуватись. Ну і таким чином 110:49 Speaker A ми отримуємо те, що називають от я сказав затухаюче, ну, згасаючі коливання. Е-е, закон, по якому вони згасають, ну, залежить від форми дисерпативної сили. 111:02 Speaker A Е-е, це питання точно не входить в шкільну програму і я його залишаю за дужками. Воно не потрібно. Е, єдине, що, е, що при наявності дисипації у вас період коливань або зберігається, або теж, ее, затягується. Тобто частота стає меншою, а період більший. Е, типова 111:22 Speaker A форма згасаючих коливань. Ну, от скажемоцех, це час Т. І далі вони якось ідуть. Ну, тобто у вас отут єсть якась огинаюча, яка показує, як міняється амплітуда. Ну, я намалював так мало періодів, тому що гарно синусоїду мені важко тут від руки 111:41 Speaker A намалювати. Зрозуміло, що тут так от їх може бути багато, багато періодів коливань і вони якби затискаються такими з двох боків оцією огинаючою, не огинаючою, такою дотичною, ну, асимптотикою, яка показує, як амплітуда поступово зменшується в час. Е-е, типово ця 112:00 Speaker A амплітуда, ну, по закону експоненти типу в ступені там T поділити та і -Т поді. 112:12 Speaker A А значить, е-е, головне причина згасання е полягає в втраті запасної енергії. Е, до речі, задачі десь такі, здається, можливо навіть і в ЗНО бачимо, але задача буде зводитись до такого. за такий-то час втрачається така-то частина енергії. Як змінилась амплітуда, 112:32 Speaker A розумієте? Е, тобто ви знаєте, як амплітуда пов'язана з енергією. Вам сказали, скільки енергії втрачено, е, ви знаєте, як помінялась амплітуда. Нічого складнішого вам тут не зададуть. Ніякі формули там, е, які явно описують от цю функцію такої затухаючий косинус, е, у 112:51 Speaker A вас ніхто їх не запитає ніколи. Це нешкільна програма. Тепер наступне - це, значить, згасаюче коливання. 113:07 Speaker A Значить, наступне питання, е, це вимушені коливання. Значить, вимушені коливання - це рух тіла під дією зовнішньої періодичної сили. 113:28 Speaker A Уявимо собі для початку деякий вантаж і нехай на нього діє сила F. Причому ця сила F змінюється по закону. F дорівнює Давайте так. F максимальне косинус омегат. 113:58 Speaker A Як буде рухатись тіло під дією такої періодичної сили? Ну, очевидно, що прискорення тіла А буде F максимальне поділити M. А максимальне на косинус омегат. 114:14 Speaker A Далі швидкість. Швидкість це повинна бути така функція, яка похідна якої дає вам а. Значить, щоб у вас похідна була косинус, тоді швидкість повинна записуватись як v повинно дорівнювати. 114:37 Speaker A Ее так, секунду, секунду, секунду повинно дорівнювати похідна синуса косинус. Значить, е, а максимальне поділити на омега, тут буде синус омегат і тут буде + v0. 115:02 Speaker A Е-е, чому? Тому що похідна дасть нуль. Е, ну, і далі так само можна записати, чому буде дорівнювати в т. 115:15 Speaker A Ее в залежності від початкової швидкості, початкової координати, ну, зрозуміло, що це тіло буде рухатись якось періодично, ее, але, ее, ну, можливі дві ситуації: е-е коливальний рух навколо стана рівноваги або коливальний рух із зміщенням. 115:35 Speaker A Значить, якщо детально буду зараз аналізувати, то зайдемо, ну, в досить таку незвичну задачу, не так, щоб дуже складну, але знову ж таки це не до ее того, що вам необхідно зараз в межах шкільної програми. Можете самостійно спробувати проаналізувати, що тут буде. 115:52 Speaker A Тут треба розуміти, що х далі буде мінятись по закону. А якщо сила так міняється, то х буде мінятись по закону такому. 116:08 Speaker A Ее а максимальне на омега квадрат. Тут мінус, тут косинус омегат плюс v0. +х0. От щось такого типу. 116:27 Speaker A Ну і далі в залежності від початкової координати початкової швидкості. Зараз зараз зараз зараз. Так буде от щось такого типу. 116:44 Speaker A Зараз ще раз. Похідна косинус мінус синус мінус плюс. косинус. Ну, все, все правильно. Все правильно. 116:58 Speaker A Косинус зараз. Да, все правильно. Все правильно. Значить, тобто ми бачимо, що у нас буде якийсь рух, який міститиме в собі ось коливальну складову. Далі перетворювати, аналізувати залежить від початкової швидкості, початкової координати, як все це буде відбуватись. Ну, розумно 117:16 Speaker A пропустити, що початкова швидкість, скажемо, дорівнює нулю. А і там припустити, що початкова координата ее м ну тут це не х0 насправді, це якийсь якийсь доданок там якийсь доданок там с ечакова координата нуль. Ну тоді ви зможете зрозуміти, як рухається це тіло. 117:45 Speaker A Тепер я хочу далі що зробити? Я хочу задачу насправді ускладнити. Я хочу припустити, що наше оце ось тіло закріплене на пружинці і на нього знову ж таки діє зовнішня сила F. 118:08 Speaker A Тобто єсть дві сили: сила F і сила пружності пружинки. Там, ну, напрямки давайте сел поміняємо. 118:22 Speaker A Ну, тут міну kx. В цьому випадку я можу написати, що прискорення тіла а буде дорівнювати сила зовнішня f мінус kх, сила пружності. 118:42 Speaker A Ее і все це поділити на масу. Або рівняння руху запишеться у вигляді а плюс KX дорівнює F. Або це можна буде записати як прискорення плюс K нам M я позначу омега0² дорівнює F поділити масу. 119:13 Speaker A де омега² - це от циклічна частота власних коливань ск поді ось рівняння, яке буде описувати рух такої коливальної системи, коли на неї діє зовнішня сила, тобто яка буде описувати ее коливання вимушені під дією зовнішньої сили. Вимушені під дією зовнішньої сили. 119:37 Speaker A Тепер давайте я припущу, що ця зовнішня сила теж міняється по періодичному закону. F = F максимальне. 119:46 Speaker A Е-е, так, я зараз з'явлюсь, секунду. Так, це у мене просто світло вимкнуло, так що е-е така от історія. Значить, F дорівнює F максимальне помножити на е-е косинус омегат. 120:08 Speaker A Омега відмінний від власної частоти оцієї омега0. Омега0 визначається властивостями оцієї системи. Маса важка і коефіцієнт пружності пружинки. А зовнішня сила береться з такою частотою, з якою мені хочеться. Вона може бути, ну, меншою або більшою від омегаль. 120:28 Speaker A От виникає питання, е, який в цьому випадку буде рух? Знову ж таки, ми маємо справу з диференціальним рівнянням. Е, тому де деякі речі я повинен вгадувати. Я не можу аналізувати розв'язок цього рівняння в цій аудиторії. Та й взагалі це окрема 120:50 Speaker A задача. Вона просто вона не складна, але довга і вимагає трошки більше знань. Значить, тому я скажу так: давайте я буду шукати розв'язок у такій формі. Я буду вважати, що х міняється в часі по закону А. амплітуда коливанікса помножити на косинус омегат, де омега - 121:18 Speaker A це частота зовнішньої сили. Це та частота, з якою я розхитую це тіло з якоюсь зовнішньою дією. Тобто частота коливань - це вимушені коливання. Вони визначаються цією зовнішньою силою. 121:35 Speaker A Прискорення. А, значить, а відт друга похідна ікса, це буде міга аси омегат. Тепер підставлю все це в моє рівняння. 121:53 Speaker A Я ж припустив, що от в такій формі можна шукати розв'язок. Це не факт, що це розв'язок. 121:59 Speaker A Я підставляю в рівняння і я отримую - омега квадра а косинус омегат а плюс омега0² а косинус омегат дорівнює f / m cosси омегат. 122:19 Speaker A Може це рівняння е-е ну х буде розв'язком рівняння. Може, але за певних умов. Значить, косинуси ми отут скорочуємо і отримуємо вираз для амплітуди. Ми маємо, що амплітуда коливань а буде дорівнювати f і поділити на омега 0² - омега². 122:44 Speaker A Ну от це те пояснення, яке з моєї точки зору вдало зроблено в підручнику засікіної. Значить, в рівні цьому академічному рівні підручник. 122:57 Speaker A І саме це співвідношення показує, що вимушені коли, якщо у вас вимушені коливання виникають в системі, е, коливальній, яка має власну частоту коливання омегаль, то амплітуда таких вимушених коливань може бути дуже великою, якщо частота вимушених коливань, тобто частота зовнішньої сили 123:22 Speaker A збігається з частотою власних коливань. е-е, значить, нашої коливальної системи. Якщо я побудую залежність амплітуди від, ее, частоти, е, то отримую таке. Ну, я тут напишу так, модуль амплітуди. Тут частота, я і сила у мене фіксована, і маса фіксована, то я отримаю ось що. 123:49 Speaker A Значит, е-е, ну, насправді, в цьому графіку єсть місця, на які, е, треба, ну, е які погано пояснюються. Наприклад, от амплітуда коливань, коли частота дорівнює нулю. 124:19 Speaker A Треба подумати, як пояснити цю, з моєї точки зору, тут трошки не фізично. І знову ж таки розрив, нескінченна амплітуда. Ну, розривів, як правило, не буває от в таких задачах класичної фізики. Ее амплітуда буде визначатись одним із двох речей. Ну, по-перше, в цій системі 124:38 Speaker A обов'язково буде диссипація. По-друге, в цій системі будуть виникати ангармонізми. Коли амплітуда стає дуже великою, то змінюється омега омегаль. 124:49 Speaker A І зміна омега0 буде приводити до того, що будуть порушуватись резонансні умови, тобто частота резоця ось омега0 попливе і знаменник зросте. 125:00 Speaker A По-друге, за рахунок дисипації енергії при коливаннях великої амплітуди, робота зовнішньої сили за один період, яка розхитує цю систему, ну, буде компенсуватись, е, роботою сил дисерпативних. Інший варіант, коливальна система цього всього не витримає і просто розвалиться. 125:22 Speaker A Оце ось явище наростання амплітуди коливань. Ще раз кажу, при коли частота зовнішньої дії збігається чистотою власних коливань, це явище називають резонансом. 125:36 Speaker A Поняття резонанса, воно присутнє у нас в шкільній програмі. І тому от звертаю на уваги зві, коли виникає ця ситуація. 125:45 Speaker A Криві такого типу називають резонансними кривими. Ну, ми тут багато чого пропустили. По-перше, наскільки справедливий той розв'язок? Це ж один із можливих розв'язок рівня розв'язків рівняння. Треба показати, що саме він відповідає фізичній ситуації. Це раз. 126:01 Speaker A Крім того, я намалював модуль амплітуди. Дивіться, знаменник може бути від'ємним. Ну, від'ємний знаменник насправді має фізичний зміст. Це м зміна фази коливань. Е, тобто від'ємна амплітуда. 126:14 Speaker A говорить, що коливання починаються перехо, ну, коли частота зовнішньої сили перевищує омегаль, то ее коливання відбувається в протифазі до зовнішньої сили. Е, ну, якщо ввести сюди дисепацію, ввести сюди більш детальний розгляд, ну, тоді ця крива стає, звичайно, складнішою. 126:37 Speaker A Е, так. Ну, і остання частина. Остання частина - це так звані авто, да, до речі, задач на резонанс я не пам'ятаю, крім хіба що, ее, ну, на умову резонанса. Умова резонанса омега0 = омега. То, тобто, ее, циклічна частота 126:57 Speaker A власних коливань збігається з частотою зовнішньої сил. Е, далі автоколивання. Значить, те, що стосується автоколивань, я кожен раз, стикаючись з цим питанням от тут на курсах, ну, перебуваю, знову ж таки в певних роздумах. Чи не опустити питання зовсім? 127:24 Speaker A Я ще жодного разу не пам'ятаю в ЗНО, НМТ якогось питання на автоколивання, хоч в програмі вони виникають і в механічних коливаннях, і в електричних. 127:38 Speaker A Що таке автоколивання? Ну, насправді, це дуже важливе явище. В техніці у нас часто виникає ситуація, коли мені необхідно підтримувати сталу амплітуду коливань, ну, в певній високоякісній системі, властивості якої визначають там, ну, певну частоту. Найпростіший такий прилад - це будь-який годинник, хоть 128:11 Speaker A механічний, хоч електронний. В годиннику має бути якась коливальна система, яка здійснює один такт коливань за певний час. Ну, якби це був старий маятниковий годинник, то відповідно половина періоду коливань маятника дорівнювала б одній секунді, а період відповідно 2 секунди. Це так званий 128:34 Speaker A секундний маятник. Значить, якщо мова йде про механічний наручний годинник, ну, там знову ж таки єсть балансир, який здійснює ці, ну, е, ну, естьєсть, значить, ну, теж маятник, який здійснює коливання, тільки не в полі сили тяжіння, а, ну, вважайте тіло 128:55 Speaker A на пружинці. Якщо мова йде про електронний годинник, то у вас там єсть кварцевий генератор, який генерує високостабільні коливання з певною частотою. В вашому комп'ютері обов'язково єсть такий тактовий генератор, який генерує певні коливання з певною тактовою частотою. 129:16 Speaker A От, е, всяка реальна така фізична система характеризується тим, що під час коливань відбувається диссипація енергії. Не може бути такого, щоб не було дисерпативних сил. А це означає, що для того, щоб підтримувати амплітуду коливань сталою, е необхідно, ее весь час підживлювати систему енергію 129:40 Speaker A від зовнішнього джерела, від зовнішнього резервуару. А як це собі можна уявити? Ну от уявіть собі звичайну гойдалку. 129:50 Speaker A сидить тут людина і не рухається. Ну, от як дитина мала, вона просто тримається і при цьому сама не вміє розгойдувати гойдалку для того, щоб відбува відбувався відповідний рух, щоби людина, ну, дитина на цій гойдалці, ну, гойдалась, щоб вона рухалась, щоб 130:16 Speaker A відбувалось коливання. Що треба робити? Треба в певні моменти часу надавати поштовха. Причому цей поштовх треба надавати тоді, коли людина рух, ну, імпульс, який ми надаємо, штовхаючи людину, що катається, він повинен бути спрямований по напрямку, ее туди ж ее 130:38 Speaker A куди рухається людина. Якщо я буду штовхати гойдалку, коли людина рухається назустріч, я просто буду руйнувати коливання. 130:49 Speaker A Е, тобто задача полягає в тому, щоби від деякого джерела енергії періодично отримувати е-е певну частку, певну порцію енергії, яка буде при підживлювати коливання. Причому в залежності від напрямку руху в коливальній системі, вона або приймає цю енергію, або навпаки її віддає. Тому у 131:14 Speaker A вас має бути деякий керуючий пристрій, який буде під'єднувати зовнішнє джерело до системи ее в правильні моменти часу. 131:24 Speaker A Тому в такій автоколивальній системі у нас завжди есть енергетичний резервуар, значить, джерело енергії. Есть коливальна система з своєю частотою коливання мега0. А есть певний ее ключ е і є система оберненого зв'язку. 131:58 Speaker A Значить, система оберненого зв'язку в залежності від фази коливань відкриває або закриває цей ключ. В результаті джерело енергії або під'єднується до коливальної системи і віддає їй енергію, або навпаки від'єднується від неї. 132:15 Speaker A Значить, для того, щоб це проілюструвати, тут не можна зараз написати ніяких рівнянь. Ну, я ще до цього питання повернусь, там, де у нас явно єсть автогенератор в в еле, ну, в розділи, значить, ну, там, де ми вивчаємо електро. 132:37 Speaker A Е, там до цього питання ще повернемось, е, скоріш за все. А щоб проілюструвати от таку автоколивальну систему механічну, е, ну давайте я зараз просто спробую зробити ось що. Я зупиню цю презентацію і гляну отут от. О, чудово, чудово. Зараз, 133:07 Speaker A зараз share. Давайте я просто екран. О, ее так. Е, от зараз на екрані я просто вивів, ну, недовго шукав, вивів статтю з Вікіпедії, де пояснюється, що таке спусковий механізм, е, годинника, маятникового годинника. 133:35 Speaker A Значить, ну, мабуть, от з цього, з анкерного механізму треба розгляд починати. Я не буду його дуже детально аналізувати. Що робиться? От ця система, яка коливається сіра, це єсть наш секундний маятник. 133:56 Speaker A Для того, щоби він його коливання не затухали, ми на деякий вал намотуємо нитку і підвішуємо вантаж. Ну, мабуть, такі годинники хтось, ну, хоч в кіно бачив. 134:11 Speaker A Далі у вантажа є запасена енергія. Він опускається вниз, він крутить вал. І цей вал повинен віддавати свою енергію маятнику саме в ті моменти, коли він рухається в правильному напрямку. 134:24 Speaker A Оцей забезпечує от відповідний спусковий механізм. Колесо крутиться в одному напрямку, але воно завжди штовхає маятник праворуч. Коли маятник рухається ліворуч, колесо з ним не перебуває в стані контакту і не обмінюється енергією з маятником. 134:42 Speaker A У такий спосіб весь час підштовхуючи його в одному напрямку, воно весь час надає йому певної додаткової енергії, яка втрачається в процесі е руху. Таким чином підтримується автоколивань. 134:55 Speaker A Так, бачите ж цю мою, ну не мою, а цю от анімацію з Вікіпедії. Так, бачите, е конструкцій безліч. Ну не безліч, ну багато. 135:08 Speaker A Е, ну от більш ее конструкція така, е, ну, поширена, я так розумію. Зараз е-е конструкція, так званий е кониковий спусковий механізм, типу коникхопер. 135:25 Speaker A Е, до речі, ну, він складний у виготовленні, е-е, і, ну, зараз їх не використовують, але це був той механізм, який дозволив створити перший морський хронометр у XV столітті. Тобто прилад, який тривалий час дозволяє утримувати протягом тривалого інтервалу часу 135:50 Speaker A дозволяє зберігати точний час. Це вкрай необхідно для морської навігації для визначення довготи. Якщо матимете час і бажання, просто погугліть проблема довготи і як вона вирішувалась. Тобто проблема визначення довготи в морі. 136:07 Speaker A І там вам точно оцю історію про Харрісона, про його хронометр там знайдете. Ну от ще якась конструкція. От всі ці конструкції це єсть приклади автоколивальних систем. Тобто колесо е має вантаж, який його весь час крутить в одному напрямку і колесо періодично 136:28 Speaker A віддає енергію коливальній системі. От гляну тут єсть зараз, щоб зображення з разом з, ну, всього механізму часово годинникового. 136:40 Speaker A Ну, всього разом з вантажем немає. Да, тут немає такого. Ну, от, власне кажучи, те, що те, що стосується поняття поняття про авто коливання. Чи єсть до цього запитання? 137:06 Speaker A Ну, в принципі, немає. Так, оглядово. Ну, це оглядова тема. В ній, е, ну, в ній, що важливо? В ній обов'язково, зараз я, е, повернусь до демонстрації. В ній обов'язково треба знати, що тут обов'язково єсть зворотній зв'язок, тобто єсть керуючий пристрій, який 137:27 Speaker A під'єднує ее коливальну систему до джерела енергії і від'єднує від неї відповідно до фази коливання. 137:36 Speaker A Ее ми на прикладі автогенератора е ну знову ж таки приклад досить модельний. Там, коли будемо говорити про електричні коливання, е, там можна буде трошки трошки детальніше це питання розглянути, е, тому що на механічній системі, ну, її ніде немає в програмі і 137:56 Speaker A не повинно бути. Значить, хоч питання от в НМТ я і перед цими заняттями переглядаю кожен раз програму, щоб, ну, чогось важливого не випустити. От єсть там автоколивання, в тому числі в частині, пов'язані з механікою. 138:14 Speaker A Ну і в підручнику якісь там два слова есть на цю тему. Так, тепер, значить, ми з вами на цьому підводимо риску під темою саме механічні коливання. Так, ми знаємо, що коливання бу ну по-перше загальну характеристику, що таке коливання, 138:31 Speaker A періодичний рух, його характеристики. Далі гармонічні коливання, ті, що відбуваються по закону синуса, косинуса. І тут ми детально знаємо умови, коли вони виникають. 138:41 Speaker A Тобто це коливання в консервативній системі, де зберігається повна енергія механічна. Це коливання в такій системі, де, е, ну, по-перше, стан системи ми описуємо однією координатою, тобто змінюється одне число. е- х, ее, як координата е-е значить е-е ну важкащого, е-е, возика, який коливається 139:05 Speaker A біля стіни під дією пружини, е, або підвішеного важка, е, або, ее, скажемо, це координата от поверхні рідини оцієї в цьому моєму прикладі із трубкою. Е, або це кутове відхилення нитяного маятника. 139:20 Speaker A Але єсть одне число, яке міняється по закону, одна функція, яка міняється по закону косинуса. 139:26 Speaker A Значить, так от, повна енергія такої системи повинна бути квадратична по цій координаті, а потенціальна енергія, а кінетична має бути квадратична по похідній, тобто по швидкості. І от тоді, коли у вас єсть kx²\* 2 + mv² на 2 або 139:43 Speaker A щось аналогічне дорівнює константа, от тоді ви отримаєте гармонічні коливання. Інша умова, ее, повертальна сила, сила, яка повертає систему в стан рівноваги, пропорційна зміщенню системи від стану рівноваги взятому з протилежним знаком. f = -kx. 140:01 Speaker A Прискорення а = -k m \* x. От зв'язок між прискоренням координатою а пропорційно мінус коефіцієнт помножих. 140:12 Speaker A Якщо єсть такий зв'язок, ви маєте гармонічні коливання. От з цим треба ее все треба розуміти добре. 140:20 Speaker A Далі затухаючи дисепація приводить до того, що амплітуда повільно спадає. Тобто затуха причиною затухання є наявність дисипативних неконсервативних сил. 140:31 Speaker A Запасана енергія перетворюється в тепло. Далі це коливання вимушені. Зокрема, в чому полягає явище резонанс? 140:46 Speaker A формула, яку от я вам навів, вона єсть в шкільному підручнику. Її не буде в підказках. Я сумніваюсь, що вона десь виникне в задачі. 140:55 Speaker A Автоколивання. Ну от виглядово есть. Добре. Тепер наступне питання. Е у нас ще з вами есть скільки у нас? 15 хвилин. Так. 141:11 Speaker A Наступне питання. Насправді воно і велике, і маленьке. Давайте я його розпочну, тому що, ну, я не хочу далі механіку, ну, прийдеться, мабуть, наступного разу завершувати але е хочу максимально сьогодні просунутись. 141:29 Speaker A Наступне питання - це механічні хвилі. Значить, що таке механічна хвиля? Механічною хвилею ми називаємо механічне коливання, яке поширюється у просторі з часом. 141:55 Speaker A Приклади механічних хвиль. Ну, хрестоматійний приклад, але він там по-своєму складний, але візуально дуже гарний. Це хвилі на поверхню води. Ми кидаємо камі'нець на рівну поверхню, починають розходитись кроги. 142:10 Speaker A Якщо, ну, амплітуда цих хвиль буде затухати. Але якщо я тепер замість поверхні візьму вузький жолобй і знову ж таки кину камінець чи паличку посередині цього жолба, то хвилі, які побіжать в двох напрямках, вони, ну, довго не будуть, майже не будуть міняти 142:28 Speaker A свої амплітуди. Ми отримаємо хвилю одновимірну, яка поширюється вздовж осі іксів. Інший приклад. Ее, закріпили якийсь мотузок, смикаємо його отак от за один кінець і бачимо, як біжить хвиля по, е, такому мотоску. 142:46 Speaker A А-а, інший приклад. Єсть такі іграшки, які складаються із великої кількості отак от витків. Така довга пружинка. 142:56 Speaker A Я забув їх назву. Хтось мені підкаже. Довга-довга пружинка пластмасова. Ніхто не пам'ята. Не пам'ятаю. Ні. 143:09 Speaker A Ну, бачили такий чи не бачили? Десь дитяча. Дитяча іграшка, да? Отака довга така пружинка. 143:16 Speaker A Да. Ну, бачили, бачили. От якщо її так от розташувати і потім тут штовхнути, то по ній буде бігти отак от області стиснення і розширення. 143:29 Speaker A Десь буде, е, витки будуть ближчі, потім вони будуть м розтягнуті. Далі знову стиснуті, розтягнуті. Е, от поширення, е-е, от такого руху по пружинці - це знову ж таки приклад механічної хвилі. 143:45 Speaker A А загалом для того, щоб поширювалась механічна хвиля, що необхідно? Ну, необхідно, щоб було середовище, тобто, е, коливання мають, е-е, має бути матеріальний носій, щось має фізично коливатись. 143:59 Speaker A Наприклад, коли ми говоримо про звук, як найваж, ну, дуже важливий приклад механічної хвилі, то для його поширення необхідна повітря або рідина, або тверде тіло. Якщо мова йде про повітря або рідину, ее то, ее звукова хвиля - це коливання тиску. 144:19 Speaker A Коливання тиску, які поширюється в, е, просторі час. Загалом ми хвилі класифікуємо як поперечні і поздовжні. 144:35 Speaker A Що таке поперечна? Що таке поздовжна хвиля? Значить, е, коли мова йде, скажемо, про звуковий сигнал, то ми маємо справу ось з чим. Ну, нехай звук поширюється ось в цьому напрямку у мене єсть, е-е, під час коливань відбувається рух. ее, ну, мікрооб'ємів 144:56 Speaker A повітря. Е, десь повітря стискається, виникає область підвищеного тиску. Десь повітря навпаки розходиться. Тут область низького тиску. Тут знову високий тиск. 145:08 Speaker A Тут низький. Знову високий і низький. Рух окремих шарів повітря відбувається в тому ж самому напрямку, в якому поширюється хвиль. 145:18 Speaker A От. Ее, так само коливання витків цієї пружини, коли хвиля по ній йде. Ее коливання відбуваються в тому ж самому напрямку. Зміщення речовини відбуваються в тому ж самому напрямку, в якому поширюється хвиля. От такі коливання ми називаємо, такі хвилі ми називаємо 145:34 Speaker A поздовжними. Якщо я буду розглядати навпаки хвилю, яка біжить по, ну, по шнурку, довгий шнур, і я здійснюю отак от рух там рукою, тримаю його за один кінець, рухаю вгору вниз і по його по він звивається у вигляді такої 145:56 Speaker A синусоїди, яка поширюється от в цьому напрямку. Ее це звичайна ілюстрація того, що називають коливання хвилею поперечною. Напрямок зміщення речовини, напрямок зміщення е ну того, що коливається, є перпендикулярним до напрямку поширення хвилі. 146:19 Speaker A В таких середовищах, як, ее, повітря чи об'єм води, я не кажу про поверхню, можливі тільки поздовжні хвилі. Чому? 146:28 Speaker A Тому що зміщення окремих шарів ніколи не виникає напруг, які були б спрямовані в напрямку перпендикулярному до напрямку зміщення цих шарів. Е, тільки ее от стиснення, тоді сила реакції е назад. Е немає е реакції типу деформації сум. 146:51 Speaker A Поперечні хвилі виникають, ну, або в твердому тілі, або на межі поділу середовищ. Е, загалом, хвилі не зводяться тільки до повздовжних і поперечних. Бувають і складніші коливання. Ну, наприклад, хвилі на поверхні води. 147:09 Speaker A Це і не поздовжна, і не поперечна хвиля. Вона має і поздовжну компоненту, і поперечну. Якщо ви отут отак от підвіс поставите поплавець, то оцей поплавець буде рухатись ось так от. 147:23 Speaker A Тобто, коли хвиля біжить оцьому напрямку. Тобто таким чином ви будете спостерігати, як один елемент, ну рідини рухається в цій хвилі. Тобто він рухається по деякому там еліпсу чи по деякому колу. Тобто єсть і поздовжна складова, і поперечна складова у такому 147:43 Speaker A коливанні. Далі. Далі. Наступне, що ми повинні сказати з вами про хвилі - це зв'язок між періодом, частотою, швидкістю поширення хвилі. 147:58 Speaker A Ну, для цього давайте зробимо так. Давайте я намалюю зараз побудую деякий графік. який буде умовно зображати хвилю. 148:25 Speaker A Так, перед графіком ще пару якісних зауважень я забув сказати. Ее слід пам'ятати що при поширенні хвилі у просторі, е, хвилі переносять енергію. 148:39 Speaker A А, ну, якби вони її не переносили, то, ну, мабуть, ми б їх би не реєстрували. 148:47 Speaker A Хвилі переносять енергію, хвилі запасають енергію, хвилі не переносять речовину. Ее, коли ми говоримо про, скажемо, звукові коливання чи про інші механічні коливання, відбувається коливання речовини біля певного стану рівноваги, але, ее, перенесення речовини в просторі не відбувається. 149:07 Speaker A Тепер от про графік, який краще вже на кількісному рівні буде характеризувати хвилю. Ну давайте я побудую. Ну мені зручно будувати синус. 149:19 Speaker A Ні, давайте все-таки в мене коливання завжди були косинусом, то давайте я косинус побудую. От нехай е деяка величина х не х, S хай буде S. Su, що-небудь не х. 149:38 Speaker A залежить від координати у такий спосіб. Хвиля, що біжить - це амплітуда хвилі. Це може бути або тиск у повітрі, або відхилення ось рідини від, ну, поверхні води, від гладенької поверхні, все, що завгодно. 150:01 Speaker A Ця величина U, вона залежить від координати і залежить від часу Т. І нехай ця величина залежить так. 150:12 Speaker A Значить, ну, а амплітуда і тут буде косинус. Я напишу так 2 пі. І тут у мене буде Т поділити нат. 150:31 Speaker A -х по 0. Я записав рівняння гармонічної хвилі, яка поширюється в додатньому напрямку осі іксів. 150:47 Speaker A Значить, в цій формулі а - це амплітуда. Це ось а це ось мінус лямбда. Довжина хвилі Т. Період коливань. Період коливань я на цьому графіку не побудую. Для того, щоб зобразити період коливань Т мені необхідно будувати залежність від часу. 151:17 Speaker A Як бачите, U - це функція двох е змінних і тепер чому я кажу, що це коливання, які поширюється в просторі з часу? 151:26 Speaker A Я можу зафіксувати точку, наприклад, взяти = 0. А в цій точці коливання відбувається по закону cos 2 піт поді велике. 151:39 Speaker A Це будуть от рю вт буде дорівнювати аси 2 піт пот. Візьму якесь інше х. Візьму там дорівнює там 1 отримую U вт в точці 1 буде відбуватись по закону А cosси 2 піт поділит мінусх1 поділям. 152:13 Speaker A Або це можна записати як а косинус 2 пі пот ее - φ1. Тобто я маю те ж саме гармонічне коливання з тою ж самою е частотою, з тим самим періодом, з тою самою амплітудою, але затримане по фазі. Воно 152:35 Speaker A відбувається в іншій фазі. Це говорить про те, що оця ось амплітуда прийде в точку 1 через деякий час, коли ця фаза, ну, відповідно буде скомпенсована ось цим ось першим доданком від'ємним, ну, зменшуваним. 152:52 Speaker A Таким чином, з часом цей пагорб починає рухатись і в наступний момент часу хвиля матиме от якусь ось таку форму. 153:03 Speaker A Ось вона змістилась. Таку хвилю ми називаємо біжучою хвилею. Тепер швидкість хвилі. Значить, швидкість хвилі - це, по суті, швидкість, з якою рухається, ну, точка, в якій амплітуда цієї хвилі максимальна. 153:21 Speaker A Ну, взагалі будь-яка точка з постійною фазою. Е, для того, щоб знайти швидкість хвилі, я повинен буду трошки модифікувати цю формулу. Я напишу так. Так, у нас пора закінчувати. 153:37 Speaker A U відхт дорівнює беру ось цей вираз. У мене залишається а. Тепер тут буде так. Ее косинус ее 2 пі поділити лямбда. Я лямбда виношу е із оцієї дужки. І в дужках у мене залишається ось що. лямбда поді помножи і -х. 154:11 Speaker A Ми бачимо, що е точка е-е от оця ось величина лямбда поділити t, ми її можемо позначити V. І це естьєсть V хвилі. 154:24 Speaker A Це єсть швидкість, з якою поширюється хвиля. Тобто зв'язок між періодом і лямбдою от буде саме такий. АU я зможу тепер записати як а косинус 2 пі поді лямбда. І тут буде так. Vт -х. 154:42 Speaker A Чому це швидкість поширення хвилі? А, ну, тому що якщо я буду шукати, як в просторі, з якою швидкістю рухається точка, в якій фази є постійною, ну, наприклад, точка, в якій оця ось е дужка дорівнює нулю, тобто там, де в мене максимум косинуса, горб з 155:02 Speaker A якою швидкістю рухається, то я побачу, що ця точка х переміщується в просторі якраз із швидкістю V. 155:11 Speaker A Ну, таким чином, оця ось величина В - це єсть швидкість хвилі. І так, у мене є зв'язок між довжиною хвилі, періодом і швидкістю. Цей зв'язок часто записують у вигляді V дорівнює лямбда пом ню. 155:27 Speaker A А часто для швидкості хвилі використовують позначення буквою С. Буває так, що В хвилі позначають літерою С. 155:38 Speaker A Ну, насамперед, звичайно, це це швидкість світла у вакуумі, але іноді це може бути записано і в інших задачах. 155:49 Speaker A Якщо з таким десь зіткнутись, не дивуйтесь. Тобто я просто напишу отут, що це можливий запис. 155:56 Speaker A Так, у нас 1950. Я звичайно дуже оптимістично оцінював можливості за один день все це розглянути, за одне заняття. 156:07 Speaker A Але все-таки більшу частину матеріала ми розглянули. Я зараз зупиню презентацію. Так, щось я зник. Мабуть, світла зовсім тут не вистачає, щоб камера мене бачила. 156:22 Speaker A Да, да, цікаво. Ну так, секунду, зараз добавлю світла. Тож я звик, щоб все-таки я був присутнім на занятті. 156:37 Speaker A Так, секунду. О з'явився. Зараз зараз. Давайте тоді Topics: фізика домашнє завдання сила Архімеда правило моментів блоки механічні коливання механічні хвилі маятник резонанс затухаючі коливання Вчити це відео - [Флешкартки з цього відео](https://sozai.app/uk/tools/flashcard-maker/?from=transcript&id=89909) - [Вікторина за цим відео](https://sozai.app/uk/tools/quiz-generator/?from=transcript&id=89909) - [Кросворд із цього відео](https://sozai.app/uk/tools/crossword-maker/?from=transcript&id=89909) - [Філворд із цього відео](https://sozai.app/uk/tools/word-search-maker/?from=transcript&id=89909) - [Навчальний конспект із цього відео](https://sozai.app/uk/tools/study-guide-maker/?from=transcript&id=89909) Безкоштовно, створено ШІ за цією транскрипцією. Без реєстрації. --- This is the markdown twin of https://sozai.app/transcript/2026-10-30/ — the same content, without the markup. Published by SozAI (https://sozai.app). Reuse and quotation are allowed with attribution and a link back. Machine-readable index: https://sozai.app/llms.txt · data API: https://sozai.app/api/